2.3 等腰三角形的性质定理 同步课堂-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

2.3等腰三角形的性质定理 讲解目录 【知识点1】等腰三角形的性质 1 【知识点2】等边三角形的性质 1 【题型1】等边对等角与三角形内角和 2 【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 3 【题型3】等腰三角形的性质综合 4 【题型4】等边对等角与三角形的外角 5 【题型5】根据等边三角形的性质求角 7 【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 8 【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线 10 【题型8】等边对等角与平行线 11 【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质 13 知识讲解 【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【知识点2】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 题型专练 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典型例题】若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（　　） A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（　　） A.55° B.70° C.110° D.130° 【举一反三2】等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是　        　． 【举一反三3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE． （1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数； （2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由． 【举一反三4】已知等腰△ABC中，∠A＝80°． （1）求∠B的度数． （2）在解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A.18° B.27° C.25° D.36° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（　　） A.130° B.125° C.120° D.115° 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝　   　°． 【举一反三4】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC∠BAC． 【举一反三5】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 【题型3】等腰三角形的性质综合 【典型例题】下列说法中错误的是（　　） A.等腰三角形的底角一定是锐角 B.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 C.等腰三角形至少有两个角相等 D.等腰三角形的顶角一定是锐角 【举一反三1】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是（　　） A.BC边上的高线和中线互相重合 B.AB和AC边上的中线相等 C.三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等 D.等腰三角形最多有一条对称轴 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 【举一反三3】做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合． 对于下列结论： ①在同一个三角形中，等角对等边； ②在同一个三角形中，等边对等角； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合． 由上述操作可得出的是　   　（将正确结论的序号都填上）． 【举一反三4】如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC．请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理． 【题型4】等边对等角与三角形的外角 【典型例题】如图，△ABC中，AC＝BC，∠BAC的外角平分线交射线BC于点D，若∠CAD＝2∠D，则∠B的度数是（　　） A.36° B.32° C.30° D.45° 【举一反三1】如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为（　　） A.30° B.34° C.36° D.40° 【举一反三2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（　　） A.25° B.35° C.40° D.50° 【举一反三3】如图，已知∠C＝∠BDC＝36°，∠A＝∠ABD，则∠ADE的大小是　   　度． 【举一反三4】如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝　  　． 【举一反三5】如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数． 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝50°，求∠C的度数． 【题型5】根据等边三角形的性质求角 【典型例题】如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，，为等边三角形，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为          ． 【举一反三4】如图，为等边三角形，，则______． 【举一反三5】求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数． 【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝　 　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　　cm． 【举一反三5】如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是直线AD上任意一点，求证：BP＝CP． 【举一反三6】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线 【典型例题】如图，在ABC中，AB＝AC，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若AD＝BC，则∠A的度数为（　　） A.36° B.35° C.38° D.40° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC．若AC＝3，BC＝5，则△ABD的周长是（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.40° C.60° D.80° 【举一反三3】如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若AE＝5，△ABC的周长为27，则△BCD的周长为 　 　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝5．求∠ECB的度数及边BC的长． 【举一反三5】如图，在△ABC中．AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E． （1）求证：点O在AC的垂直平分线上； （2）若AB＝5，AO＝3，则△AOC的周长是多少？ 【题型8】等边对等角与平行线 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为（　　） A.100° B.105° C.110° D.115° 【举一反三1】如图，直线m∥n，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝α，则∠2的度数是（　　） A.α﹣110° B.α﹣100° C.α﹣70° D.α﹣40° 【举一反三2】如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，那么∠ABC等于（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 【举一反三3】如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 【举一反三4】如图，将一副三角板拼成一幅“帆船图”．若CB∥EF，CB＝CE，则∠BEF＝　   　． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 【举一反三6】如图，AB＝AC＝AD且AD∥BC，BD与AC相交于点E． （1）∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）若AE＝CE＝3，你能求出BC的长度吗？ 【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　） A.35° B.45° C.55° D.60° 【举一反三1】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 【举一反三3】如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（　　） A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AB和AD，焊接点A D.AD和BC，焊接点D 【举一反三4】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【举一反三5】关于等腰三角形的对称轴问题，芳芳、丽丽、园园有以下不同的看法． 芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线” 丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线” 园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线” 你认为她们谁说得对呢？