拓展训练02 椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

拓展训练02 椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类 目录 典例详解 类型一、斜率乘积求离心率 类型二、定比分点求离心率 类型三、余弦定理求离心率 类型四、构造齐次方程求离心率 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 压轴专练 类型一、斜率乘积求离心率 【知识归纳】 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 例1．椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 类型二、定比分点求离心率 【知识归纳】 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 例2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【变式2-2】过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式2-3】已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（    ） A． B． C． D． 类型三、余弦定理求离心率 例3．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .    类型四、构造齐次方程求离心率 例4．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 例5．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 例6．已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 例7．设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知双曲线的左，右焦点分别为，，为轴上一点，线段交于点，，的内切圆半径为，，则的离心率是（   ） A． B．2 C． D． 【变式7-3】已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 例8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式8-1】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率(　　) A． B． C． D．2 【变式8-2】已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 例9．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 例10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 例11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．双曲线E：的左、右焦点分别为，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为10a，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 7．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为是线段的中点，过作的垂线交轴于点（异于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 二、多选题 11．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，下列命题正确的是（   ） A．若椭圆上存在一点使，则椭圆离心率的取值范围是 B．若椭圆上存在四个点使得，则的离心率的取值范围是 C．若椭圆上恰有6个不同的点， 使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若任意以椭圆的上顶点为圆心的圆与椭圆至多3个公共点，则椭圆的离心率的取值范围是 12．已知圆M：在椭圆C：的内部（不包含边界），与圆M相切于点D的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，且D为AB的中点，则（    ） A．若D的坐标为，则椭圆C的离心率为 B．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为 C．对任意给定的a，b，m，直线l有且仅有4条 D．存在给定的a，b，m，使得直线l有且仅有2条 13．如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则 C． D．若，则的最大值是 14．已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 三、填空题 15．如图1，已知椭圆为右焦点弦，若面积的最大值恰好在时达到（如图2），则椭圆的离心率的取值范围是 ． 16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为 ． 17．已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为 ． 19．设为双曲线的左、右焦点，双曲线与圆的一个交点为，若的最大值为，则双曲线的离心率为 ． 20．若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展训练02 椭圆、双曲线中的离心率求值及取值范围11类题型归类 目录 典例详解 类型一、斜率乘积求离心率 类型二、定比分点求离心率 类型三、余弦定理求离心率 类型四、构造齐次方程求离心率 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 压轴专练 类型一、斜率乘积求离心率 【知识归纳】 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 例1．椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解. 【详解】如图，取线段的中点为，连接，    因为，所以为中点，又为中点， 所以， 直线的斜率与的斜率乘积为，所以． 设，则， 两式相减可得， 整理得，即， 所以，所以，则． 故选：B． 【变式1-1】已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设出各个点的坐标，注意到，结合，两式相比结合斜率公式即可求解. 