第2章 平面解析几何初步（复习讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

第二章 平面解析几何初步（复习讲义） （1）复习直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和两点式、直线方程的一般式，并会互化； （2）复习两直线平行与垂直的条件、两条直线的交点、平面上两点；间的距离、点到直线的距离探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式； （3）掌握圆方程的两种形式并会互化，会判断圆的一般方程成立的条件，理解两种形式的特点；了解直线与圆、圆与圆的几种位置关系，掌握直线与圆、圆与圆位置关系的性质的代数和几何表现形式；会用几何法或代数法处理直线与圆、圆与圆的几种位置关系； （4）通过平面解析几何初步复习以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力；通过对具体例题和变式的探究，向学生渗透分类、数形结合、化归的思想，培养学生观察、分析和概括的能力 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为0；（2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 5、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 6、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 7、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 8、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 9、直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 10、三种距离 （1）两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 （2）点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 （4）两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： ①转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． ②设，则与之间的距离 11、圆的定义和圆的方程 （1）平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． （2）圆的四种方程 ①圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 ②圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 ③圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 12、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 13、直线与圆的位置关系 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 14、圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 题型一 倾斜角与斜率的计算 【例1】若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【变式1-1】若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 题型二 三点共线问题 【例2】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【变式2-1】若三点，， (其中)共线，则 . 题型三 过定点的直线与线段相交问题 【例3】已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【变式3-1】已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【变式3-2】已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 　　　　． 【变式3-3】在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 题型四 直线的方程 【例4】已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 . 【变式4-1】经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【变式4-2】已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 【变式4-3】若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 . 题型五 两条直线的平行与垂直 【例5】（1）已知直线：，：，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）直线与直线的位置关系是（  ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【变式5-1】，，若，则（  ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【变式5-2】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 题型六 与距离、中点相关的问题 【例6】在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【变式6-1】已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【变式6-2】已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 题型七 对称问题 【例7】已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【变式7-1】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（  ） A．3 B． C． D． 【变式7-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【变式7-3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______ 题型八 直线方程综合 【例8】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求面积的最小值． 【变式8-1】已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程. 【变式8-2】已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时， (1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标. (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值. 题型九 点与圆的位置关系 【例9】已知点A(2a, a＋1)与圆C: x2＋(y－1)2＝5，求满足下列条件的实数a的取值范围： (1) 点A在圆C内； (2) 点A在圆C上； (3) 点A在圆C外． 【变式9-1】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式9-2】设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 题型十 求圆的方程 【例10】求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上且过两点的圆的方程； （2）经过三点的圆的方程． 【变式10-1】圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【变式10-2】已知圆与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，圆心在第二象限. （1）若圆与轴的另一个交点坐标为，求圆的标准方程； （2）若，求圆的标准方程. 题型十一 直线与圆的位置关系 【例11】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 【变式11-1】已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式11-2】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【变式11-3】在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型十二 圆与圆的位置关系 【例12】已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2, 1)． (1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2) 若圆O2与圆O1交于点A, B，且AB＝2，求圆O2的方程． 