第2章 平面解析几何初步（单元测试·提升卷）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第2章 平面解析几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 2．若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 3．若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 4．已知，，直线与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5． 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8．已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆： 交于，两点，则当最大时，的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10．下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 11．已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与直线平行，且两条直线之间距离为，则直线的方程为__________. 13．已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________. 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线，点和点分别是直线上一动点. （1）若直线经过原点，且，求直线的方程； （2）设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知圆及点，． （1）若直线过点，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知△ABC中，顶点A(3,7)，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是. （1）求点A关于直线CD的对称点的坐标； （2）求顶点B、C的坐标； （3）过A作直线，使B,C两点到的距离相等，求直线的方程. 18．（17分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. （1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； （2）求锯成的的面积的最小值. 19．（17分）已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第2章 平面解析几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 2．若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 3．若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 4．已知，，直线与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5． 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8．已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆： 交于，两点，则当最大时，的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10．下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 11．已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与直线平行，且两条直线之间距离为，则直线的方程为__________. 13．已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________. 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线，点和点分别是直线上一动点. （1）若直线经过原点，且，求直线的方程； （2）设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知圆及点，． （1）若直线过点，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知△ABC中，顶点A(3,7)，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是. （1）求点A关于直线CD的对称点的坐标； （2）求顶点B、C的坐标； （3）过A作直线，使B,C两点到的距离相等，求直线的方程. 18．（17分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. （1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； （2）求锯成的的面积的最小值. 19．（17分）已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第2章 平面解析几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值建立等式求解即可． 【解析】， 解得， 故选：C． 2．若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 【答案】A 【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解. 【解析】由于和直线平行， 所以，解得， 故选：A 3．若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断. 【解析】因为点在圆内， 所以， 设圆心到直线的距离为, 则， 圆半径, 因为，所以直线与圆的位置关系为相离. 故选：C. 4．已知，，直线与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】确定直线过定点，画出图形，由题意得 所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，解不等式求出直线的斜率的取值范围． 【解析】直线过定点，,， 如图所示： 由题意得，所求直线的斜率满足或， 或， ∴直线的斜率的取值范围是. 故选：A． 5． 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】求出圆心，由垂径定理得⊥，从而得到，写出直线方程. 【解析】的圆心为， 为过点的弦，当弦被点平分， 由垂径定理得⊥， 其中，故， 所以直线的方程为，即. 故选：B 6．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解. 【解析】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线， 则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点所在直线的方程为， 由，可得，解得，可得， 所以到原点的距离的最小值为. 故选：B. 7．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出直线恒过定点，分析可得在圆内部，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，求出此时的值，由弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 8．已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆： 交于，两点，则当最大时，的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解即可. 【解析】由题意知，，在中，， 显然，是锐角，， 又函数在上单调递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，， 所以，. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【解析】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10．下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误； 对于B，判断两圆的位置关系即可； 对于C，可判断点的轨迹是圆心为，半径为的圆，又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围； 对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围. 【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误； 对于B，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则圆心距，又， 由，可知， 两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确； 对于C，连接，，，如图， 则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，， 实数的取值范围为，故C正确； 对于D，取中点，连接，如图所示： 则， 点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， ， ，即， ， 的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 11．已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【分析】通过对称性确定曲线图形，再结合图形逐项判断即可. 【解析】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 当，时，曲线 可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 其图象为： 对于A：坐标原点到的距离为，所以上的点的到点的距离的最大值为，正确； 对于B：由图象可知上的点的横坐标的取值范围是，故B错误； 对于C:第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为.C正确； 对于D: 连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：，显然与垂直， 画出与两条直线， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 所以结合图象可知：若上有四个点到直线的距离等于，则，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与直线平行，且两条直线之间距离为，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解. 