【详解】如图所示：    设，则， 而， 又因为， 所以，解得， 所以椭圆离心率为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是发现，由此即可顺利得解. 类型二、定比分点求离心率 【知识归纳】 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 例2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据勾股定理探索的关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 【变式2-1】已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，设，利用推出N为的中点，继而可得，结合直线的斜率即可推出，再结合双曲线的定义可得的关系，求得答案. 【详解】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，连接， 因为，故，设， 则，而P为的中点，则， 故，即N为的中点， 而O是的中点，故是的中位线，则， 又，故，则为等腰三角形，即得，（c为双曲线的半焦距）； 又直线的斜率为，即，则。（为锐角）， 在中，，故，即， 则， 由双曲线定义知，即得，即， 故，即双曲线E的离心率为3， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用直线的斜率结合图形的几何性质推出线段之间的关系，继而结合双曲线定义可得的关系，求得答案. 【变式2-2】过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 【变式2-3】已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到，代入上式，可得，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，即，可得， 代入上式，可得， 可得， 整理得，即， 又由，可得，即， 所以，可得，即. 故选：C. 【点睛】设出直线的方程为，与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得，结合，转化为，列出关于的方程是解答的关键. 类型三、余弦定理求离心率 例3．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 【变式3-1】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 【变式3-2】如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .    【答案】/ 【分析】设出，利用椭圆定义和图形对称性，借助于求得与的数量关系，接着在中求得，从而得到，最后在中运用余弦定理即可求得. 【详解】设，依题意，，因点在轴上，则，， 又因则，化简得，在中，，故, 在中由余弦定理，,即， 解得：，即，则离心率为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：由椭圆的焦半径想到椭圆定义式，由垂直想到求三边利用勾股定理，由边的数量关系想到设元替换，遇到三角形的边角关系，要考虑能否用正、余弦定理. 类型四、构造齐次方程求离心率 例4．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得，由，可得，从而得到关于，的齐次式方程，解得即可. 【详解】由题意，，， 过点组平行于的直线方程为， 联立，可得， 则，，由，可得， 即，即， 即， 整理得， 两边同时除以，可得， 又，可得，则． 故选：C． 【变式4-1】已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定,再结合列出等式即可求解. 【详解】 设为的中点，设两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则 即可得：， 解得： 所以，则，平方后得， 即， 解得：或，由条件，所以. 故选：D 【变式4-2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据双曲线定义和勾股定理解得，计算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成关于的齐次方程计算即可. 【详解】设，，， 因为，则，则，解得 又因为，，则为的中点，所以， 则，在直角三角形中，， 即，化简得， 将代入上式得， 则， 化简得，两边同除得， 解得或1（舍去），则. 故选：A.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用双曲线定义和勾股定理表示出相关线段之间关键，最后转化为齐次方程，解出即可. 类型五、以特殊三角形为载体的离心率计算 例5．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解. 【详解】由题意，设，如图所示， 因为是以为直角顶点的直角三角形，且， 由，所以， 由，所以， 所以，即， 所以， 所以，， 在直角中，，即， 整理得，所以， 故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 【变式5-1】已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为等腰三角形利用正弦定理可求得，再由二倍角公式可得点坐标为，代入双曲线方程整理可得，可得结果. 【详解】不妨设在第二象限，则在等腰中，，如下图所示： 设，则为锐角． 外接圆周长为， 则其半径为，由正弦定理可得， 因此， 设点坐标为，则， 即点坐标为， 由点在双曲线上，得， 整理得， 所以离心率， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理和外接圆半径求得点坐标为，再代入双曲线方程得出的关系式，求得双曲线得离心率即可. 【变式5-2】已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 类型六、以特殊四边形为载体的离心率计算 例6．已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表达出，将其代入双曲线上，整理得到，计算出. 【详解】由对称性，知轴，，， 四边形是正方形，则，， 则，， 则在双曲线上， ，即， 即，化简整理得， 即，所以， 即，又，故， 解得或（舍去）. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 【变式6-1】已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，由面积和勾股定理列式可得，，在中，有长度关系可得，从而得和，再利用点差法得，从而可求得离心率． 【详解】如图，不妨设，两条直线的斜率大于零时，连结， 由题意知， 解得，，或，（舍） ，， 在中，因为，所以， 故此时，． 