专题五 数列 第一讲 数列通项公式课件——2026届高考数学一轮复习

2026届高考一轮复习 专题五 数列 第一讲 数列通项公式 目录 01 思维导图 02 基础知识梳理 03 重难点解析 04 高考考情分析 05 技巧归纳 06 重点题型突破 高考考情分析 高考考情分析 数列的概念和递推公式是高考的热点，主要考查已知递推关系求通项公式、由an与Sn的关系求通项公式、利用数列的性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度中等. 高考考情分析 等差数列的概念、通项公式考查等差数列的定义与性质的综合应用，以及利用“知三求二”求等差数列的基本量，或者等差数列与函数、不等式等的综合应用问题，主要考查等差数列与等差数列的性质，一般以选择题、填空题和解答题为主，考查数学运算和逻辑推理能力. 高考考情分析 等比数列是高考的考查热点，考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式，以及利用“知三求二”的基本量的计算与推理，特别注意等比数列的证明，与错位相减法、不等式与等差数列的综合，主要考查等比数列与等比数列的性质，一般以选择题、填空题和解答题为主，考查数学运算和逻辑推理能力. 基础知识梳理 基础知识梳理 1.数列的通项公式： 2.数列的递推公式 基础知识梳理 3.等差数列的概念： 4.等差中项： 基础知识梳理 5.等差数列的通项公式： 6.等比数列的概念： 基础知识梳理 7.等比中项： 8.等比数列的通项公式： 重难点解析 重难点解析 等差数列的性质： 技巧归纳 技巧归纳 1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略： （1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法. （2）具体策略： ①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑤对于符号交替出现的情况，可用(-1)k或(-1)k+1 ， 处理. 技巧归纳 2.应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤 （1）构建等比数列模型； （4）还原为实际问题. （2）明确a1，q，n，an等基本量； （3）利用an=a1qn-1求解； 技巧归纳 3.判定数列是等比数列的常用方法： 技巧归纳 4.等比数列基本运算中的常用技巧： 技巧归纳 4.等比数列基本运算中的常用技巧： 技巧归纳 5.数列与不等式的综合问题的解题策略 （1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解. （2）对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，有时需构造函数，利用函数的单调性，最值来证明. 技巧归纳 6.数列与函数的综合问题的解题策略 （1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究. （2）已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形. （3）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解. 技巧归纳 7.解答数列实际应用题的步骤 （1）审题：仔细阅读题目，认真理解题意. （2）建模：将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，分清数列是等差数列、等比数列，还是递推数列，是求通项还是求前n项和. （3）求解：求出该问题的数学解. （4）还原：将所求结果还原到实际问题中. 重点题型突破 重点题型突破 B 重点题型突破 重点题型突破 B 重点题型突破 重点题型突破 B 重点题型突破 重点题型突破 C 重点题型突破 重点题型突破 C 重点题型突破 重点题型突破 ACD 重点题型突破 重点题型突破 重点题型突破 重点题型突破 谢谢观看 如果数列 的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道， . 首项为 ，公差为d的等差数列 的通项公式为 . 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然 ）. 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时， . 首项为 ，公比为q的等比数列 的通项公式为 . 已知数列 是等差数列， （1）若 ，则有 . （2）等差数列 的单调性：当 时， 是递增函数；当 时， 是递减函数；当 时， 是常数列. （3）若 是等差数列，公差为d，则 是公差为 的等差数列. （1）定义法：验证 （q为常数且不为0）是否成立，但应注意必须从第二项（即 ）起所有项都满足此等式； 等比中项法：验证 （ ， 且 ）是否成立； （3）通项公式法：验证 是否成立，但应注意隐含条件是 ， . （1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为 ；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为 （注意：此时公比 ，并不适合所有情况）.这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便. （2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时还要注意合理运用 . 1．[2025届安徽六安三模校考]“数列 为常数列”是“数列 既是等差数列又是等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若数列 为常数列0，0，0，0，…，此时 是等差数列，但不是等比数列，充分性不成立； 若数列 既是等差数列又是等比数列，则 ， ，当 时， ，此时 为常数列；当 时， ； 数列 为常数列，必要性成立；综上所述：“数列 为常数列”是“数列 既是等差数列又是等比数列”的必要不充分条件.故选：B. 2．[2025届安徽一模联考]已知等差数列 的前8项和为48； ，则 的公差为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 解析：依题意 ，即 ，假设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ，故选B. 3．[2025届·山东泰安一模]等差数列 满足 ， ，则 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 解析：设等差数列 的公差为d，因为 ， ，可得 ，可得 ，又由 .故选：B. 4．[2025届安徽马鞍山三模]若等差数列 的公差 ，等比数列 的公比 ，且 ， ，则 ( ) A.6 B.8 C.9 D.12 解析：因为 ，所以 ，即 ，由 ，所以 ，即 ，故选：C 5．[2025届·广西桂一模]已知各项均为正数的等比数列 ， ，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： ， ，故选：C. 6．[2021年全国高考真题]设正整数 ，其中 ，记 ，则( ) A. B. C. D. 解析： ，假设 ， ，…， ， 中有m个1（ ），则 .又 ，则 ， ，…， ， 中也有m个1，则 ，故A项正确； 当 时， ， ，所以 ，又 ，所以 ，故B项错误； ， ，由A知， ，所以 ，所以 ，故C项正确； 因为 ，所以 ， ，…， ， 中有n个1，所以 ，故D项正确.故选：ACD. 7．[2022年全国高考真题]已知 是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 . （1）证明： ； （2）求集合 中元素的个数. 解析：（1）证明：设等差数列 的公差为d. 由 得 ，故 ，① 由 得 ， 故 ，② 由①②得 ，即 . （2）由（1）知 ，由 ， 得 ， 即 ，其中 ， ， 即 ， ， ， . 故集合 中元素的个数为9. $$