河南省百所名校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

绝密★启用前 2025—2026学年（上）高三年级开学考 数 学 考生庄意： 1,答题前，考会喜必将自已的姓名、考生号编写在状塞和答题卡上，丹将黄生号条别码热 悲在答超卡上的指定位里 2闻答选择超时，选出每小题答策后，用铅笔把答规卡对应题目的答案标号涂黑.如需烧 动，用樟皮物千净后，再选涂其他等发标号.阳答非选择周时，将答案在答别令上，写 在本破卷上无处 3考流结来后，精本成《和蒸题卡一并变图 一，单项设择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小厦始出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.某校高三年级有1200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层面机抽样 女 的方法推取一个客量为40的样本，则女生惊抽取的人敷是 A.22 B.18 C.16 D.4 2复数片的虚部为 缓 要 A.i B.-i C.-2 B.-1 3.已知集合4={2,3，a2-1川，B=2,a+11,若4nB=8,则实数a的值为 A.1 B.0 C.-1 D.2 4巴知cma-引=吾，周血2a 人-鲁 显是 c n喝 4 5已如丙是函数八=)=2低一引+1（细>0）的两个极值点，且%一山“受，则 尺x)的图象的一个对称中心为 (层 得利 c(- (B到 数学试题第1页（共4页） 6,某会杨的座位量鼻形分布，第一排有5个位，从第二排起，每一棒都比前一排多两个密 位，已知该会场能容纳一个70心人的代表团，则该会杨的灌位至少有 A,20排 B.21排 C22排 D.23排 元函数-四-引的图象大为 &已矩精画G哈+=1a>60)的左，右焦点分别为R,,点P为C上一点，设△PR,店 的内切图为⊙B,连接PB并延长交：轴于点A,若可-4丽，则C的离心率为 B号 c号 n 二、多项选挥题：本题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 日要求，全部继对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得0分 9.已想数列：a,的销n项和为8，则下列论正骑的是 A,若8=2,2n+1,则1a是等差数列 B若S,=@1,周a,1是等比数列 C若引a,是等差数列.则3匹2025@，如 D.若引a是等比数列，且5，=A·2”+4(a4为常数)，用A+%=0 0.已知函数)x-上-4，斯下列结论正确的是 A尺x)有三个单调区间 B兵)在定义城上没有最值 C.若x)有三个琴点a,6,c(a<d<e),且有两个极值点m,(州<)，则m,5,n成等差 数列 D.若八x)有三个零点a,b,c(a<b<e),且有两个极值点m,n(m<n),则m,b,n或等比 数列 数学试题第2页（共4页） 11,我们把双曲线过焦点的弦称为值点弦垂直于双由线的实轴的焦点弦称为通径，在如图所 示的平面直角坐标系中，双渔线C号-卡=1(a>0.6>0,各为常致)的左，右瓶点 分别为月，F,通径长为2因，P为C的右发上任童一点，作C在点P处的切战，1分别交 两渐近线于点A.B,则 AC的离心率e=√B+1 B.线段AB长度的最小鐵是2因 GP一定是线段AB的中点 D,△A0B面积的最小值是D 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2已知非军狗量a满是1a=1=受a+1,则a与6的夹角大小为 13.若函数代)=+3x2-x+2的两个板值点均为正数，则实数：的取值范围为 14在直三棱柱ABC-A,8,G,中，4ACB=号，点D,B分别是棱踢和棱CG上的点，且 △4DE为等边三角形，若二面角A-D呢-C的平面角为x,∠A5C=A,则加g。 四，解答题：本是共5小题，共门分.解答应写出文学说阴、证用过程成演算步囊 15.(13分) 在△45c中，角A,B,C的对边分别是a,d,6已刺e2C+li2g-2m2b=a2层 (1)求C (2)若A=,且△BC的外接图半径为2，求6. 16.(15分) 已知抛物线G:2=2x(p>0)仅经过A,(2,22),A(3,v),A,(3,-)巾的一点 (1)求C的方程： (2)过C的侧点F作两条互相垂直的直线，分别交C于点是，H和点M,N,设线段H,MN 的中点分判为P,Q,求证：直线PQ过定点 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱排P-ABCD中，D∥BC,∠AC=0°，PB1AC,且P比=C=5A5=34D=3. ()求E:4C1PD: (2)若PD=巨，求平面PC安平面ABCD质成角的余弦值 18.