专题21.4 二次函数的应用重难点题型专训（2个知识点+15大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题21.4 二次函数的应用重难点题型专训 （2个知识点+15大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 图形问题 题型二 图形运动问题 题型三 拱桥问题 题型四 销售问题 题型五 投球问题 题型六 喷水问题 题型七 增长率问题 题型八 其他问题 题型九 线段周长问题 题型十 面积问题 题型十一 角度问题 题型十二 特殊三角形问题 题型十三 特殊四边形 题型十四 相似三角形问题 题型十五 其他问题 拓展训练一 二次函数的现实应用 拓展训练二 二次函数的几何应用 知识点一：二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·天津静海·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故选：C 2．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由题意可知花圃的长为，再利用矩形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知花圃的长为， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．依据篱笆的总长表示出是解题的关键． 知识点二：二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：B 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 2．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 【经典例题一 图形问题】 【例1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的几何应用，二次函数的最值问题，三角形的面积，熟练根据题意列出四边形的面积关于的函数关系式是解题的关键．设，则，利用得出，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴四边形的面积最大值为． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x，七张桌子总面积为S，则S与x的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列函数关系式，解题的关键是理解题意． 若设每张桌面的宽为x，则“回文”中的大长方形的宽为，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为，再根据面积公式列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：若设每张桌面的宽为x，则“回文”中的大长方形的宽为，由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据函数解析式可得点的坐标，由二次函数图象的对称性，结合的长度，可得点的横坐标，代入解析式，可得点的纵坐标，从而可得，与相加，即可得杯子的高． 【详解】解：∵， ∴， ∵二次函数的图象关于对称，， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当边为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)， (2)当的长为米，围成的花圃面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确列出与的函数关系式是解题的关键． （1）根据长方形周长公式进行求解即可； （2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米， ， 墙的最大可用长度为米， ， ； （2）解： ， ，， 当时，随着的增大而减小， 当时有最大值，最大值为， 当的长为米，围成的花圃面积最大，最大面积是平方米． 【经典例题二 图形运动问题】 【例1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意得到三角形为等腰直角三角形，进而确定出三角形为等腰直角三角形，表示出与的函数解析式，画出大致图象即可． 【详解】解： Rt中，， 为等腰直角三角形， 直线， 为等腰直角三角形，即， ， 画出大致图象，如图所示， 故选B． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小．    A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值，将问题转化成方便求的值是本题的关键． 求四边形的面积最小即求面积最大，设时间为，用含有的式子表示面积，求最大值即可． 【详解】解：面积为定值， 当面积最大时，四边形的面积最小， 设时间为秒， 则，， ， ， 当时，面积最大，此时四边形的面积最小． 故选：B． 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时k的值以及直线过点B时k的值，结合图形即可得到答案 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴，． 又抛物线为， ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点 ∴， ∴． 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ∴， 即． ∵相切， ∴ ∴． 如图， ∵若直线与、共有3个不同的交点， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 拱桥问题】 【例1】（2025·广西来宾·三模）如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 根据题意得，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出，然后将代入求解即可． 【详解】用如图所示的方式建立平面直角坐标系， 根据题意得，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∵当水面增加时， ∴水面宽度为， ∴， ∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为， ∴当时，． ∴当水面增加时，水面下降了． 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图是一座拱桥的轮廓，桥下方的曲线是抛物线的一部分；跨度，抛物线顶点到的距离是，相邻支柱间，则支柱的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，有计算即可,正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】以的中点为原点，建立坐标系如下， 则，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点B代入得：， 解得， 抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 【经典例题四 销售问题】 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 【例2】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)每盒降1元时，每星期的销售利润最大，最大利润160元 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． （1）根据每降价1元，每天可多卖10个，列出函数关系式即可； （2）设每天利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵该种文具每个成本价5元，每个售价10元， ∴； 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：设每天利润为W元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为160， 答：每盒文具降1元时，每天的销售利润最大，最大利润160元． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（   ） A．90元 B．85元 C．80元 D．55元 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．根据题意，利润由销售量乘以每件利润得到建立利润关于售价的二次函数，利用顶点式求出最大值对应的售价． 【详解】解：设每月利润为元，则， 展开得：， 此为开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为： ， 因，符合条件， 故售价定为80元时利润最大， 故选：C． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．先求出日销售量为件，再根据利润（售价支付厂家和其他的费用）日销售量即可得． 【详解】解：设每件产品售价为（元），则日销售量为件， ∵每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为 元能获得最大利润． 【答案】 【分析】此题考查了列二次函数的应用，二次函数的性质，设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克，然后列出二次函数关系式，再通过二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克， ∴ ， ∵， ∴当每千克定价为元时，每天利润最大， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 【经典例题五 投球问题】 【例1】（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度 与打出后飞行的时间之间的关系是．问：经过多少秒钟，球飞出的高度为． 【答案】2秒或5秒 【分析】此题主要考查二次函数的应用．把代入函数解析式求解即可． 【详解】解：把代入函数解析式得， 化简整理，得， 解得：，， 答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为． 