【变式12-1】已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式12-2】已知点，若圆上存在点满足3，则实数的取值范围是 _____． 【变式12-3】已知圆：，圆：. （1）若两圆相交，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 题型十三 与圆有关的最值问题 【例13】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求： (1) 的最大值和最小值； (2) y－x的最大值和最小值； (3) x2＋y2的最大值和最小值． 【变式13-1】（多选）瑞士著名数学家欧拉提出定理：任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，作△ABC, AB＝AC＝4，点B(－1, 3), C(4, －2)，且其“欧拉线”与圆M: (x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的有( ) A. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最小为2 B. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最大为3 C. 若点(x, y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D. 若圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则实数a的取值范围是[1－2， 1＋2] 【变式13-2】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型十四 弦长与面积问题 【例14】已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 【变式14-1】在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【变式14-2】在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为 . 题型十五 切线问题、切线长问题 【例15】已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ． 【变式15-1】在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【变式15-2】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 题型十六 与圆有关的轨迹问题 【例16】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【变式16-1】已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【变式16-2】已知P是圆C: (x－3)2＋y2＝4上的一个动点，点A(－3, 0), M是线段AP的中点，求点M的轨迹方程． 题型十七 圆的综合性问题 【例17】已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【变式17-1】已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为． （1）求圆C方程； （2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式17-2】已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 基础巩固通关测 1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 2．若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（　　） A． B． C． D． 4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 8．若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9．（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（　　） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 10．（多选）已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 11．已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______． 12．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 13．已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 14．根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： （1）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； （2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 能力提升进阶练 1．已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3．已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 6．（多选）已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 存在点，使得四边形为菱形 B. 四边形的面积最小值为 C. 的外接圆恒过两个定点 D. 原点到直线的距离不超过 7．如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为___________. 8．过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点__________；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为__________. 9．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是___________ 10．已知在平面直角坐标系中，点，，点满足．则当三点不共线时，面积的最大值为__________． 11．已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是为__________． 12．已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程. 13．已知圆过点，且与圆关于直线对称． （1）判断圆与圆的位置关系，并说明理由； （2）过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面解析几何初步（复习讲义） （1）复习直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和两点式、直线方程的一般式，并会互化； （2）复习两直线平行与垂直的条件、两条直线的交点、平面上两点；间的距离、点到直线的距离探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式； （3）掌握圆方程的两种形式并会互化，会判断圆的一般方程成立的条件，理解两种形式的特点；了解直线与圆、圆与圆的几种位置关系，掌握直线与圆、圆与圆位置关系的性质的代数和几何表现形式；会用几何法或代数法处理直线与圆、圆与圆的几种位置关系； （4）通过平面解析几何初步复习以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力；通过对具体例题和变式的探究，向学生渗透分类、数形结合、化归的思想，培养学生观察、分析和概括的能力 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为0；（2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 5、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 6、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 7、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 8、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 9、直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 10、三种距离 （1）两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 （2）点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 （4）两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： ①转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． ②设，则与之间的距离 11、圆的定义和圆的方程 （1）平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． （2）圆的四种方程 ①圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 ②圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 ③圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 12、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 13、直线与圆的位置关系 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 14、圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 题型一 倾斜角与斜率的计算 【例1】若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【答案】1 【解析】由已知可得， 过点，的直线的斜率， 解得， 故答案为： . 