24.4 弧长和扇形面积 导学案 2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.4　第1课时　弧长公式和扇形面积公式 素养目标 1.知道弧长、扇形面积的计算公式,会推导二者之间的关系. 2.会恰当熟练地运用公式计算弧长及扇形的面积,增强数学运用能力. 3.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程,体验从特殊到一般的学习方法. ◎重点:弧长及扇形面积公式的推导及应用. 【预习导学】 知识点一：弧长公式   认真阅读课本本课时“思考”至“例1”,完成下列“弧长公式”的推导: 将以圆心为顶点的周角360等分，则得到360个度数是1°的圆心角，每个圆心角所对的弧 (填“相等”或“不相等”),每条弧的长度等于圆周长的　　　　.设圆的半径为R,则圆的周长是 ,1°的圆心角所对的弧长是　　　　,n°的圆心角所对的弧长是　　　　.  归纳总结　在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l=　　　　.  知识点二：扇形面积公式   活动一:仿照“弧长公式”的推导过程,试着独立完成“扇形面积公式”的推导过程. 学习小助手：　在半径为R的圆中,将以圆心为顶点的周角360等分,则得到360个度数是1°的扇形,每个扇形的面积是圆面积的　　　　,即　　　　,n°的扇形的面积为　　　　 .  归纳总结　半径为R,圆心角为n°的扇形的面积S扇形=　　　　.  活动二:认真阅读课本本课时第二个“思考”下面一个自然段以及旁边的提示栏,解决下面的问题. 【讨论】为什么扇形的面积公式可以用弧长l和半径R表示为lR? 【合作探究】 任务驱动一：弧长公式、扇形面积公式的变形应用 1.已知在☉O中,扇形的弧长为12π,所对的圆心角为40°,则☉O的半径为 ,扇形的面积为 .  变式演练　 1.已知某扇形的面积为12π,半径等于6,则它的圆心角等于 ,弧长为 .  2.如图,一扇形纸扇完全打开后,AB和AC的夹角为120°,AB的长为25 cm,贴纸部分的宽BD为15 cm. (1)求的长度. (2)求纸扇上贴纸部分的面积. 方法归纳交流　弧长公式和扇形面积公式中各有三个量,已知其中任意两个量,可以求出第三个. 温馨提示　若题目中没有精确度的要求,一般结果保留π. 任务驱动二：图形中特殊面积的求法 2.(推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D. (1)证明:AD=3BD. (2)求的长度. (3)求阴影部分的面积. 变式演练　 如图,这是两个半圆,点O是大半圆的圆心,大半圆的弦AB与小半圆相切,且AB=18.问:能否求出阴影部分的面积?若能,求出此面积;若不能,请说明理由. 方法归纳交流　不规则图形面积的求法:用分割或补全的办法,转化为规则图形的面积和或者面积差. 参考答案 【预习导学】 知识点一 相等　　2πR　　 归纳总结 知识点二 活动一: 　　 归纳总结 活动二: 【讨论】 解:∵l=,∴S扇形==R·=lR. 【合作探究】 任务驱动一 1.54　324π 变式演练　1.120°　4π 2.解:(1)的长度为==π(cm). (2)∵AB=25 cm,BD=15 cm, ∴AD=25-15=10(cm). ∵S扇形ABC==(cm2), S扇形ADE==(cm2), ∴贴纸部分的面积为-=175π(cm2). 任务驱动二 2.解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°. ∵BC为半圆O的直径, ∴∠CDB=90°, ∴∠BCD=30°, ∴BC=2BD. ∵∠A=30°, ∴AB=2BC=4BD, ∴AD=3BD. (2)由(1)得∠B=60°,易得△BOD为等边三角形, ∴∠BOD=60°. ∵BC=4, ∴OC=OD=OB=2, ∴的长为==π. (3)∵BC=4,∠BCD=30°, ∴CD=BC=2, ∴图中阴影部分的面积=S扇形COD-S△COD=-×2×1=-. 变式演练　 解:能求出阴影部分的面积. 设大半圆与小半圆的半径分别为R和r,平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O重合,如图,作OH⊥AB于点H,连接OB,则OH=r,AH=BH=9.在Rt△OHB中,R2-r2=92=81, ∴S阴影=S半圆环=π(R2-r2)=π. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4 第2课时　圆锥的侧面展开图 素养目标 1.知道圆锥母线的概念,知道圆锥的侧面积和全面积公式. 2.会计算圆锥的侧面积和全面积,并能灵活解决有关圆锥的计算题. ◎重点:圆锥侧面积的计算. 【预习导学】 知识点一：圆锥的有关概念   认真阅读课本本课时“思考”之前的一个自然段,重点理解圆锥的“母线”的概念,填空: 归纳总结　圆锥有 个底面和 个侧面.连接圆锥 和底面圆周上任意一点的 叫作圆锥的母线,所以圆锥有 条母线,这些母线长都 .  知识点二：圆锥侧面积和全面积   认真阅读课本本课时“例3”上面的一个自然段,填空: 如图,沿圆锥的任意一条母线将圆锥的侧面剪开,得到的是一个 ,它的半径等于圆锥的 长,弧长等于圆锥底面圆的 ,圆锥的侧面积等于 的面积,圆锥的全面积= 面积+ 面积.  归纳总结　设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么圆锥侧面展开图的扇形的半径为 ,扇形的弧长为 ,圆锥的侧面积为 ,圆锥的全面积为 .  【合作探究】 任务驱动一：求圆锥侧面展开图的圆心角的度数 1.将一个底面半径为6 cm,母线长为15 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开,求所得的侧面展开图的圆心角. 变式演练　 在半径为50 cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮,用剩余部分制作成一个底面直径为80 cm,母线长为50 cm的圆锥形烟囱帽,则剪去的扇形的圆心角是多少度? 任务驱动二：求圆锥的高或底面半径 2.如图,已知扇形的圆心角为120°,面积为300π cm2. (1)求扇形的弧长. (2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥底面圆的半径是多少? 变式演练　 如图,圆锥侧面展开得到扇形,此扇形的半径AB=4,圆心角∠CAB=90°,求此圆锥的高AO的长度. 任务驱动三：综合运用 3.如图,在正方形网格图中,建立平面直角坐标系,一条圆弧经过格点A(0,4),B(-4,4),C(-6,2),若该圆弧所在圆的圆心为D点,请你利用网格图回答下列问题: (1)圆心D的坐标为　　　　.  (2)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的底面圆的半径长(结果保留根号). 变式演练　 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm,弧长为12π cm的扇形,求这个圆锥的侧面积及高. 参考答案 【预习导学】 知识点一 归纳总结 一　一　顶点　线段　无数　相等 知识点二 扇形　母线　周长　扇形　侧　底 归纳总结 l　2πr　πrl　πrl+πr2 【合作探究】 任务驱动一 1.解:设所得的侧面展开图的圆心角为α°, 依题意可得=2×6π ,解得α=144. 变式演练　 解:设剩余部分扇形的圆心角为n°. 根据剩余部分扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得=80π, 解得n=288, 则剪去的圆心角的度数为360°-288°=72°. 任务驱动二 2.解:(1) ∵300π=, ∴R=30,∴弧长l==20π(cm). (2)设底面圆的半径为r. ∵20π=2πr,∴r=10(cm). 变式演练　 解:设圆锥的底面圆的半径为r, 根据题意得2πr=, 解得r=1, 即OB=1, 所以AO===, 此圆锥的高AO的长度为. 任务驱动三 3.解:(1)(-2,0).提示:如图1,分别作线段AB和线段BC的垂直平分线,两垂直平分线的交点,就是圆心D, 点D正好在x轴上,点D的坐标是(-2,0). (2)如图2,连接AC,AD,CD. 易得☉D的半径长==2,AC==2, ∵AD2+CD2=20+20=40,AC2=40, ∴AD2+CD2=AC2, ∴∠ADC=90°. 设圆锥的底面圆的半径长为r, 则2πr=, 解得r=, 所以该圆锥的底面圆的半径长为. 变式演练　 解:侧面积为×12×12π=72π(cm2). 设底面半径为r,则有2πr=12π,∴r=6 cm. 由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形,根据勾股定理可得高为=6(cm). 学科网（北京）股份有限公司 $$