1．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级下·天津·期中）某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答．本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵当球出手后水平距离为时，到达最大高度， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， ∵球出手时离地面高， ∴把代入中得：， 解得：， ∴， 故①正确； 当时，， ∴此球能投中， 故②不正确； 当时，， 故③正确； 综上所述：上列结论，正确的个数是2个， 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【详解】解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为：， 当时，， 当时，， 桶高米，设可以摆放个桶 ， 解得， 故至少要摆个桶， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该男生在此项考试中能得满分． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的实际应用等知识点，求出二次函数表达式是解题的关键． （1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式； （2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知的长，再与作比较即可判断是否得满分． 【详解】（1）解：设， 将代入得：，解得：， ∴， ∴； （2）解：当时，，即， ∴，（舍去）， ∴D点的坐标为，即的长为10， ， ∴该男生在此项考试中能得满分． 【经典例题六 喷水问题】 【例1】（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 1．（24-25九年级·湖南郴州·课后作业）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【答案】(1)（或） (2)水柱不会打湿护栏花墙，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，再代入即可求解； （2）点的坐标为，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为． 设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，）， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：水柱不会打湿护栏花墙．． 理由：∵m，m， ∴m， 则点的坐标为． 当时，． ∵， ∴水柱不会打湿护栏花墙． 【经典例题七 增长率问题】 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000． 【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可． 【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000， ∴y＝5000x2＋10000x＋5000． 【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键． 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】见解析． 【分析】根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】依题意，得：， 此函数是二次函数. 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 【经典例题八 其他问题】 【例1】（23-24九年级上·四川南充·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数增加1，单株产量减少．每平方米种植多少株时，能获得最大产量？最大产量为多少千克？ 【答案】每平方米种植5株时，能获得最大产量，最大产量为 【分析】本题考查了二次函数的应用． 设每平方米小番茄产量为，根据题意得到，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解：设每平方米小番茄产量为， 根据题意，得． ， ∴当时，W取得最大值，最大值为． 故每平方米种植5株时，能获得最大产量，最大产量为． 1．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当时的函数值即可判断①；求出函数值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案． 【详解】解：当时，，故①正确； ， 当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确； 综上，三个全部正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 【答案】B 【分析】此题考查了求二次函数的应用． 根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2． ∵， ∴弹起的最高高度（米）是5． 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m． 【答案】/ 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 根据题意，运用待定系数法，建立适当的平面直角坐标系，求得函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系， 由题意可得，， 设函数解析式为 把、、三点分别代入得： 解得． ． 当时，米． 故答案为：． 4．（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可； （2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ， 解得．     ，，，， ∴ ∴．     将点代入，得，    ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为． （2）解：与之间的距离为， 点与点的纵坐标为．     令，得，解得，，    ， 即水面的宽度为． 【经典例题九 线段周长问题】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，， 代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则， 当时，， 故当的值最小时，点． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是函数图象上点的特征． 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选： A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 3．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 【经典例题十 面积问题】 【例1】（2025·江西·一模）如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的平移和几何面积问题，根据题意得到阴影面积为两个平行四边形的面积之和，进而求解即可． 【详解】如图所示， 图中所求阴影的面积相对于抛物线向上平移m个单位时， 抛物线在范围内扫过的面积，即两个平行四边形的面积之和， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴阴影的面积， ∵， ∴能表示S与m的函数关系的图象大致是B． 故选：B． 【例2】（2025·江苏泰州·三模）二次函数经过点、，与y轴相交于点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)设这个二次函数图象的顶点是M，求的面积． 【答案】(1)这个二次函数的解析式为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据（1）的解析式求出二次函数顶点M的坐标，利用 本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数的表达式，坐标系中求三角形的面积，注意利用分割法求面积． 【详解】（1）将点、代入二次函数中得： ， 解得：， 这个二次函数的解析式为； （2）， 这个二次函数图象的顶点M的坐标为，对称轴为直线， 令，， 点C坐标为， 设直线AM的表达式为， 则有， 解得：， 直线的表达式为， 设直线与y轴交于点D， 则点D的坐标为 ， 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题注意考查了二次函数的应用，解题的关键是得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想． 设出矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值． 【详解】解：设矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，根据题意得： ， 整理得， ∵， ∴抛物线开口向下，取得最大值，最大值为， 故选：C． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线上存在一点， 故连接，如图所示： ∵点， ∴， ∵与轴交于两点（在的左侧）， ∴令，则， 解得 ∴， ∴， ∵抛物线上存在一点，使得， ∴， 则， 即， 把代入，得， 解得 观察四个选项，唯有符合题意， 故选：D． 3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，点，是抛物线：上的两点，将抛物线向左平移得到抛物线，且曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，则抛物线的解析式为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移、二次函数的综合题等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由题意知，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点A、B的坐标求得该平行四边形的一高为1，结合平行四边形的面积公式求得底边长为5，即平移距离是5，然后结合平移规律解答即可． 