辽宁省沈阳市和平区2025-2026学年高三上学期8月质量监测第零次诊断测试数学试卷

秘密★启用前 2025-2026（上)8月月度质量监测暨第零次诊断测试 高三数学 本试卷满分150分 考试时问120分钟 第〡卷选择题 第1卷选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x2-x<2),B={xlog2x>0},则 A.AUB={xlx>-1] B.AUB=R C.AnB={x-1<x<1】 D.AnB=0 2.已知2=品则= A.9 B.1 C.2 D.2 3.若用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为 A.2√3πcm3 B.cm C.cm D.8πcm3 3 3 4.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 A.y=cosx B.y=sin2x C.y=Isinxl D.y=tanx 5.已知R,R是椭圆后+二=1a>b>0)的左、右焦点，P是精圆上任意一点，过R引 ∠FPF2的外角平分线的垂线，垂足为Q,且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心 率为 A B.月 c. D. 6.已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin2B+sin2C=1,其面积S=2,则△ABC的 外接圆半径R为 A.2 B.2W2 C.4 D.4V2 7.已知点P(1,m)不在函数f(x)=x3-3mx的图象上，且过点P仅有一条直线与f(x)的图 象相切，则实数m的取值范围为 A.(-∞，0]U年.+∞) B.(-∞，0)Uf,+) C.(-om,0)U(经+om) D.(-m,0]Uf,+o) 8.抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第 高三数学第1页，共4页 CS扫描全能王 】亿人整在用的扫眉Ap时 一次硬币正面向上”为事件A,“三次试验恰有1次正面向上”为事件B,“三次试验恰有2次 正面向上”为事件C,“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件D,则下列说法错 误的是 A.A与B不互斥 B.A与D相互独立 C.A与C相互独立 D.C与D互斥但不对立 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分】 9.如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折 线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数r=0.84,则下列结论正确的有 温度/C 一最低气温 45 ·→·最高气温 3532 353738.3736 、27 1591482122 2526 25 21 17 的30524 15 5456789101112123月份 A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B.月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月 C.9~12月的月温差相对于5~8月波动性更大 D.每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加 l0.已知tana+tanB=-tan(a+B)≠0，则tan4的取值可以为 2 A.号 B.-1 c. D. 11.已知圆C:(x-2)2+y-2)2=4,直线过点P(2,4),则下列说法正确的是 A.点P在圆C上 B.若直线过原点，则圆C截直线所得弦长为 C.若1与圆C相切，则l的方程为y=4 D.若l与圆C相交于A,B两点，且△ABC为直角三角形，则的方程为x-y+2=0 第川卷非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数f(x)=a·2x+21-x是定义域为R的偶函数，则f(-2)= 13.过抛物线x2=4y的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于A,B两点，则 IAB=」 14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r (单位：cm)是球的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作 的瓶子的最大半径为6cm,则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为， cm (1mL=1cm3) 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 高三数学第2页，共4页 C3扫描全能王 3亿人整在用的扫猫AP中 15.已知a1=2,T乃3=4，Tn}是等差数列，且a1a2ag…an=Tn: (I)求an,Tn: ②求证：品+品+品++品<hn+0 anTn 16.