【变式1-1】若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 题型二 三点共线问题 【例2】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 【变式2-1】若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【解析】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 题型三 过定点的直线与线段相交问题 【例3】已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足， 因，，故. 故答案为：. 【变式3-1】已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【解析】如下图，由题意， 直线方程可化为， 由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 【变式3-2】已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 　　　　． 【答案】． 【解析】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-3】在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 题型四 直线的方程 【例4】已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】因为中线CE所在直线方程为， 所以可设， 由AC中点为，可得， 所以， 为等腰直角三角形，CE为中线， ，， ①， 又是的中点，， ，， 化简得： ②， 由①②解得， 所以点，又因为， 所以直线方程为， 即所求方程为. 故答案为： 【变式4-1】经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 【变式4-2】已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【解析】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. （3）依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 【变式4-3】若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 . 【答案】6x－5y－9＝0 【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2， 又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0， 联立直线AC与直线CM方程得 解得 顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ， 由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0， B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0， 联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）. 于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0. 故答案为：6x－5y－9＝0 题型五 两条直线的平行与垂直 【例5】（1）已知直线：，：，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）直线与直线的位置关系是（  ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】（1）A；（2）A 【解析】（1）当时，，解得：， 验证：当时，，，两直线平行， 当，，，两直线平行， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. （2）当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【变式5-1】，，若，则（  ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【答案】D 【解析】因为，，， 当，即时，，此时与不平行； 当，即时，有，解得， 经检验，当时，， 所以. 故选：D. 【变式5-2】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【解析】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 题型六 与距离、中点相关的问题 【例6】在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可设，，，，则， 若，则有，化简得， 故，，即， 故直线的方程为，即； （2）由点在直线上，故有， 整理得， 故 ， 即的最小值为. 【变式6-1】已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【答案】或2 【解析】直线，， 所以两平行线间的距离为，解得或， 故答案为：2或 【变式6-2】已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C 【变式6-3】已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 【答案】 【解析】由， 即， 令，解得， 则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 题型七 对称问题 【例7】已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 【变式7-1】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（  ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【解析】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B. 【变式7-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 【变式7-3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______ 【答案】5 【解析】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 题型八 直线方程综合 【例8】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求面积的最小值． 【解析】（1）由题意可设、，且、． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或，， 当，即，时，， 即，则， 此时、符合题意． 综上，． 【变式8-1】已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为， 由题意可的，解的， 所以直线的方程为，即. 【变式8-2】已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时， (1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标. (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值. 【解析】（1）解法1 当时，，无论为何值，直线过定点； 当时，，直线过定点； 综上：直线恒过定点； 解法2：将直线化为， 由，得，即直线恒过定点. （2）将直线化为，得直线恒过定点， 在直线中，由于，令得， 令，故直线与轴正半轴交于点， 同理在直线中，令，得，故与轴正半轴交于点， 如图，在平面直角坐标系中取点，连接，当实数的值在区间内变化时，过点作出直线的大致图象，与轴交于点与轴交于点. 则点的坐标为，点的坐标为. 因为，所以， 在中边上的高为2，在中边上的高为2， 所以 ， 所以当时，所求四边形的面积最小，最小值为. 