【详解】解：如图：∵曲线段扫过的面积为5（图中的阴影部分），点，， ∴平行四边形的高为， ∵曲线段AB扫过的阴影部分面积为5， ∴，即， 即将函数的图象沿x轴向左平移5个单位长度得到一条新函数的图象， ∴抛物线的解析式是，即． 故答案为：．    4．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）由题意得，，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线， ∵点， ∴点的坐标为． 设这个二次函数的表达式为：， 将代入，得：，解得：， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：∵，，， ∴，， ∴． 【经典例题十一 角度问题】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，过点作轴，则：，进而得到，设，则：，得到，进而得到点在直线上，推出直线与有交点，进行求解即可． 【详解】解：过点作轴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴点在直线上， ∴直线与有交点， 联立：，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，对于，对于， ∴， ∴； ∴； 故选D． 【例2】（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）先求出点D的坐标为，可得，，，的长， 过点A作于点E，再由，可得，再由勾股定理求出，从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，再由，可得，过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，设点M的坐标为，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 令，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点， ∴，， 如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点M作轴于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点M的坐标为， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或2或4， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 1．（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 2．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 3．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)记直线与抛物线的交点分别为A，B，且A在B的左侧，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，直线与抛物线交点问题； （1）把代入列方程求解即可； （2）联立直线与抛物线求出交点，，再作轴交于，则，得到为等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴这条抛物线的表达式为； （2）解：联立，解得或， ∴，， 如图，过作轴交于，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 【经典例题十二 特殊三角形问题】 【例1】（2023·山东德州·二模）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为(　　) A．20 B． C．22 D． 【答案】C 【分析】由于 , , ，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直线 : ，求出，的坐标，得出的长； 利用 的坐标，得直线： ，求出 ,坐标，得出的长；用同样的方法可求得，…的边长，然后根据各边长的特点得出一般化规律，求得的长． 【详解】解： 等腰直角三角形，为原点； 直线： ， ， 的坐标为（1，1），则 为（0，2） =2 为（0，2），直线 : （2，4），=4，则（0，6） （0，6），直线 : （3，9）， =6， 由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2 ∴△A10B11A11的斜边长为2+10×2=22， 综上，由此可以推出=22． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知 的长． 【例2】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出新的抛物线的解析式，分分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 则：关于原点对称的点为， ∵，关于原点对称，抛物线的开口大小不变，方向相反， ∴的解析式为：， ∴，对称轴为直线， 设，， 当点为直角顶点时，则，此时不存在点在抛物线上，不符合题意， 当点为直角顶点时，则，且，点在点下方： ∴轴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， 当点为直角顶点时，过点作于点，则：， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， 综上：点的坐标为或． 1．（2023·广西桂林·中考真题）已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上，能使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定等，熟知相关性质是正确解决本题的关键． 以点B为圆心线段长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接、，分三种情况求解． 【详解】解：以点B为圆心线段长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接、，如图所示． 令一次函数 中，则， ∴点A的坐标为； 令一次函数中，则， 解得：， ∴点B的坐标为． ． ∵抛物线的对称轴为， ∴点C的坐标为， ， 为等边三角形． 令中，则， 解得：，或． ∴点E的坐标为，点F的坐标为． 为等腰三角形分三种情况： ①当时，以B点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点； ②当时，以A点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，； ③当时，作线段的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点； ∴能使为等腰三角形的点P的个数有3个． 故答案选A． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】把解析式化为交点式可得解析式为，则，由抛物线开口向下，得到，据此可判断①②；可求出，，然后作差可得，据此可判断③；当时，，解不等式即可判断④求出，则，， ，再分分别为直角三角形，利用勾股定理建立方程求出的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴抛物线解析式为， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线上有两点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 在中，当时，，当时，， ∴， ∵， ∵，， ， 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，此时方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，符合条件的a值有2个，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 【答案】、、、． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , , ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 4．（2025·江西九江·模拟预测）如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键； （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， 把代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴， 设点，则，， ∴，，， 若为直角三角形， 则当时，， ∴，即 解得：或（舍去）； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴，即 解得：； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或． 【经典例题十三 特殊四边形】 【例1】（2025·河北石家庄·二模）如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两抛物线的对称轴相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 联立得：， 解得：或， ∴两抛物线的的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， ∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数， ∴两抛物线的开口大小一样， ∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确； 如图，连接， 由抛物线的对称性得：， 根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ∴， ∵两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴不符合题意， ∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误； 故选：C 【例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)存在． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的判定，掌握二次函数的图象和性质，分类讨论是解题的关键． （）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （）根据三角形的面积公式，可得答案； （）根据，可得函数图象的对称轴； （）分类讨论：点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即点坐标是 ， 当时，，解得，即点坐标是， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：的对称轴是直线； （4）解：对称轴上存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 1．（2025·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图， 正方形的顶点 ， 在抛物线 上， 点在轴上，若，两点的横坐标分别为， （），下列结论正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2); 存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：，； （2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴， ∵直线， ∴设的表达式为：， 联立直线与抛物线，得： ， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②存在，点的坐标为或或， 理由如下： 设直线与抛物线的交点为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴不在直线上， ∴一定存在， 设，然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分， 又，，， ∴，， ∴，， ∴； 第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键． 【经典例题十四 相似三角形问题】 【例1】（2024·浙江杭州·二模）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是(   ) A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣，根据二次函数的性质可得﹣，由此可得a=3，继而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得当E在AB上时，y=时，x=，据此即可作出判断． 【详解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5， 当E在BC上时，如图， ∵E作EF⊥AE，∴△ABE∽△ECF， ∴， ∴， ∴y=﹣， ∴当x=时，﹣， 解得a1=3，a2=（舍去）， ∴y=﹣， 当y=时，=﹣， 解得x1=，x2=， 当E在AB上时，y=时， x=3﹣=， 故①②正确， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可． （2）先根据已知条件得出，再利用平行线的性质得出， 再根据相似三角形的性质分或两种情况求解． 【详解】（1）解：设， 把点代入， 则 （2）解：，， 是等腰直角三角形， ∴， 轴， ， 若与相似，则或， 若，则轴， 点E的纵坐标为3， 当时， 或， ， 若， 设， 则， ， 的解析式为： 的解析式为：， 解方程组 或 综上∶或． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】D 【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知， ，，，，，，， ∵，，∴，， 又，∴，， 则①当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， ②当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， 综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据二次函数的图象和性质进行分析，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∴∠CEF+∠CFE=90°， ∵BC=4，BE=x， ∴CE=4﹣x． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠AEB=∠CFE． 又∵∠B=∠C=90°， ∴△AEB∽△EFC， ∴， 即， ∴y=（4x﹣x2）=﹣（x﹣2）2+ ∴y与x的函数关系式为：y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4） 由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2． 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 4．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）把点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后判断出平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式时方程只有一个根求解即可； （3）设点E的坐标为，表示出，然后根据相似三角形对应边成比例，分和，和是对应边两种情况列出比例式求解即可． 【详解】（1）解∶ 二次函数 的图象与x轴交于，两点， 解得， 则二次函数解析式为 ； （2）令，则， 点， 设直线的解析式为， 则 ， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知：平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大， 此时设过点P的直线为， 消掉y得， 整理得，， 此时， ， 解得， ，     点时，的面积最大； （3）存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图，设点E 的坐标为， 则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时， 则点Q坐标为； ②和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时，Q点与C点重合，E点与原点重合，即Q的坐标为； 综上所述，存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，判断出与平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，注意要分情况讨论． 【经典例题十五 其他问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 【例2】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P作轴于点D，交直线于点E，当的长为最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，则，当时，有最大值，此时． 【详解】（1）解：将点、代入， ， 解得， ； （2）解：如下图： 当，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 此时． 1．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点当点在抛物线上运动的过程中，以下结论：①为定值；②；③直线必过定点其中正确的结论有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，正确的计算是解题的关键．由点的坐标，根据勾股定理可得②正确，进而可以判断①，由，在抛物线上，得到，结合直线解析式可得，进而判断③． 【详解】解： 即 即 故②正确 ，， 故①正确 ，在抛物线上, 设直线的解析式为 将，，代入得 直线必过一定点故③错误 故选：B． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（   ） A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上 【答案】C 【分析】本题考查二次函数上点的坐标，把代入得到， 根据方程解得情况解答即可． 【详解】解：把代入得到： ， 当且时，a不存在， 即或时，点P一定不在抛物线上， 当时，，则，不符合题意， 即时，点P一定不在抛物线上， 故答案为：C． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法解决问题是数学上常用的方法之一．首先作出分段函数的图象，根据函数的图象即可确定的取值范围． 【详解】解：分段函数的图象如下图： 由图可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点， 则a取值范围是， 根据三个不同的交点，设从左到右其横坐标分别是，，， 由图可知：， 则， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的求法，正确的理解题意是解题的关键． （1）由题意得到，把代入即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）由题意知， 把代入，得， （2）由（1）知， 当时，， ， 作于D，则， ． 【拓展训练一 二次函数的现实应用】 【例1】（2025·河南周口·三模）如图所示，等边三角形的边长为1，点 D 从点A 出发，沿A→C→B 运动．在运动过程中，过点 D 作边的垂线，交于点G．设线段的长度为x，的面积为y，则 y关于x的函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的知识；根据题意可知，点C为临界点，分别研究D在C点两侧时的情况即可． 