设，，则， 两式相减得， 即，即， 因此离心率，所以，故选D． 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，解题的关键是利用矩形求边长，进而求和，属于难题. 【变式6-2】已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得，连接并利用椭圆的定义求，再由余弦定理求，易知，建立方程求间的关系，进而可得椭圆的离心率 【详解】如下图所示：    因为为平行四边形的边的中点， 所以 ， 所以，所以． 连接，由椭圆的定义可知，； 设，则，故， 在中，． 在中，． 在平行四边形中，，所以， 所以，则，整理得， 所以椭圆的离心率为， 故选：D． 【点睛】方法点睛：处理本题中向量数量积问题时还可以利用平面向量中的极化恒等式：或．其几何意义为向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的． 【变式6-3】如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点， 以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解. 【详解】设 ，则 ， 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ， 连接 ，则有 ， 由于 在以AD为直径的圆周上， ， ∵ABCD为平行四边形， ， ， 在直角三角形 中，， ， 解得： ， ； 在直角三角形 中， ， ， 得 ， ， 故选：D. 类型七、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 例7．设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得，根据，可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 设，，则① 在中，，由余弦定理可得：， 即② 得：. 所以. 又. 又. 因为. 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）在选择填空题中，涉及圆锥曲线焦点三角形的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，其次要考虑正弦、余弦定理的应用. （2）求圆锥曲线的离心率，通常是构造关于的齐次式求解. 【变式7-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在上，结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出，， 即，再利用内切圆的性质得到，即可求出的离心率. 【详解】 设，则，； 由点在上，则有，即， 所以； 又，所以，，则； 如图1，由焦点的内切圆可得：，，， 所以； 又，所以，即， 故选：A． 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是推理出二级结论：点在椭圆上，则，，再结合内切圆的性质，建立关于的等量关系. 【变式7-2】已知双曲线的左，右焦点分别为，，为轴上一点，线段交于点，，的内切圆半径为，，则的离心率是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据内切圆的性质结合双曲线的定义整理可得，即可得，，利用勾股定理列式求离心率. 【详解】如图，，，， 因为，， 可得，即， 则， 可得，即， 所以，． 因为在直角中有， 即，整理可得， 所以的离心率． 故选：D. 【点睛】方法点睛：双曲线离心率（离心率范围）的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 【变式7-3】已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率． 详解：不妨设在第二象限，则在等腰中，， 设，则，为锐角． 外接圆面积为，则其半径为，∴， ∴，， ∴，， 设点坐标为，则，， 即点坐标为， 由点在双曲线上，得，整理得， ∴． 故选C． 点睛：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率． 类型八、以三角形四心为载体的离心率计算 例8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率． 【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线， 延长交轴于点，则由平行于轴知，， 则,设内切圆半径为r， 则， ∴椭圆的离心率为． 故选：A﹒ 【变式8-1】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率(　　) A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】联立方程，计算出A，B的坐标，为△OAB的垂心，∴ 计算得到答案. 【详解】双曲线的渐近线为. 由得.由得. ∵为△OAB的垂心，. 即，解得，∴，即可得. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，将垂心转化为斜率相乘为-1是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 【变式8-2】已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以.    故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【变式8-3】设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的重心坐标，再根据双曲线定义及切线长定理求出的内心横坐标，根据重心与内心横坐标相同得到方程，求出离心率. 【详解】将代入，解得：，即，不妨令，则，，所以重心坐标为，设的内心为D，内切圆与，的切点分别为A，B，与x轴切点为C，则PA=PB，，，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定义知：，从而，设，则，解得：，故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为的重心和内心的连线与x轴垂直，所以，解得：，即，解得：. 故选：A 类型九、以立体几何的截面为载体的离心率计算 例9．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、， 因为，所以，即为等边三角形， 又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴， 以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，    设双曲线方程为， 所以，又，所以， 则点， 所以，解得（负值舍去）， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【变式9-1】如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距， 所以椭圆的离心率． 