请说明你的理由 　                          　． 【举一反三6】如图，在三角测平架中，AB＝AC．在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？ 答：　                                　． 【举一反三7】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3等腰三角形的性质定理 讲解目录 【知识点1】等腰三角形的性质 1 【知识点2】等边三角形的性质 1 【题型1】等边对等角与三角形内角和 2 【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 4 【题型3】等腰三角形的性质综合 7 【题型4】等边对等角与三角形的外角 10 【题型5】根据等边三角形的性质求角 13 【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 16 【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线 20 【题型8】等边对等角与平行线 24 【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质 28 知识讲解 【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【知识点2】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 题型专练 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典型例题】若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（　　） A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100° 【答案】C 【解析】当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角（180°﹣40°）＝70°； 当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°， 故它的底角的度数是70°或40°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（　　） A.55° B.70° C.110° D.130° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝55°， ∴∠A＝180°﹣110°＝70°， ∵∠BPC＝∠A+∠ACP， ∴∠BPC＞70°， ∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＜125°， ∴70°＜∠BPC＜125°， 故选：C． 【举一反三2】等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是　        　． 【答案】55°或70° 【解析】①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°； ②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°； 故答案为：55°或70°． 【举一反三3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE． （1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数； （2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝80°． 在△BDC中，BD＝BC， ∴， ∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°． （2）设∠BCD＝x°， ∵BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°， ∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°． ∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°， 又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°， ∴2α＝β． 【举一反三4】已知等腰△ABC中，∠A＝80°． （1）求∠B的度数． （2）在解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 【答案】解：（1）∠A是顶角，则∠B50°； ∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°； ∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°． 故∠B＝50°或20°或80°； （2）分两种情况： ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角， ∴∠B的度数只有一个； ②当0＜x＜90时， 若∠A为顶角，则∠B＝（）°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°． 当180﹣2x且180﹣2x≠x且x， 即x≠60时，∠B有三个不同的度数． 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数． 【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A.18° B.27° C.25° D.36° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ABC＝∠ACD＝70°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵DE＝BD， ∴BD＝CD＝DE， ∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（　　） A.130° B.125° C.120° D.115° 【答案】D 【解析】在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，∠BAC＝80°， ∴AD⊥BC，∠ACB＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝50°， ∴∠ADB＝90°， ∵BE是角平分线， ∴∠CBO∠ABC＝25°， ∴∠AOB＝∠CBO+∠ADB＝115°， 故选：D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∵∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°， ∴∠DAC∠BAC＝40°． 故选：B． 【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝　   　°． 【答案】35 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD∠BAC70°＝35°． 故答案为：35． 【举一反三4】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC∠BAC． 【答案】证明：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC， ∴∠CAE∠BAC， 又∵BD⊥AC， ∴∠AEC=∠BDC=90°， ∴∠CAE+∠C+∠AEC＝∠DBE+∠C+∠BDC＝180°， ∴∠DBC＝∠CAE， ∴∠DBC∠BAC． 【举一反三5】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 【答案】证明：在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AD是三角形的角平分线， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）． 【题型3】等腰三角形的性质综合 【典型例题】下列说法中错误的是（　　） A.等腰三角形的底角一定是锐角 B.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 C.等腰三角形至少有两个角相等 D.等腰三角形的顶角一定是锐角 【答案】D 【解析】A、根据三角形内角和是180°，等腰三角形的底角一定是锐角正确，故本选项错误； B、根据三角形的外角性质，等腰三角形顶角的外角是底角的2倍正确，故本选项错误； C、等腰三角形至少有两个角相等正确，故本选项错误； D、等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三1】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是（　　） A.BC边上的高线和中线互相重合 B.AB和AC边上的中线相等 C.三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等 D.等腰三角形最多有一条对称轴 【答案】D 【解析】A、BC边上的高线和中线互相重合，故本选项正确，不符合题意； B、AB和AC边上的中线相等，故本选项正确，不符合题意； C、三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等，故本选项正确，不符合题意； D、等腰三角形最多有3条对称轴，故本选项不正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 【答案】答案不唯一，如BD＝CD 【解析】①若BD＝CD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC． ②若∠BAD＝∠CAD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC． 故填BD＝CD． 