【详解】解：当 在中，， ， ，函数为开口向上的抛物线； 当时， 在中，， ， ，函数为开□向下的抛物线， 根据解析式可知C正确， 故选：C． 【例2】（2025·江苏淮安·一模）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，物资包裹距地面的高度米与离投放点的水平距离米的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米． (1)求物资包裹下落过程中y与x的函数关系式； (2)若无人机投放点正前方15米地面有10米高的障碍物，通过计算判断物资包裹下落过程中是否会撞上障碍物； (3)若投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变，求包裹落地点距离投放点的水平距离增加了多少． 【答案】(1) (2)物资包裹下落过程中不会撞上障碍物，理由见解析 (3)包裹落地点距离投放点的水平距离增加了2米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米，得到函数的图象过点，利用待定系数法求解即可； （2）依据题意，结合（1），令，则，可得，从而可以判断得解； （3）依据题意，由投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变，从而新抛物线解析式为，又令，可得，求出x后即可判断得解． 【详解】（1）解：无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米， 函数的图象过点， ， ， 与x的函数关系式为； （2）解：由（1）知， 令，则， ∵， 答：物资包裹下落过程中不会撞上障碍物． （3）解：投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变， 新抛物线解析式为 令，则， （舍去）， （米）， 包裹落地点距离投放点的水平距离增加了2米． 1．（2025·天津滨海新·一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别求出时的的值，时的的值以及二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； ∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；故①正确； 当时，，解得：或； ∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；故②正确； ∵， ∴当时，有最大值为：；故③错误； 故选B． 2．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 3．（23-24九年级上·河北沧州·阶段练习）用承重指数W衡量水平放置得长方体木板的最大称重量．实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x=3时，W=3．选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q=W厚-W薄，当x= 时，Q=3W薄． 【答案】2 【分析】由木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设（k≠0），将x=3时，W=3代入，得出W与x的函数关系式；设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6-x）厘米，化简即可得到Q与x的函数关系式；根据Q是的3倍，列出方程，求解即可． 【详解】∵木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比， ∴设（k≠0）． ∵当x=3时，W=3， ∴3=9k，解得， ∴W与x的函数关系式为：W=； 设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6-x）厘米， ∴Q= ， 即Q与x的函数关系式为； ∵Q是的3倍， ∴， 整理得，， 解得：（不合题意舍去）， 故为2时，Q是的3倍． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，求出W与x的函数关系式是解题的关键． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； (2)如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 【答案】(1) (2)3把 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出顶点M的坐标，设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出函数值为时对应的x的值，再结合椅子宽度即可求解． 【详解】（1）解：，， 结合所建直角坐标系，可得，， 顶点M的坐标为， 设抛物线函数关系式为：， 将代入解析式，得：， 解得， 抛物线函数关系式为； （2）解：，， 令， 解得，， ，， ∵椅子数量为正整数， ∴最多可摆放的椅子数量为3把． 【拓展训练二 二次函数的几何应用】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）小明同学在学习了二次函数时了解到可以用几何画板软件方便地画出函数图象，进而根据图象探索函数的性质．于是他运用几何画板画出了函数的图象如图所示，观察发现，该函数图象关于原点中心对称．若对于时，方程所有的整数解的平方和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象的应用，由题意得，即得，由函数图象可得，当时，整数，，，即可得方程的整数解为，，进而即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可得，当时，整数，，， 又由方程知， ∴方程的整数解为，， ∴方程所有的整数解的平方和为， 故选：． 【例2】（24-25九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上． (1)当，时，比较m与n的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求b的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． （1）由题意可知，抛物线解析式，将，代入，即可求出m和n得值，再比较即可； （2）由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 当，时，抛物线解析式为，点，， 将，代入抛物线解析式得， ，， （2）该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，， 点B在点A左侧， 对于，都有， ， 当时，，即， ， 对于，都有， ， 两边平方得，， 整理得，， ， 综上可知：． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，求出直线的解析式，求出抛物线与线段只有一个交点时的值，以及求抛物线过点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点坐标为点坐标为． 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴， 如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时， 联立 ∴，即 ∴ 解得：， 当抛物线经过点时， 解得：； ∴当抛物线与线段有两个公共点时，． 故选C． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）点，在抛物线上，且满足，，，则m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是通过得到；由，可得，再解不等式组即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 故选：． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当取任意正实数时，方程的实根所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数综合，理解题意，能用数形结合思想求解是解题的关键．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，结合图象得当m取任意正实数时，函数的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，当时， 与的交点A的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵方程变形为， ∴方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， ∵当m取任意正实数时，函数的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限， ∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数， ∵当m取任意正实数时，函数的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，当时， 与的交点A的坐标为， ∴当m取任意正实数时，方程的实根一定在的范围内． 故答案为：． 4．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【答案】(1)； (2)对称轴为直线时，的值最大，最大值为． 【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入与中，得 ，， 得． （2） 解：如图：      ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）小迪同学以二次函数的图象（O为坐标原点）为灵感设计了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若，则酒杯的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据的长度确定点的横坐标，再代入二次函数求出点的纵坐标，最后结合二次函数顶点坐标求出的长度．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：，且抛物线关于轴对称 点的横坐标为 点在抛物线上 当时， 抛物线的顶点的坐标为 故选：D． 