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 【变式9-2】“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率即可得到结果. 【详解】设，由于，所以，在等边三角形中， 点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知， ，连接，延长与交于点， 由于为中点，所以在中，， 由勾股定理可得， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 在中，由于，所以， 于是有， 设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于， 由于，所以， 由于为圆锥母线，所以， 从而有， 在中，由勾股定理可得， 所以在椭圆中，，， 则， 则离心率为. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果. 类型十、椭圆离心率的范围及最值问题 例10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，    则根据椭圆及双曲线的定义得：， ，设， 根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则， 则在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值. 【变式10-1】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 【变式10-2】已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值. 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得. 故选：D. 【变式10-3】记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如下图，由椭圆性质可知，，，结合推出四边形共圆，因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上，设圆心为，半径为，则圆的方程为，代入得，结合椭圆性质联立椭圆方程得出，由推出，联立方程推出，进而得出，从而得出答案. 【详解】    由椭圆的性质可知，，，. 因为，则，即四边形对角互补， 所以四边形共圆. 因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上， 设圆心为，半径为，则圆的方程为, 代入可得，. 联立， 已知该方程有两个实数解，即的纵坐标， 所以, 所以. 又因为， 所以. 令，， 则， . 又因为， 所以. 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：C. 类型十一、双曲线离心率的范围及最值问题 例11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角形，建立不等式组求得的范围，然后由正弦定理用表示出，由双曲线的定义得到等式，从而表示出离心率.由的范围求出离心率. 【详解】设，则， ∵，解得， ， 即由正弦定理可知： ， ∴，， 在双曲线中， 即，即， ∴， ∵， ∴. 故选：D. 【点睛】方法点睛，本题时双曲线上的焦点三角形问题，通过正弦定理和双曲线的定理得到关于离心率的等式.结合题意中的三角形为锐角，建立不等式求得角的范围，从而得到离心率的范围. 【变式11-1】已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则得，由和可推得为关于的方程的两根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，将（*）代入化简得，根据，可得，即，解不等式可得. 【详解】 如图，不妨设， 由题意，， 则，即①， 又，即②， 由①，② 可知，可看成关于的方程的两根， 则，故得，（*）. 在中，因， 运用余弦定理，由可得：， 化简得：， 将（*）代入整理得：， 化简得：，即， 由图可得，则有， 即得：，也即， 分解因式得：， 即， 因，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：选设未知数后，通过变形后求得，是关键，再利用余弦定理建立方程，结合图形得将其化成关于的齐次不等式，求解即得. 【变式11-2】已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设， 则， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是当轴时最小为，再建立关于的不等式. 【变式11-3】已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出曲线的渐近线方程，化简的方程可知曲线为双勾函数，要使曲线与曲线无公共点，则，由此求出，即可求出的离心率的取值范围. 【详解】曲线的渐近线方程为：， 可化简为：，所以曲线为双勾函数，其渐近线方程为， 所以要使曲线与曲线无公共点， 如下图： 则，解得：，所以， 所以线的离心率的取值范围为：. 故选：B. 一、单选题 1．设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合椭圆定义依次得的表达式，进一步分别在中运用由两次余弦定理，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设椭圆的标准方程为， 因为，所以， 又，所以，， 所以， 如图所示，由余弦定理知：， 整理得，又， 解得：离心率. 故选：B. 【点睛】关键点睛：画出图形，通过椭圆定义把各边长度求出来，由此即可顺利得解. 2．如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设出关键线段长度，余弦定理构建齐次方程求解即可. 【详解】 设椭圆的焦距为，有， 在中，由余弦定理有，有， 可得，有. 在中，由余弦定理有， 可得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 3．已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于的齐次不等式，从而得解. 【详解】 联立方程，消去，整理得， 则， 设的横坐标分别为，则，， 所以 ， 由，得，整理得， 即，即，又，则，故， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 4．