题型九 点与圆的位置关系 【例9】已知点A(2a, a＋1)与圆C: x2＋(y－1)2＝5，求满足下列条件的实数a的取值范围： (1) 点A在圆C内； (2) 点A在圆C上； (3) 点A在圆C外． 【答案】(1)(－1, 1)；(2) {－1, 1}；(3)(－∞， －1)∪(1, ＋∞) 【解析】(1) 因为点(2a, a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2<5，解得－1＜a＜1.因此，实数a的取值范围是(－1, 1)． (2) 因为点(2a, a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5上，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2＝5，解得a＝－1或a＝1.因此，实数a的取值集合是{－1, 1}． (3) 因为点(2a, a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2>5，解得a＜－1或a＞1.因此，实数a的取值范围是(－∞， －1)∪(1, ＋∞)． 【变式9-1】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 【变式9-2】设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】根据题意，即，故点在圆外. 故选：B. 题型十 求圆的方程 【例10】求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上且过两点的圆的方程； （2）经过三点的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设圆的一般方程为， 其中,圆心坐标为, 因为圆心在直线上且过两点， 所以， 解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； （2）设圆的一般方程为， 其中, 因为经过三点， 所以， 解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； 【变式10-1】圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 【变式10-2】已知圆与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，圆心在第二象限. （1）若圆与轴的另一个交点坐标为，求圆的标准方程； （2）若，求圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意知，圆上，故圆心在直线上， 又直线的斜率为，故其垂直平分线方程为， 令得，即圆心为，则半径为 ， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）可知，圆心在的垂直平分线上， 又因为，则圆心在上， 联立 ，由于圆心在第二象限，解得，（舍去）， 故圆心为，则半径为 故圆的标准方程为； 题型十一 直线与圆的位置关系 【例11】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 【答案】（1）m>0或m<－；（2）m＝0或m＝－；（3）－<m<0 【解析】已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【变式11-1】已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，则， 所以，圆心为，半径为， 由直线与圆相离，故，可得， 综上，. 故选：C 【变式11-2】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点， 设反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线方程为，即， 又由反射光线与圆相切，可得， 整理得，解得或. 故选：D. 【变式11-3】在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，因为，，， 所以， 整理得，所以点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆 因为，直线上存在点，使得，所以直线与圆相交或相切. 所以，，解得. 故选：D 题型十二 圆与圆的位置关系 【例12】已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2, 1)． (1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2) 若圆O2与圆O1交于点A, B，且AB＝2，求圆O2的方程． 【答案】(1)(x－2)2＋(y－1)2＝12－8；(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20 【解析】设圆O1, O2的半径分别为r1, r2. (1)由两圆外切可知O1O2＝r1＋r2，所以r2＝O1O2－r1＝2(－1)， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. (2)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r， 两圆的方程相减即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r－8＝0. 过点O1作O1H⊥AB于点H，则AH＝AB＝， 所以O1H＝＝. 由圆心(0, －1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为＝， 解得r＝4或r＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 【变式12-1】已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设圆心距为，则，因为两圆和无公共点， 所以两圆外离或内含， 则或，即或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式12-2】已知点，若圆上存在点满足3，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】设，则 若3，则即 ∴的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆， 若圆上存在点满足3， 则圆和圆有公共点， 解得： ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式12-3】已知圆：，圆：. （1）若两圆相交，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， 【解析】（1）由题意，得，半径，，半径， 因为两圆相交，所以， 所以， 即，解得， 又因为，所以， 故的取值范围为. （2）两圆的公共弦所在直线方程为， 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离， 又因为，所以， 解得， 因为，所以. 题型十三 与圆有关的最值问题 【例13】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求： (1) 的最大值和最小值； (2) y－x的最大值和最小值； (3) x2＋y2的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为－；（2）最大值为－2＋，最小值为－2－；（3）最大值为7＋4，最小值为7－4 【解析】 原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆． (1) 设＝k，即y＝kx，则当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值， 此时＝，解得k＝±， 故的最大值为，最小值为－. (2) 设y－x＝b，即y＝x＋b， 则当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值， 此时＝，解得b＝－2±， 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3) x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 【变式13-1】（多选）瑞士著名数学家欧拉提出定理：任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，作△ABC, AB＝AC＝4，点B(－1, 3), C(4, －2)，且其“欧拉线”与圆M: (x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的有( ) A. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最小为2 B. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最大为3 C. 若点(x, y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D. 若圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则实数a的取值范围是[1－2， 1＋2] 【答案】ACD 【分析】由题意结合“欧拉线”概念可得△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆M的方程．