2．（2025·河南周口·一模）如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为； ②若水面由位置l下降，水面宽度为； ③若水面由位置l下降，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设二次函数关系式为，把点代入得：， ∴该二次函数的解析式为；故①正确； ②根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， 此时水面宽为；故②错误； ③根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加；故③正确； 综上所述：正确的个数有①③两个； 故选B． 3．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， 故选：B． 5．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与轴两交点的距离是解题的关键． 根据，可得，由，令，用求根公式得到两个交点横坐标的值，由此可得，则，再根据平移的性质可得，即点到轴的距离为2，根据函数图象平移得到平移后的二次函数，令，可得，由此可得，结合图形面积公式计算，由此即可求解． 【详解】解：已知．点在抛物线上，的面积为4， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴，则， ∴二次函数解析式为：， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，设， ∴，则， ∴， 整理得，， ∵将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为， ∴， ∴设平移后的二次函数解析式为， ∴， 设平移后二次函数与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 6．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴小球从抛出到落地需要，正确，故①符合题意； ，由于， ∴当时，小球运动的高度是20m，不可能为，故②错误，不符合题意； 当时，，当时，， 那么小球运动时的高度等于运动时的高度，故③错误，不符合题意， ∴正确的个数为1， 故选：B． 7．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 8．（2018九年级·全国·专题练习）如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（    ） A．2m B．2m C．m D．m 【答案】A 【详解】建立如图所示直角坐标系： 可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–， ∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A． 9．（20-21九年级上·安徽·阶段练习）如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行的时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 4.5 14 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m），和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=56t2-2t22滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了26s，则滑坡AB的长度为（    ）    A．374米 B．384米 C．375米 D．385米 【答案】B 【分析】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c=0，故设，取两组数据代入，求出解析式，滑雪者在BC段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC段的滑行时间，即可得出在AB段的滑行时间，最后代入函数解析式求出AB段的长度即可． 【详解】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c=0， 设， 取两组数据代入可得：， 解得：， ， 滑雪者在缓冲带BC上滑行时间为：s， 滑雪者在滑坡AB上滑行时间为：26－14=12s， 令t1=12，， 滑坡AB的长度为384米． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，滑雪者在BC段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC段的滑行时间是解题关键． 10．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查“叠梦点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“叠梦二次函数”的解析式为，确定，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点， ， 解得：， ∵这个“叠梦二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ， ， ， ∴点在直线上运动， 设直线与“叠梦二次函数”交于点， 当时，， ， 二次函数的顶点为， ， ∴当点的坐标为时，此时点与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故选：B． 11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与图形面积的计算，理解题意，得到截取面板的面积为，结合二次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵截取的两块面板均为正方形，，则，设截取面板的面积为， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小为， 故答案为：1 ． 12．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 【答案】65 【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件，根据题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件， 根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值为2250． 元， ∴该种玩具的售价为65元/件时，该商场每个月的利润最大． 故答案为：65． 13．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：）与电流I（单位：），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 （填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流． 【答案】已 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把代入到中求出I的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴或（舍去）， ∵， ∴当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流已超过人体能承受的安全电流． 故答案为：已． 14．（2025·黑龙江大庆·二模）我们把a，b，c三个数的中间值记作，例如，；若直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： 根据题意画出函数的图象，找到临近点，进行求解即可． 【详解】解：由题意，函数 画出函数图象如图所示， ∵直线与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点时， 则， 解得：， 当直线经过点时， 解得：， 此时直线与函数的图象恰好有3个交点， 当时，平行于， 与函数的图象也有且仅有两个交点； ∴直线与函数的图象有且只有2个交点，k的取值为：或． 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，灵活运用二次函数顶点式，图象和性质及分类讨论的方法是解题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域(包括边界)恰有4个整点的边界，易知抛物线的顶点坐标为，当时，过点， ， ，显然，“整点”，，符合题意，再将和代入即可，当时，过点， ，，，显然，“整点”，，符合题意，再将，代入即可得a的取值范围． 【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个， 的取值范围是； Ⅱ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得，此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个， 的取值范围是； 故答案为：或 ． 16．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 17．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少． 【答案】 【分析】设抛物线的解析式为，把点代入解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，纵坐标的绝对值就是的长度． 本题考查了抛物线的应用之喷泉问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把点代入解析式， 得， 解得， 故抛物线解析式为 当时，. ∴水管的长度为． 18．（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，求离地面150米处的水平宽度（即的长）．                             【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出内侧抛物线的解析式为，将代入求出，然后求出即可． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，， 设内侧抛物线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）． 19．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于A，D两点（D在A的左侧），且C点是该抛物线的顶点． (1)求点D的坐标（用含a的代数式表示）； (2)直线交y轴于点K，连接，若的面积是面积的3倍，求出此时a的值； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴交抛物线于点P，E、F为抛物线上动点（点E在点P的左侧，点F在P的右侧），直线分别交x轴于点M、N，若，求证：直线过一个定点，并求出此定点． 【答案】(1) (2) (3)见解析，定点 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）当时，解出方程即可求D点坐标； （2）先求直线的解析式为，再由的面积是面积的3倍，过点A作直线的平行线为，将点A代入即可求； （3）设直线的解析式为，当时，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，，，再由，得，根据，，求出，则直线的解析式为，可知直线经过定点． 【详解】（1）解：当时，解得或， ∴当时，，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为，直线交轴于点， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点为， ∴， 在轴上取点，使的面积为面积的3倍， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是面积的3倍， ∴， ∴的解析式为， 由（1）可知：， 将点A代入，可得， 解得； （3）证明：设直线的解析式为， 当时，则：， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， ∴， 同理， ∵过点作轴交抛物线于点P， ∴， 当时，则：， ∴， 当时，则：， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线经过定点． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线：经过，两点，且与y轴的正半轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，D在第二象限内抛物线上，交于点E，连接，若的面积是面积的2倍，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，若，点H与点Q关于x轴对称，点F是对称轴左侧抛物线上一动点，连接交抛物线于点M，连接并延长交抛物线于点N，连接，若直线的解析式为，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将，两点代入解析式，即可求解； （2）过作轴交的延长线于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由三角形的面积得，设，，待定系数法求出直线的解析式，将的坐标代入，即可求解； （3）设，，，由待定系数法得直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，将、的坐标分别代入直线、的解析式，将两式相加整理得， 联立抛物线与直线解析式得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式：； （2）解：过作轴交的延长线于， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 设， ， 当时，， ， 设直线的解析式：，则有 ， 解得：， 直线的解析式：， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 点D的坐标为或； （3）解：由题意得 的解析式为： ， 设， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 是关于轴的对称点， ， ， ， 整理得：①， ②， ①②得： ， 整理得： ， 点F是对称轴左侧抛物线上一动点， ， ， ， 联立得， ， 、在抛物线上， ， ， 解得：； 故得值为． 【点睛】本题考查了待定系数法，相似三角形的判定及性质，直线与抛物线交点中的一元二次方程根与系数关系，理解直线与线与抛物线交点中的一元二次方程根与系数关系，能熟练利用待定系数法求解一次函数和二次函数的解析式及相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.4 二次函数的应用重难点题型专训 （2个知识点+15大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 图形问题 题型二 图形运动问题 题型三 拱桥问题 题型四 销售问题 题型五 投球问题 题型六 喷水问题 题型七 增长率问题 题型八 其他问题 题型九 线段周长问题 题型十 面积问题 题型十一 角度问题 题型十二 特殊三角形问题 题型十三 特殊四边形 题型十四 相似三角形问题 题型十五 其他问题 拓展训练一 二次函数的现实应用 拓展训练二 二次函数的几何应用 知识点一：二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·天津静海·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为 ． 知识点二：二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【经典例题一 图形问题】 【例1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x，七张桌子总面积为S，则S与x的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为 ． 4．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当边为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少平方米？ 【经典例题二 图形运动问题】 【例1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【例2】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小．    A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【经典例题三 拱桥问题】 【例1】（2025·广西来宾·三模）如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图是一座拱桥的轮廓，桥下方的曲线是抛物线的一部分；跨度，抛物线顶点到的距离是，相邻支柱间，则支柱的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【经典例题四 销售问题】 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（   ） A．90元 B．85元 C．80元 D．55元 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为 元能获得最大利润． 4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【经典例题五 投球问题】 【例1】（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度 与打出后飞行的时间之间的关系是．问：经过多少秒钟，球飞出的高度为． 1．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级下·天津·期中）某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【经典例题六 喷水问题】 【例1】（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 1．（24-25九年级·湖南郴州·课后作业）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【经典例题七 增长率问题】 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【经典例题八 其他问题】 【例1】（23-24九年级上·四川南充·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数增加1，单株产量减少．每平方米种植多少株时，能获得最大产量？最大产量为多少千克？ 1．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m． 4．（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【经典例题九 线段周长问题】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 3．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【经典例题十 面积问题】 【例1】（2025·江西·一模）如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏泰州·三模）二次函数经过点、，与y轴相交于点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)设这个二次函数图象的顶点是M，求的面积． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，点，是抛物线：上的两点，将抛物线向左平移得到抛物线，且曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，则抛物线的解析式为 ．    4．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 【经典例题十一 角度问题】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024·四川广元·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 3．