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 5．过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点的坐标，则可得出点坐标及中点坐标，然后分别由三点共线、及椭圆方程点差法得到坐标关系式；整理可得关系式，进而求得离心率. 【详解】设线段PH的中点为D，，，则，， 所以，， 所以， 所以①． 因为A，D，B三点共线，所以， 所以②． 由得③ 将①②代入③可得，故，即， 则C的离心率为． 故选：B. 6．双曲线E：的左、右焦点分别为，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为10a，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据“与的周长之和”、“与的内切圆半径相等”、“”等知识列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，得， 又与的周长之和为， 所以． 因为， 又，所以可得．又， 所以． 由可得， 即，化简得， 所以离心率． 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解双曲线焦点三角形有关问题，可以考虑利用双曲线的定义来建立等量关系式，即.求解三角形面积有关问题，如果两个三角形的高相等，则面积与三角形的底边长有关. 7．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出根据题意有，利用余弦定理表示出，，结合，求出离心率的取值范围. 【详解】    设，显然， 则， 所以的离心率．由于， 所以，所以的取值范围是； 故选：A 8．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，    设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 9．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为是线段的中点，过作的垂线交轴于点（异于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】方法一，设，，代入渐近线方程，作差可得， 由已知可得，，则可得，进而得，即可求得双曲线的离心率； 方法二，由，再由，则可得，即可求得双曲线的离心率； 方法三，设，联立，消去并整理，利用韦达定理，可得，可得，由，可得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】 方法一，设，，且，则． 由分别在双曲线的两条渐近线上，得， 两式作差并整理，得，即． ，， ，， 则，即， ，则． 故选：A． 方法二，由方法一可知， ，，，， 则，即，，解得或（舍去）． 故选：A． 方法三，设． 由分别在双曲线的两条渐近线上，得， 消去并整理，得． 设，，则，， ，，则， ， 又，， ，，解得， 离心率． 故选：A． 【点睛】方法点睛： 圆锥曲线中的“中点弦”问题，一般用作差法，由此寻找解题思路． 10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】C 【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，由椭圆和双曲线定义表示出线段，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代换代数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项. 【详解】∵双曲线，则焦点在轴，则椭圆中， ∵，∴，即，即，故A选项错误； 由正弦定理可知在中，∴， ∵，∴， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得， ∴， 即，∴， ∴，B选项错误； ∵，∴，即，∴，C选项正确； 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，D选项错误.    故选：C. 【点睛】方法点睛，本题巧用三角形的正弦定理求出角是关键，然后就是利用椭圆与双曲线的几何性质和参数之间的关系，进行整理化简即可. 二、多选题 11．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，下列命题正确的是（   ） A．若椭圆上存在一点使，则椭圆离心率的取值范围是 B．若椭圆上存在四个点使得，则的离心率的取值范围是 C．若椭圆上恰有6个不同的点， 使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若任意以椭圆的上顶点为圆心的圆与椭圆至多3个公共点，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，设，，根据椭圆的定义和结合余弦定理得到，利用均值不等式得到，即可作出判断；对于B，由得，，故若为直径的圆与椭圆有4个交点，则，即可求的取值范围；对于C，分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围；对于D，，先假设圆与椭圆的公共点有个，利用对称性及已知条件知轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足，由此求得，得到的取值范围，进而可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时椭圆离心率的取值范围． 【详解】对于A，设，，则，， 即，，即，当且仅当时等号成立， 故，即，.故A正确； 对于B，由得，，若存在点四个点使得，以为直径的圆与椭圆有4个交点，∴，即，∴，即，故B不正确； 对于C，（1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形， 此时，有个满足条件的等腰； （2）当构成以为一腰的等腰三角形时， 则或，此时点在第一或第四象限， 由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形， 不妨设点在第一象限，则，其中， 则， 或， 由可得，所以，，解得， 由可得，所以，，解得， 综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是. 对于D，椭圆的上顶点为,假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足． 记直线，的斜率分别为，，且，，． 由得，故，． 因此， 同理. 故，即 所以 由于，，得， 因此， ① 因为①式关于，的方程有解的充要条件是， 所以，则， 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为离心率的取值范围为．