(17分) 已知函数f爪)。如 (1)若关于x的方程尺)=-(d>0)有唯一实数根，求实数A的值1 (2)若当：e[1,+m)时，关于：的不等式代：)≤一恒成立，求实数。的取值范围 2 19(17分) 为纪念中国人民然日战争竖世界反法西斯成争胜利动周年，某校组织相关知识的答题竞 舞，每名参赛选平都赋于5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小 明每道圆溶对的概率为子，著铅的板率为}，且每道题答对与否互不影响 (1》求小明答4道题后积分小于5的概率 (2)段小明答5道题后积分为x,求()， (3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为(：=0,1.2，m,10)时 最终积分为0的枉率为P,则B=0,P0=1. (i》证明：P1-P,1(=0,12,…,9)为等比数列 (后)求P,的值 数学试题第4页（共4页2025一2026学年（上)高三年级开学考 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B 2.D 3.C 4.A 5.D 6.B 7.B 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.CD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1290(或受) 13.(-3,0) 14.1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)：(2os20+sim2B-之os2Ab=asin B, [(分-smc）+snB-(分-mA=amB, sin2A sin2B -sin2C)b asin2B, (2分) 由正弦定理知，(a2+-c2)b=ab2, (3分) 又b≠0，a2+b2-c2=ab (4分) 由余弦定理可得cosC=2+-c=b。 2ab 2， (5分) 2ab 0<C<m,.C= 3 (6分) (2:△ABC的外接圆半径为2由正弦定理知nB=2×2, ... (8分) 6=4sB=4sim(m-号-）=4sn(号+）=4×（停×号+之×号=6+万 …(13分)》 16.解析(1)根据抛物线的对称性，以及点A2(3,6),A(3,-6)关于x轴对称，可知点A2,A要么都在C上， 要么都不在C上，因为C只经过三个点中的一点，所以A2,A都不在C上，…(2分) 所以点A(2,22)在C上，将其坐标代人y2=2x,得p=2,…(4分)》 所以C的方程为y=4x。…(5分)》 (2)由(1)知F(1,0).设E(x),2),则P(,+ 2,2 (6分) 易知直线EH,MN的斜率均存在，故设直线EH的方程为y=k(x-1)(k≠0)， y=4x, 消去y整理得X2-(22+4)x+2=0,…(8分) y=k(x-1). 则x1+ 24=1,+3=(+）-2k=所以P1+是，) 2k2+4 …(10分) 用-替换，得Q1+2,-2h)。 …(11分） 2 当k≠±1时，kw= +26 则直线0的方程为y+2达=产气会-1-2).即（1-y+(3-)=0, 当花=3时，y=0.…(13分) 当k=±1时，P(3,±2)，Q(3,干2)，此时直线PQ过点(3,0). (14分) 故直线PQ过定点(3,0).… (15分) 17.解析(1)如图，连接BD交AC于点H. 在△C巾，可得mLB=密=，∠Bh=60, (1分) 在△D中，可得m∠4-治=停∠m=30, (2分) 所以AC L BD.… …(3分) 又因为AC⊥PB,且PB∩BD=B,PB,BDC平面PDB, 所以AC⊥平面PDB, (4分) 因为PDC平面PDB,所以AC⊥PD.… (5分) H (2)在直角梯形ABCD中，由题易知CD=√万， 又PD=E,PC=3,所以PD+DC2=PC2,所以PD⊥CD. 由(1)知AC⊥PD,且CD∩AC=C,CD,ACC平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD.…(8分) 方法一：如图，作DE⊥BC于点E,连接PE,则四边形ABED是矩形，DE=AB=5. 