【举一反三3】做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合． 对于下列结论： ①在同一个三角形中，等角对等边； ②在同一个三角形中，等边对等角； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合． 由上述操作可得出的是　   　（将正确结论的序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】从操作过程没有体现角相等，边就相等，故①不符合； 因为AB＝AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合； 根据所得的像与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD＝CD，又AD平分∠BAC，所以③符合． 故操作可以得出的是②③两结论． 故填②③． 【举一反三4】如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC．请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理． 【答案】解：已知：①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD． 求证：③BD＝CD，④AD⊥BC． 证明：在△ABD与△ACD中， ∵， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． ∴BD＝CD，AD⊥BC． 【题型4】等边对等角与三角形的外角 【典型例题】如图，△ABC中，AC＝BC，∠BAC的外角平分线交射线BC于点D，若∠CAD＝2∠D，则∠B的度数是（　　） A.36° B.32° C.30° D.45° 【答案】A 【解析】∵AD平分∠CAE， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵∠CAD＝2∠D， ∴∠EAD＝2∠D， ∵∠EAD＝∠B+∠D， ∴∠B＝∠D， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝∠B+2∠B＝3∠B， ∵∠B+∠D+∠BAD＝180°， ∴∠B+∠B+3∠B＝180°， ∴∠B＝36°． 故选：A． 【举一反三1】如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为（　　） A.30° B.34° C.36° D.40° 【答案】B 【解析】∵AB＝BD，∠B＝40°， ∴∠ADB＝70°， ∵∠C＝36°， ∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°． 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（　　） A.25° B.35° C.40° D.50° 【答案】B 【解析】∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， 由∠BAD＝40°得∠B70°＝∠ADB， ∵AD＝DC， ∴∠C＝∠DAC， ∴∠C∠ADB＝35°． 故选：B． 【举一反三3】如图，已知∠C＝∠BDC＝36°，∠A＝∠ABD，则∠ADE的大小是　   　度． 【答案】108 【解析】∵∠C＝∠BDC＝36° ∴∠ABD＝72° ∴∠A＝∠ABD＝72° ∴∠ADE＝∠A+∠C＝108°． 故填108°． 【举一反三4】如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝　  　． 【答案】100° 【解析】延长BD交AC于E． ∵DA＝DB＝DC， ∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°． 又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°， ∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE， ∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°． 故答案为：100°． 【举一反三5】如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数． 【答案】解：∵AB＝AC，∠C＝25°， ∴∠ABC＝25°， ∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°， ∵DA＝AC， ∴AB＝AD， ∴∠ABD（180°﹣∠BAD）＝65°． 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝50°，求∠C的度数． 【答案】解：在△ABD中，AB＝AD，∠B＝50°， ∴∠ADB＝∠B＝50°， 又∵AD＝DC， ∴∠C＝∠CAD∠ADB50°＝25°． 【题型5】根据等边三角形的性质求角 【典型例题】如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是等边三角形，， 过作直线， ，，直线直线，直线，，，， 故选：C. 【举一反三1】如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：是等边三角形， ． 在中，，，，，，， 故选C． 【举一反三2】如图，，为等边三角形，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，即， 为等边三角形， ，． 故选：D. 【举一反三3】如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】连接，和都是边长为的等边三角形， ，， ， ， ≌， ， ，当点与点重合时，的值最小，正好等于的长， 的最小值为． 【举一反三4】如图，为等边三角形，，则______． 【答案】  【解析】为等边三角形，，， 在和中，，≌；， 又，． 故答案为：． 【举一反三5】求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数． 【答案】解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O， ∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线， ∴CE⊥AB，BD平分∠ABC， ∴∠OEB＝90°，∠EBO∠ABC＝30°， ∴∠BOE＝60°， 故等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°． 【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∵E是AC的中点， ∴S△CDES△ABC， 则S四边形ABDES△ABC， ∴S△CDE：S四边形ABDE： 1：3． 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的BC边的中线， ∴BD＝DCBC＝2， 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC， ∴， ∵S△ADBAB•DE，S△ACBAC•BF， ∴AB•DE×2AC•BF， ∴BF＝2DE， ∵DE＝5cm， ∴BF＝10cm． 故选：B． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝　 　． 【答案】3 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D， ∴BDBC6＝3． 故答案为：3． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　　cm． 【答案】8 【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴BD＝DCBC， ∵BC＝16cm， ∴BD＝8cm． 故答案为：8． 【举一反三5】如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是直线AD上任意一点，求证：BP＝CP． 【答案】解：∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴AP是BC的垂直平分线， ∴BP＝CP． 【举一反三6】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 【答案】证明：在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AD是三角形的角平分线， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）． 【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线 【典型例题】如图，在ABC中，AB＝AC，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若AD＝BC，则∠A的度数为（　　） A.36° B.35° C.38° D.40° 【答案】A 【解析】连接CD， 设∠A＝x°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠A＝∠ACD＝x°， ∵∠BDC是△ACD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°， ∵AD＝BC， ∴CD＝BC， ∴∠BDC＝∠B＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝2x°， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠A＝36°， 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC．若AC＝3，BC＝5，则△ABD的周长是（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∵AB＝AC＝3，BC＝5时， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD ＝AB+BD+CD ＝AB+BC ＝3+5 ＝8， 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.40° C.60° D.80° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝40°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝100°﹣40°＝60°， 故选：C． 