2.1.2两条平行线平行和垂直的判定 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 1.掌握两条直线的位置关系的判定 2.学会用直线的斜率判断直线的平行与垂直的条件 3.在探究直线的斜率过程中，掌握利用代数方法研究几何问题的解析几何的基本方法. 学习目标 新课导入 为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角； 再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题． 下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系． 新课导入 我们知道，在平面几何中的两条直线有两种位置关系：相交、平行，用两条直线不相交来定义平行,你还记得平行线的性质定理和判定定理吗？ 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 新课探究 问题1: 两条直线l1与直线l2斜率存在，当l2与l1平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系? O y x l1// l2 tan=tan = 1. 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 2. 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为 90°, 显然有l1 // l2. 3. 若直线l1, l2重合，此时仍然有k1 =k2. 用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论 . 若没有特别说明，说“两条直线l1 ，l2”时，指两个不重合的直线. 形 数 新知讲解——直线平行的判定 两条不重合直线平行的判定 已知两条不重合的直线l1,l2，则“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的_________条件 必要不充分 新知讲解——直线平行的判定 可用斜率相等证三点共线. 练习1.若三点A(2,1)，B(﹣2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m的值为______． 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2， 典例分析 例2 已知A(2, 3), B(-4, 0), P(-3, 1), Q(-1, 2), 试判断直线AB与PQ的位置关系, 并证明你的结论. O y x • B(-4,0) B(2,3) • P(-3,1) • Q(-1,2) • 典例分析 例3 已知四边形 ABCD的四个顶点分别为A(0, 0), B(2, -1), C(4, 2), D(2, 3),试判断四边形ABCD的形状, 并给出证明. O y x • A B(2,-1) • C(2,3) • D(2,3) • 新课探究 问题2 两条直线相交，它们之间的斜率有怎样的关系？ 两条直线相交 斜率不相等 垂直是最特殊的情形, 当直线l1, l2垂直时, 它们的斜率除了不相等外, 是否还有特殊的数量关系? 新课探究 问题3 对于两条直线l1与l2，其方向向量分别为与，斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，与之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ O y x └ 设两条直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则直线l1, l2的方向向量分别是 也就是说 当直线l1或l2的倾斜角为90°时, 若l1⊥l2, 则另一条直线的倾斜角为0°; 反之亦然. 如果两条直线都有斜率, 新课探究 问题3 对于两条直线l1与l2，其方向向量分别为与，斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，与之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ O y x └ 还有别的证明方法吗？ ∴α2=α1+ ∴tan α2=tan (α1+=- ∵l1⊥l2 ∴tan α2×tan α1=-1 新知讲解——直线垂直的判定 两条直线垂直的判定 （1）斜率存在时: （2） l1⊥l2 ⇔ k1k2= -1 一条的斜率为0，另一条斜率不存在→l1⊥l2 典例分析 例4 已知A(-6, 0), B(3, 6), P(0, 3), Q(6, -6), 试判断直线AB与PQ的位置关系. 典例分析 例5 已知A(5, -1), B(1, 1), C(2, 3)三点, 试判断△ABC的形状. O x y A C B 先画图预判再用斜率验证 典例分析 练习3.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状． 直角梯形 新知讲解 思考：如何利用斜率证明两条直线垂直？ 第一步 求斜率：分别求两条直线的斜率； 第二步 确定斜率关系：两个斜率乘积等于-1 或一个斜率不存在、一个斜率为0； 第三步 下结论：所以两直线垂直. 新知讲解 与斜率有关的最值或范围问题 新知讲解 新知讲解 新知讲解 新知讲解 巩固练习 P57 1. 判断下列各对直线是否平行或垂直: (1) 经过A(2, 3), B(-1, 0)两点的直线l1, 与经过点P(1, 0)且斜率为1的直线l2; (2) 经过C(3, 1), D(-2, 0)两点的直线l3, 与经过点M(1, -4)且斜率为-5的直线l4. 巩固练习 P57 2. 试确定m的值, 使过A(m, 1), B(-1, m)两点的直线与过P(1, 2), Q(-5, 0)两点的直线: (1) 平行； (2)垂直. O y x 1. 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 2. 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为90°, 显然有l1 // l2. O y x └ 当直线l1或l2的倾斜角为90°时, 若l1⊥l2, 则另一条直线的倾斜角为0°; 反之亦然. 课堂总结 几何问题 代数问题 代数方法 几何对象的性质 代数问题的解 坐标系 解释 3. 利用代数方法研究几何问题是解析几何的基本方法. 随堂检测 1. 下列说法正确的是( @27@ ) A. 若直线 与 的倾斜角相等，则 B. 若直线 ，则它们的斜率之积 C. 若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于 轴 D. 若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 D [解析] A中， <m></m> 与 <m></m> 可能重合； B中， <m></m> ， <m></m> 两条直线中可能其中一条直线没有斜率； C中，直线也可能与 <m></m> 轴重合. 故选D. 随堂检测 2. 若过点 和点 的直线与方向向量为 的直线 平行或重合,则实数 的值是( @29@ ) A. B. C. D. B [解析] 由题意得，直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> , <m></m> ， 因为两直线平行或重合，所以 <m></m> ,解得 <m></m> .故选B. 3. 若直线 经过点 和 ,且与斜率为 的直线垂直,则实数 的值是( @31@ ) A. B. C. D. A [解析] 依题意得, <m></m> ,即 <m></m> ,解得 <m></m> ,故选A. 课后练习 习题2.1 课后练习 习题2.1 课后练习 习题2.1 课后练习 习题2.1 课后练习 习题2.1 课后练习 习题2.1 课后练习 习题2.1 y P O A B x 课后练习 习题2.1 课后练习 习题2.1 $$