由圆心到直线的距离可判断A和B；令z＝x＋y，由直线与圆相切可得z的最值，即可判断C；由圆与圆的位置关系即可判断D. 【解析】由AB＝AC可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线， 由点B(－1, 3)，点C(4, －2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率kBC＝＝－1， 所以线段BC的垂直平分线的斜率为1， 从而线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0. 又圆M: (x－3)2＋y2＝r2的圆心坐标为(3, 0)，半径为r， 所以点(3, 0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r， 所以圆M: (x－3)2＋y2＝2. 对于A和B，圆M的圆心(3, 0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，故A正确，B错误． 对于C，令z＝x＋y，即x＋y－z＝0.当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，圆心(3, 0)到直线的距离为＝，解得z＝3＋2或z＝3－2，则x＋y的最小值是3－2，故C正确． 对于D，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8的圆心坐标为(a＋1, a)，半径为2.若该圆与圆M有公共点，则2－≤≤2＋，即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确 【变式13-2】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，然后根据可表示点与点连线斜率，利用数形结合法求解. 【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示： 可表示点与点连线斜率 当直线与圆相切时：设直线方程为，即 圆心到直线距离，解得或， 又，所以，当直线经过点时，， 综上 故选：B. 题型十四 弦长与面积问题 【例14】已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 【答案】 【解析】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 【变式14-1】在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【答案】/ 【解析】由圆，即， 可得圆心坐标为，半径为， 因为钝角的面积为，可得， 解得，因为，所以， 可得， 设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得， 根据点到直线的距离公式，解得． 故答案为：． 【变式14-2】在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为圆：，即，可知圆心，半径， 设圆心到动直线的距离为d，设其最大值为，可知， 则， 可得的面积， 令，可知在上的最大值为， 令，解得或， 结合二次函数对称性可知，即，即圆心到动直线的距离的最大值为2， 此时点在以为圆心，2为半径的圆M上， 又因为即为点与点连线的斜率， 显然当直线与圆M相切于第一象限时，斜率最大， 此时，可知， 即的最大值为为. 故答案为：. 题型十五 切线问题、切线长问题 【例15】已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【解析】由题，所以时，最大， 由于PA，PB与圆相切，所以四边形PACB是正方形，此时， 又点P在直线上，所以设点，则， 解得或，所以点P的坐标为或. 故答案为：或. 【变式15-1】在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【答案】（答案不唯一，另一条为） 【解析】依题意，点关于直线的对称点， 由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切， 相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为， 因此圆心到直线的距离，解得， 所以所求直线方程为或. 故答案为： 【变式15-2】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】由可得，由可得 ，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 其方程为．又点在直线上， 故直线与圆有公共点，所以， 解得，所以或． 故答案为：或 题型十六 与圆有关的轨迹问题 【例16】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）x2＋y2－x－y－1＝0 【解析】(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 【变式16-1】已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为： 【变式16-2】已知P是圆C: (x－3)2＋y2＝4上的一个动点，点A(－3, 0), M是线段AP的中点，求点M的轨迹方程． 【答案】x2＋y2＝1. 【解析】设M(x, y)为所求轨迹上的任意一点，点P的坐标为(x1, y1)， 则(x1－3)2＋y＝4.　① 因为M是线段AP的中点，所以 即代入①式得x2＋y2＝1. 故点M的轨迹方程为x2＋y2＝1. 题型十七 圆的综合性问题 【例17】已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析. 【解析】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）设，由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA,OB斜率之和为定值. 【变式17-1】已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为． （1）求圆C方程； （2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析． 【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果； （2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值． 【解析】（1）设圆C的方程为 圆心C在射线上，所以 圆C与y轴相切，则 点到直线的距离 ， 由于截直线所得弦长为，所以 则得，又 所以(舍去)， 故圆C的方程为； （2）假设m存在，由（1）得，因为， 所以在线段的中垂线上，则， 因为，所以 解得； 当时，直线方程为即， 圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意； 所以不存在实数m满足题干要求. 【变式17-2】已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在点或，使为正三角形 【解析】（1）设圆心坐标为，则，解得：， 圆的半径， 圆的方程为：. （2）为直角三角形，，， 则圆心到直线的距离； 当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离； 当直线斜率存在时，可设，即， ，解得：， ，即； 综上所述：直线的方程为或. （3）假设在直线存在点，使为正三角形，，， 设，，解得：或， 存在点或，使为正三角形. 基础巩固通关测 1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D. 2．若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为方程表示的曲线是圆， 所以，即， 解得. 故选：D 3．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设所求圆的圆心坐标为(a，b)， 因为圆与x轴相切，所以b＝6=r， 因为两圆内切， 所以圆心距，解得， 故所求圆的方程为. 故选：D 5．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 6．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线， 切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以， 所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆， 圆心到直线的距离， 所以点P到直线的最短距离为， 故选：B 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C 8．若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵直线l： 恒过定点 曲线C： 即： ∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆. ∵直线l与曲线C有两个交点， ∴如图所示， 当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点， 此时 解得： 当过点M的直线也过点 时有2个交点， 此时 ∴ 故选：B. 9．