【举一反三3】如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若AE＝5，△ABC的周长为27，则△BCD的周长为 　 　． 【答案】17 【解析】∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝10， ∵△ABC的周长为27， ∴△BCD的周长＝BC+BD+DC＝27﹣10＝17， 故答案为：17． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝5．求∠ECB的度数及边BC的长． 【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°， ∵AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E， ∴AE＝CE， ∴∠A＝∠ACE＝36°， ∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝36°， ∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC， ∵EC＝AE，AE＝5， ∴BC＝AE＝5． 【举一反三5】如图，在△ABC中．AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E． （1）求证：点O在AC的垂直平分线上； （2）若AB＝5，AO＝3，则△AOC的周长是多少？ 【答案】（1）证明：如图，连接OB，OC， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E， ∴OA＝OB， ∴OA＝OC， ∴点O在AC的垂直平分线上； （2）解：∵AB＝AC，AO＝CO，AB＝5，AO＝3， ∴AC＝5，AO＝AO＝3， ∴△AOC的周长＝AC+AO+CO＝5+3+3＝11． 【题型8】等边对等角与平行线 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为（　　） A.100° B.105° C.110° D.115° 【答案】A 【解析】∵DE∥FG， ∴∠BCG＝∠DBC＝45°， ∵∠ACG＝10°， ∴∠ACB＝45°﹣10°＝35°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝35°， 又∵∠EBC＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ABE＝135°﹣35°＝100°， 故选：A． 【举一反三1】如图，直线m∥n，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝α，则∠2的度数是（　　） A.α﹣110° B.α﹣100° C.α﹣70° D.α﹣40° 【答案】A 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴， ∵直线m∥n， ∴∠AEF＝∠ABC+∠2＝70°+∠2， ∵∠1＝∠A+∠AEF，即α＝40°+70°+∠2， ∴∠2＝α﹣110°． 故选：A． 【举一反三2】如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，那么∠ABC等于（　　） A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【解析】∵m∥n， ∴∠ACB＝∠1＝70°， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：C． 【举一反三3】如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】52° 【解析】如图： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝54°， ∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝72°， ∵∠1＝20°， ∴∠3＝∠CAB﹣∠1＝52°， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠2＝52°， 故答案为：52°． 【举一反三4】如图，将一副三角板拼成一幅“帆船图”．若CB∥EF，CB＝CE，则∠BEF＝　   　． 【答案】105° 【解析】∵BC∥EF， ∴∠BCE＝∠CEF＝30°， ∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB75°， ∴∠BEF＝∠CEB+∠CEF＝105°， 故答案为：105°． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 【答案】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°， ∵∠B＝36°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°， ∴∠CAD＝54°； （2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∴AE＝EF． 【举一反三6】如图，AB＝AC＝AD且AD∥BC，BD与AC相交于点E． （1）∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）若AE＝CE＝3，你能求出BC的长度吗？ 【答案】解：（1）∠C＝2∠D，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠D， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2∠D， ∴∠C＝2∠D； （2）在△ADE与△CBE中， ， ∴△ADE≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CB， ∵AB＝AC＝AD， ∴AB＝AC＝CB， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝AE+CE＝6． 【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　） A.35° B.45° C.55° D.60° 【答案】C 【解析】AB＝AC，D为BC中点， ∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C， ∵∠BAD＝35°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝70°， ∴∠C（180°﹣70°）＝55°． 故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 【答案】D 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠B＝∠C，AD⊥BC，D是BC的中点，无法证明AB＝BC． 故选：D． 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 【答案】D 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠B＝∠C，AD⊥BC，D是BC的中点，无法证明AB＝BC． 故选：D． 【举一反三3】如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（　　） A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AB和AD，焊接点A D.AD和BC，焊接点D 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的三线合一，知：AD⊥BC，根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D， 故选：D． 【举一反三4】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【答案】BD＝CD，AD平分∠BAC． 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC ∴△ABC是等腰三角形， ∴BD＝CD，AD平分∠BAC， 故答案为：BD＝CD，AD平分∠BAC． 【举一反三5】关于等腰三角形的对称轴问题，芳芳、丽丽、园园有以下不同的看法． 芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线” 丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线” 园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线” 你认为她们谁说得对呢？请说明你的理由 　                          　． 【答案】三个人说的都对，等腰三角形“三线合一” 【解析】因为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，底边中线所在的直线，底边高线所在的直线， 所以三个人说的都对，等腰三角形“三线合一”． 故填三个人说的都对，等腰三角形“三线合一”． 【举一反三6】如图，在三角测平架中，AB＝AC．在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？ 答：　                                　． 【答案】等腰三角形底边上的中线就是底边上的高 【解析】∵在三角测平架中，AB＝AC， ∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高， 又AD自然下垂， ∴BC处于水平位置． 理由：等腰三角形底边上的中线就是底边上的高． 【举一反三7】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【答案】BD＝CD，AD平分∠BAC． 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC ∴△ABC是等腰三角形， ∴BD＝CD，AD平分∠BAC， 故答案为：BD＝CD，AD平分∠BAC． 学科网（北京）股份有限公司 $$