易知PD⊥BC,又PDODE=D,且PD,DEC平面PDE, 所以BC⊥平面PDE, 又因为PEC平面PDE,所以BC⊥PE 所以∠PED为平面PBC与平面ABCD所成角的平面角，…(12分) 在△PDE中，可得an∠PED=促-是所以ces∠PED= DE万 5 故平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值为 5 …(15分）》 2 方法二：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴和y轴，过点A且平行于PD的直线为z轴，建立空间直 角坐标系如图所示，可得A(0,00),B(50,0),C(5,3,0),D(0,10),P(0,1,2).…(9分) 由题意可知m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量。… …(10分) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 因为B武=(0,3,0)，B=(-5,1,2), n·BC=3y=0, 所以 令x=万，可得n=(万.0,5).…(12分) n.B=-5x+y+2z=0, 设平面PBC与平面ABCD所成的角为B, 品品原停 故平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值为至 5 (15分) 18解析(I)由x)=x-x2,得A=血x+x 令()=血+，则h(x）=1-2h-三.…（1分) 令m(x)=1一2nx-x,则m(x)在定义域内单调递减， (3分) 又m(1)=1-2n1-1=0, 故当0<x<1时，m(x)>0,即h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，m(x)<0,即h'(x)<0,所以h(x)在(1，+)上单调递减， 故h(x)=h(1)=1,且当x0时，h(x)→-o,当x→+∞时，h(x)>0且h(x)一→0， 作出h(x)的大致图象如图： 由于入>0，且h(x)=入有唯一的实数根，所以入=1.…(7分) (2)由题意知)≤22，即山≤“22，也即2hx-a+≤0在xe[,+x)时恒成立 1, 设g(x)=2lnx-ar+a 则g)=是-a-号=2-巴 当a≤0时，g'(x)>0在[1，+∞)上恒成立，则g(x)在[1，+o)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0,不满足条件。…(10分) 当a>0时，令n(x)=-ax2+2x-a,x≥1，则4=4-4a2. 当4=4-4a2≤0，即a≥1时，n(x)≤0， 则当x∈[1，+)时，g'(x)≤0，所以g(x)在[1，+∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(1)=0,满足条件.……(13分)】 一3 当4=4-4a>0,即0<a<1时，令n(x)=0,解得=1+个- ->1, 当x∈(1，xo)时，n(x)>0,则g'(x)>0,所以g(x)在(1，xo)上单调递增， 所以当x∈(1，x0)时，有g(x)>g(1)=0,不满足条件.… (16分) 综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞).…(17分)》 19.解析(1)小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题， 散所求概率为兮)广+x号x(兮)广=) ……(3分） (2)设小明答对的题数为Y,则他答错的题数为5-Y, 所以X=5+y-(5-y)=2Y… (5分) 由题意知y-B(5,子)所以E(5X子=号 (7分) 所以E()=2B(n-9 …(8分） (3)(1)当小明的积分为(i=1,2,…,9)时，若小明接下来一题答对，则积分变为i+1,若小明接下来一题答 错，则积分变为i-1. 由全概*公式有P三子P1+P-m ……(10分) 整理可得P-P=之(P-P 又P-P。=P1≠0，所以{P1-P}(i=0,1,2,…,9)为等比数列. …(12分) (i)由(i)可得P-P,=P, 所以Po=(Po-P,)+(P。-Px)+…+(P2-P)+P,= 1- 512 又R。=1,所以R=品 (15分) 所以P,=(P-P)+(P4-P)+(P3-P2)+(P2-P)+P 5123132 1-2 =1023×16=33 …(17分) 注：站米写器包不和分 一4