某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，如表所示： AQI [0,50 (50,100] (100,150j (150,200] (200,300] >300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 20 15 (1)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y= 0,0≤x≤100， 4x一400,100<x≤300，若在本年内随机抽取1天，试估计该天的经济损失超过400元 2000,x>300, 的概率： (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染.根据提供的统计数 据，完成下表，有95%的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关吗？ 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 非供暖季 附：独立性检验卡方公式：K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d(atc)(b+d西 P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 ko 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.如图1，在△ABC中，B=90,D、E两点分别在AB、AC上，使号=能=DB= BD=2现将△ABC沿DE折起得到四棱锥A-BCED,在图2中AC=√2及. 高三数学第3页，共4页 CS扫描全能王 】亿人整在用的日眉AP时 图1 图2 (I)求证：AD⊥平面BCED: (2)求平面ACE与平面ACD所成角的余弦值. 18.已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率c=二，且点(4，-1)在该双曲线上. (1)求C的标准方程， (2)若直线与双曲线C的右支相切于点M,与直线3x+8=0相交于点N,线段MN的中点为 Q,则在x轴上是否存在定点P,使得PQ1=MN?若存在，求出P点坐标：若不存在， 请说明理由 19.已知函数f(x)的导数为f'(x),f(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作f"(x).若函数 f(x)在包含x的某个开区间(a,b)上具有二阶导数，那么x∈(a,b),g(x)=f(xo)+ 会x一x刘+2c一x,我们把g6)称为函数F)在x=处的二阶拟合函数 (I)写出函数y=cx在x=0处的二阶拟合函数p(x),并证明ex≥p(x)对x∈[0，+∞)恒成立： (2)若e×+cosx≥ax+2对xE0,+oo)恒成立，求a的取值范围： (3)设函数g(x)=(x-2)e*+m(x-1)2(m>0)的两个零点为x1,x2,g(x)在x=1处的二 阶拟合函数为h(x),证明：h(x)有两个零点x3,x4,且x1+2<x3+x4 高三数学第4页，共4页 CS扫描全能王 】亿人整在用的扫眉AP时 2025-2026（上)8月月度质量监测暨第零次诊断测试 高三数学参考答案 3 4 8 9 10 11 C B ABC AD AC 2号 13.4 14.6 15. (1)由a1a2a3…an=Tn,得T=a1=2,等差数列TnJ的公差d=-=1,则 31 Th=n+1, 当n≥2时， 8元，千是a=产=片4=2满足上式 (a1a2a3…an-1=Tn-1 所以a=兴 (2)令函数f)=lnx-x+1,0<x<1,求导得f'()=-1>0,f)在(0,1)上单调 递增， f<f)=0,即x<x-1,取x=在neN,则n本<在-1=- 于是种<1n片由1)知，=at<本<1n共=lh+1)-1nm 所以品+品+品++六<1n6+)-l1=h6a+1) 16. (1)记“在本年内随机抽取1天，该天的经济损失超过400元”为事件A, 当100<x≤300时，由y>400,得300≥x>200, 显然当x>300时，y>400, 所以当x>200时，y>400, 由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P(0=品=品 (2)根据题设中的数据得到表： 污染程 非严重污 严重污 度 染 染 供暖季 22 非供暖 季 63 高三数学答案第1页，共4页 CS扫描全能王 】亿人整在用的扫A时 将表中的数据代入公式计算，得K2=100x2x7-63x≈4.575. 