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)记直线与抛物线的交点分别为A，B，且A在B的左侧，求的度数． 【经典例题十二 特殊三角形问题】 【例1】（2023·山东德州·二模）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为(　　) A．20 B． C．22 D． 【例2】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 1．（2023·广西桂林·中考真题）已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上，能使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 4．（2025·江西九江·模拟预测）如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 【经典例题十三 特殊四边形】 【例1】（2025·河北石家庄·二模）如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 1．（2025·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图， 正方形的顶点 ， 在抛物线 上， 点在轴上，若，两点的横坐标分别为， （），下列结论正确的是 （  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 【经典例题十四 相似三角形问题】 【例1】（2024·浙江杭州·二模）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是(   ) A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当与相似时，求点的坐标． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是 A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 4．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 【经典例题十五 其他问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P作轴于点D，交直线于点E，当的长为最大值时，求点P的坐标． 1．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点当点在抛物线上运动的过程中，以下结论：①为定值；②；③直线必过定点其中正确的结论有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（   ） A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 【拓展训练一 二次函数的现实应用】 【例1】（2025·河南周口·三模）如图所示，等边三角形的边长为1，点 D 从点A 出发，沿A→C→B 运动．在运动过程中，过点 D 作边的垂线，交于点G．设线段的长度为x，的面积为y，则 y关于x的函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏淮安·一模）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，物资包裹距地面的高度米与离投放点的水平距离米的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米． (1)求物资包裹下落过程中y与x的函数关系式； (2)若无人机投放点正前方15米地面有10米高的障碍物，通过计算判断物资包裹下落过程中是否会撞上障碍物； (3)若投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变，求包裹落地点距离投放点的水平距离增加了多少． 1．（2025·天津滨海新·一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北沧州·阶段练习）用承重指数W衡量水平放置得长方体木板的最大称重量．实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x=3时，W=3．选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q=W厚-W薄，当x= 时，Q=3W薄． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； (2)如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 【拓展训练二 二次函数的几何应用】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）小明同学在学习了二次函数时了解到可以用几何画板软件方便地画出函数图象，进而根据图象探索函数的性质．于是他运用几何画板画出了函数的图象如图所示，观察发现，该函数图象关于原点中心对称．若对于时，方程所有的整数解的平方和是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上． (1)当，时，比较m与n的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求b的取值范围． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）点，在抛物线上，且满足，，，则m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当取任意正实数时，方程的实根所在的范围是 ． 4．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）小迪同学以二次函数的图象（O为坐标原点）为灵感设计了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若，则酒杯的高为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南周口·一模）如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为； ②若水面由位置l下降，水面宽度为； ③若水面由位置l下降，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 6．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2018九年级·全国·专题练习）如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（    ） A．2m B．2m C．m D．m 9．（20-21九年级上·安徽·阶段练习）如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行的时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 4.5 14 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m），和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=56t2-2t22滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了26s，则滑坡AB的长度为（    ）    A．374米 B．384米 C．375米 D．385米 10．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 11．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 12．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大． 13．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：）与电流I（单位：），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 （填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流． 14．（2025·黑龙江大庆·二模）我们把a，b，c三个数的中间值记作，例如，；若直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ． 16．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 17．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少． 18．（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，求离地面150米处的水平宽度（即的长）．                             19．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于A，D两点（D在A的左侧），且C点是该抛物线的顶点． (1)求点D的坐标（用含a的代数式表示）； (2)直线交y轴于点K，连接，若的面积是面积的3倍，求出此时a的值； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴交抛物线于点P，E、F为抛物线上动点（点E在点P的左侧，点F在P的右侧），直线分别交x轴于点M、N，若，求证：直线过一个定点，并求出此定点． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线：经过，两点，且与y轴的正半轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，D在第二象限内抛物线上，交于点E，连接，若的面积是面积的2倍，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，若，点H与点Q关于x轴对称，点F是对称轴左侧抛物线上一动点，连接交抛物线于点M，连接并延长交抛物线于点N，连接，若直线的解析式为，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$