故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 12．已知圆M：在椭圆C：的内部（不包含边界），与圆M相切于点D的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，且D为AB的中点，则（    ） A．若D的坐标为，则椭圆C的离心率为 B．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为 C．对任意给定的a，b，m，直线l有且仅有4条 D．存在给定的a，b，m，使得直线l有且仅有2条 【答案】ABD 【分析】对于选项A，利用点差法可得等量关系，设直线的方程，根据点到直线距离公式求得m的值，代入等量关系可得，即可求解离心率；对于选项B，当点为中点时，由点差法可得，设为的左顶点，连接，则，根据正切的二倍角公式可解得，即得出，代入公式即可求解离心率；对于选项C，D，分析得存在给定的a，b，m，使得直线l有且仅有2条，即可判断. 【详解】 设，， 将点坐标分别代入C的方程，得， 两式相减，得， 对于选项A， ，则， 由，则， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离，，解得：， 所以，所以， 由，得，故椭圆C的离心率为，故A正确. 对于选项B，设，则， 则，即， 因为，所以，即， 设为的左顶点，连接，， 所以， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 则， 所以， 由，得，故椭圆C的离心率为，故B正确. 对于选项C，D，假设直线l的斜率不存在时，即直线l与轴垂直，易知对任意给定的a，b，m，垂直于轴的直线l有2条；    假设直线l的斜率存在时，作以为圆心，为半径的圆，如上图，当直线与轴垂直时，当给定a，b，m使得时，易发现当切点D在轴上方移动的过程中，恒成立，则直线的中点与点D不重合，因而在此过程中斜率存在的直线l不存在，根据对称性可得当切点D在轴下方移动时，斜率存在的直线l也不存在，因而存在给定a，b，m使得斜率存在的直线l有0条； 故存在给定的a，b，m，使得直线l有且仅有2条，故C错误，D正确. 故选：ABD. 13．如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则 C． D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；BD.应用余弦定理整理可设设，，结合三角知识判断BD；C.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断. 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； BD.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为，可得， 设，， 则，可得，即， 因为，故B错误； 又因为， 当，即时，取到最大值，故D正确； C. 在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理. 14．已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 15．如图1，已知椭圆为右焦点弦，若面积的最大值恰好在时达到（如图2），则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题设与椭圆方程联立，写出韦达定理，结合图形，将的面积表示出来，利用换元，得到，由可得时，面积取得最大值，结合对勾函数的单调性可得，利用的关系即可求得离心率的范围. 【详解】依题意，弦所在直线的斜率不为0，可设直线， 代入，得， 因，整理得，则， 设，则 于是 ，（令） ． 由，结合图形知当时，即时，的面积取得最大值. 而函数在上单调递减，在上单调递增， 依题意需使，即，，从而，解得 故答案为：. 16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据椭圆性质和已知条件确定线段长度，，然后利用向量关系和已知条件求出，进而在中利用余弦定理建立等式，最后化简等式并求解离心率. 【详解】如图所示，设，由已知得，则有． 因为为线段的中点，所以，则由，可知，即，则． 在中，由余弦定理得，则，整理得． 故椭圆的离心率． 故答案为：. 17．已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】已知直线QM的斜率为，P，Q为C上关于原点对称的两点,直线PF交椭圆C于另一点M，不妨计算直线的斜率，利用斜率乘积为定值，得到直线的斜率.即直线的斜率.再根据椭圆的定义列出关于的方程，求得椭圆的离心率. 【详解】不妨设，，， 由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵， 且， ∴，∴直线的倾斜角为, ∴， 设为C的左焦点，连接， 根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，， 由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据与共线，求出点的纵坐标，再根据及双曲线的定义求出，，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解. 【详解】设，依题意可设，所以，则， 由等面积可得，化简得， 又，所以，， 因为，点P在双曲线上，且，所以P在双曲线的右支上， 所以， 则，解得，所以的坐标为， 代入双曲线方程中，得，解得， 所以离心率为． 所以双曲线C的离心率为. 故答案为： 19．设为双曲线的左、右焦点，双曲线与圆的一个交点为，若的最大值为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】方法1，不妨设点在轴右侧，设，由焦半径公式得，显然当时，取得最大值； 方法2，不妨设点位于第二象限，的长分别为，则由，得，而，得有． 【详解】解法1 ： 不妨设点在轴右侧，设，则由双曲线的焦半径公式， 有． 显然当时，取得最大值，从而． 解法2：由 双曲线及圆的对称性，不妨设点位于第二象限， 设的长分别为，则，即 分别在内，对，应用余弦定理并相加得到． 整理得． 因为双曲线与圆相交，所以， 于是有，当时取等号． 于是得到，从而有． 故答案为：. 20．若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设关于直线的对称点，且在轴上，，利用斜率两点式及向量垂直的坐标表示得，再由得且求离心率范围，再根据题设确定所求离心率范围. 【详解】设关于直线的对称点，且在轴上，， 所以的中点为在直线上，则，， 由，，则，故， 所以，又，则， 所以且，可得， 要使不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上， 所以. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$