30×70x85×15 因为4.575>3.841，所以有95%的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关 17. (1)在图1的△ABC中，号=能=DB=BD=2, 所以，DE/BC,且AD=4,BC=DE=3, 因为LABC=90°，所以，∠ADE=90°，则AD⊥DE,DE⊥BD, 在△BCD中，∠CBD=90°，BD=2,BC=3,则CD=VBC2+BD2=V13, 在图2的△ACD中，AD=4,CD=V13,AC=V2四， 满足AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD, 因为AD⊥CD,AD⊥DE,CDnDE=D,CD、DEC平面BCED, 所以AD⊥平面BCED. (2)因为AD⊥平面BCED,DE⊥BD, 以点D为原点，DE、D正、DA的方向分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,4)、C(2,3,0)、D(0,0,0),E(0,2,0),AC=(23,-4),AE=(0,2,-4), 设平面4GB一个的法向量元=64,2小，则·正=2-4坛，=0 元·AC=2x1+3y-4z=0 取z31=1,可得=(-1,2,1)， 设平面ACD的-个法向量为元=(x2,y2,z2),DA=(0,0,4),DC=(2,3,0), 则元：D丽=42=0 ,取x2=3,则元=(3，-2,0)， 元.DC=2x2+3y2=0 设平面ACE与平面ACD所成角为8， 则co9=os元训=摄關-=m=2须 利7 78 因此，平面ACE与平面ACD所成角的余弦值为 78 18. （1)设双曲线c的标准方程为后-兰=1(a>0,b>0), @=3 由已知得 161 解低二 a2-6=1 故双曲线c的标准方程为号-y2=1. 高三数学答案第2页，共4页 C3扫描全能王 】亿人整在用的扫眉A时 (2)依题意，直线的斜率必存在，设其方程为y=kx+m(k+0), 由后-y严=1，可得1-8收r2-16m-8m2+=0,因为直线1与双曲线c的右 y=kx+m 支相切于点M, 设M(x1,y1),则有△=(-16km)2+4(1-8k2)(8m2+8)=0, 整理得m2=8k2-1,由根与系数的关系可得2x=,则x==-兴 于是=kx+m=-京即M(-柴-》，又直线与直线3x+8=0相交于点N,所以 N(--警+m, 假设存在定点P,使得IPQI=引MNM,如图，连接PM,PN,因为线段MN的中点为Q, 所以PM⊥PN,即P丽.P示=O, 不妨设P(x0),则P丽=（柴-x一)，P丽=（号-xo-警+m) 得到P网.丽=（供-刘）（借-x刘（售+m=a+(3+警-1刂=0， x0+3=0 所以有 号+警-1=0解得0=-3，即P(-3,0, 故在x轴上存在定点P(-3,0),使得1PQI=MN. 3x+8=0y4 19. (1)因为(e)'=ex,(e)”=e*, 所以y=e在x=0处的二阶拟合函数p()=e°+x+x2=1+x+x2. 设A()=e2-1-x-x2,则A'(6)=e2-1-x,A()=e-120, 所以A'(x)在[0，+m)上单调递增，则A'(x)≥A'(O)=0, 所以A(x)在[0，+∞)上单调递增，即A(x)≥A(O)=0, 所以ex≥p(x)对xe[0,+o)恒成立. (2)记B(x)=cosx-1+x2,xe[0,+o),则B'(x)=-sinx+x,则B"(x)=1-cosx2 高三数学答案第3页，共4页 CS扫描全能王 】亿人整在用的扫眉A时 0, 所以B'(x)在[0，+∞)上单调递增，B'(x)≥B'(O)=0, 所以B(x)在[0，+∞)上单调递增，即B(x)≥B(O)=0, 所以cosx之1-x2对xe[0,+∞)恒成立， 由(1)可知e21+x+x2,则e+cosx2x+2, 所以当a≤1时，x+2≥ax+2对x∈[0，+o)恒成立， 则ex+cosx≥ax+2对xe[0,+oo)恒成立. 设f(x)=e*+cosx-ax-2(x≥0)， 当a>1时，fna)=ena+cos0na)-alna-2<a-alna-1, 设(a)=a-alna-1(a>1),则r'(a=-lna<0, 所以(a)在(1，+∞)上单调递减，则1(a)<1(1)=0, 所以fIna)<0,这与题意矛盾，所以a≤1. (3)因为g(x)=(x-2)ex+m(x-1)2,(m>0), 所以g(x)=(x-1)(e+2m),则g"(x)=xe*+2m, 则h=g四+9x-)+9cx-12=0x-12-e 因为h(1)=-e<0,且h(x)的图象开口向上， 所以h(x)有两个零点，且x3+x4=2. 因为当x<1时，g(x)<0,当x>1时，g(x)>0, 所以g(x)在(-，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，所以x1<1<2, 要证x1+x2<3十x4=2,只需证x1<2-x2: 因为2-x2,x1∈(-∞，1)，且g(x1)=g(x2) 所以只需证g(x2)=g(x1)>g(2-x2), 构造函数C(x)=g(x)-g(2-x)=(x-2)ex-xe2-x,x>1, 则C'(x)=(x-1)ex+(x-1)e2-x=(x-10(c+e2-*)>0, 所以C(x)在(1，+∞)上单调递增，所以C(x)>C(1)=0,即g(x)>g(2-x), 因为x2>1,所以g(x2)>g(2-x2),所以x1+x2<x3+x4 注：鼻体评分变更富息（分值、普囊等）猜阅卷敦师哭注阅孢群。 高三数学答案第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人整在用的扫猫AP中