（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（　　） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 【答案】AD 【解析】选项A，当时，是方程的解， 即过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为， 则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当时，由不全为0，， 直线的方程可化为， 故直线和轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则， 可得，代入直线方程， 得，即，故D正确. 故选：AD. 10．（多选）已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 【答案】BC 【分析】求出直线l所过定点坐标，结合点与圆位置关系的判定方法即可判断A、C；求出使得直线l与直线：垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 【解析】对于A、C，由l：，得， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 因为直线恒过定点，而，故在圆O：内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线的斜率为，则当时满足直线l与直线垂直，故B正确； 对于D，时，直线，故圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误. 故选：BC. 11．已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，且，所以， 所以可得直线l的方程为，即． 故答案为：. 12．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 【答案】(3，) 【解析】由已知，得圆心N(5,6)． ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，)． 故答案为：(3，) 13．已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由直线l可得， 令，得P点坐标， 依题意：的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得 故答案为： 14．根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： （1）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； （2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，则圆A方程为， 过A做由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知. 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． （2）两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或. 能力提升进阶练 1．已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】直线过定点，作出图像如下图所示： ，，直线的斜率为， 若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则，即. 故选：B 2.已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆心为，半径为， 若圆上有四个点到直线的距离等于1， 所以到直线的距离小于， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆：，圆心，半径，如图所示： 由图可知，当和与圆相切时，最大，要使圆上存在两点使得，则， ，即，解得， 故选：B. 4．已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C 5．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【解析】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD 6．（多选）已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 存在点，使得四边形为菱形 B. 四边形的面积最小值为 C. 的外接圆恒过两个定点 D. 原点到直线的距离不超过 【答案】BCD 【解析】对于A：当四边形为菱形时，， 则， 又到直线的距离为， 所以不存在点，使得四边形为菱形，故A错误； 对于B：由A可知，， 所以四边形的面积， 所以四边形的面积最小值为，故B正确； 对于C：设，由图象可知四点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 即， 令，解得或， 所以的外接圆恒过两个定点，故C正确； 对于D：过的圆的方程为， 由得直线的方程为：， 则原点到直线的距离为 ，故D正确； 故选：BCD. 7．如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为___________. 【答案】，， 【解析】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立， ①是过另外两条直线的交点， 由和的交点是，代入解得： ； ②是这条直线与另外两条直线平行， 当和平行，只需，解得； 当和平行，只需此时. 综上，的取值集合是，，. 8．过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点__________；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】设，因为直线上一点， 所以，以为直径的圆的方程为， 即，所以，即直线的方程为， 又直线的方程为，故直线过定点. 设，直线过定点为，则， 由，得， 整理得点的轨迹方程为， 因为点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为：， 9．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是___________ 【答案】 【解析】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故答案为：． 10．已知在平面直角坐标系中，点，，点满足．则当三点不共线时，面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】设，则由得：， 即，整理可得：，即， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 如图所示：当在圆心的正上方或正下方时，到的距离最大，且为半径， . 故答案为：. 11．已知P是直线l：上一点，M，N分别是圆：和：上的动点，则的最小值是为__________． 【答案】 【解析】圆：，则圆心，， 圆：，则圆心，， 因为，则两圆心在直线l的同侧. 又圆心到直线l的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离， 圆心关于直线l：的对称点为， 则，解得，， 所以， 则当M，N，P三点共线且经过两圆圆心时，取最小值， 所以的最小值为. 故答案为： 12．已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程. 【答案】（1）；（2）最小值是4，方程为． 【解析】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； （2）易知，令得，令，得，即， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即． 13．已知圆过点，且与圆关于直线对称． （1）判断圆与圆的位置关系，并说明理由； （2）过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】（1）圆与圆外切，理由见解析 （2）①最大值为；②平行，理由见解析 【解析】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切． （2）方法一：令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形， 所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在， 则，此时 若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，， 点到的距离为，同理可得点到的距离为， ， ， 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 ②直线和平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ， 由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，所以， ， 所以，直线和一定平行． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$