【解析】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 13．已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________. 【答案】或 【分析】根据题意可求得圆心坐标，再求得切线长以及四边形面积表达式可得结果. 【解析】联立可解得，即； 设圆心，圆的半径为， 可得，解得或， 当时，可得，， 可得， 因此四边形的面积为； 当时，可得，， 可得； 所以四边形的面积为. 故答案为：或 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作平行于轴的直线，过点作，得到表示的长度，根据，求得，得到，进而化简得到，得出垂直直线时，最小，利用圆的性质，求得的值，结合，即可求解. 【解析】如图（1）所示，过点作平行于轴的直线交直线于点， 过点作于点，表示的长度， 因为直线的方程为，即直线的斜率，则， 又因为，所以， 所以，可得，即， 所以， 当固定点时，且平行轴时，此时点与点重合， 此时为定值，此时为0时，最小，如图（2）所示， 过点作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 可得， 又由直线的斜率，可得， 在直角中，可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线，点和点分别是直线上一动点. （1）若直线经过原点，且，求直线的方程； （2）设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据平行线间距离公式可得和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜率求解, （2）根据互相平行，可得的轨迹为，利用点到直线的距离公式即可求解. 【解析】（1）将化为一般式方程，得， ,则两直线平行， 故两直线的距离为，（3分） 因为，所以和两直线垂直. 因为的斜率为，所以.（4分） 又因为直线经过原点，所以直线的方程为.（6分） （2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为， 即（8分） 所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，（10分） 因为点到直线的距离为. 所以点到原点的最短距离为. （13分） 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知圆及点，． （1）若直线过点，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在，点有2个，理由见解析 【分析】（1）利用分类讨论的思想，根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解； （2）假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果． 【解析】（1）圆可化为，圆心为，， 若的斜率不存在时，，此时符合要求． 当的斜率存在时，设的斜率为，则令，（3分） 因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离， ，（5分） 直线的方程为， 所以直线的方程为或．（7分） （2）假设圆上存在点，设， 则，， 即，即，其圆心坐标为，半径为，（10分） 因为圆圆心为，，则圆心距为，（12分） 则， 与相交，则点有两个．（15分） 17．（15分）已知△ABC中，顶点A(3,7)，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是. （1）求点A关于直线CD的对称点的坐标； （2）求顶点B、C的坐标； （3）过A作直线，使B,C两点到的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1）；（2），；（3）或 【分析】 （1）设点关于直线的对称点的坐标为，则的中点需在直线：上，且，得到方程组，解得即可； （2）依题意设所在直线方程为，联立与，求得其交点即为， 设则的中点坐标为，则的中点在直线上，且在上，联立解得； （3）分两种情况讨论: 当直线过的中点，显然满足、两点到的距离相等； 当直线平行时，也满足、两点到的距离相等；分别计算可得； 【解析】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则，的中点坐标为， 因为：， 所以解得故对称点的坐标为；（5分） （2）依题意设所在直线方程为， 则解得，故（7分） 所以解得故， 设则的中点坐标为， 所以，解得 即（10分） （3） 由（2）可得中点坐标为， 当直线过的中点，显然满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即；（12分） 当直线平行时，也满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即 故满足条件的直线方程为或（15分） 18．（17分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. （1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； （2）求锯成的的面积的最小值. 【答案】（1），，. （2）. 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标； （2）先由题意确定范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以，（3分） 又因为，，易得直线，直线，（5分） 联立，解得；联立，解得， 故，.（8分） （2）因为，，所以，所以， 因为，（10分） 设M到直线的距离为d，则，（12分） 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为.（17分） 19．（17分）已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 【答案】（1）和 （2）存在，定点，定值或定点，定值 （3）证明见解析， 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. 【解析】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切，（1分） 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，（3分） 则，整理得， 综上，切线的方程为和（5分） （2）由题设，若，则，整理得，（7分） 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得，（10分） 要使为定值，则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 .（12分） （3）设，，，，， 由，则，即，（14分） 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册单元检测卷 第一章 数列·能力提升 参考答案及评分标准 第I卷 （选择题部分，共48分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C A B B A D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD ACD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据平行线间距离公式可得和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜率求解, （2）根据互相平行，可得的轨迹为，利用点到直线的距离公式即可求解. 【解析】（1）将化为一般式方程，得， ,则两直线平行， 故两直线的距离为，（3分） 因为，所以和两直线垂直. 因为的斜率为，所以.（4分） 又因为直线经过原点，所以直线的方程为.（6分） （2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为， 即（8分） 所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，（10分） 因为点到直线的距离为. 所以点到原点的最短距离为. （13分） 16．（15分）（1）或 （2）存在，点有2个，理由见解析 【分析】（1）利用分类讨论的思想，根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解； （2）假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果． 【解析】（1）圆可化为，圆心为，， 若的斜率不存在时，，此时符合要求． 当的斜率存在时，设的斜率为，则令，（3分） 因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离， ，（5分） 直线的方程为， 所以直线的方程为或．（7分） （2）假设圆上存在点，设， 则，， 即，即，其圆心坐标为，半径为，（10分） 因为圆圆心为，，则圆心距为，（12分） 则， 与相交，则点有两个．（15分） 17．（15分）（1）；（2），；（3）或 【分析】 （1）设点关于直线的对称点的坐标为，则的中点需在直线：上，且，得到方程组，解得即可； （2）依题意设所在直线方程为，联立与，求得其交点即为， 设则的中点坐标为，则的中点在直线上，且在上，联立解得； （3）分两种情况讨论: 当直线过的中点，显然满足、两点到的距离相等； 当直线平行时，也满足、两点到的距离相等；分别计算可得； 【解析】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则，的中点坐标为， 因为：， 所以解得故对称点的坐标为；（5分） （2）依题意设所在直线方程为， 则解得，故（7分） 所以解得故， 设则的中点坐标为， 所以，解得 即（10分） 由（2）可得中点坐标为， 当直线过的中点，显然满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即；（12分） 当直线平行时，也满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即 故满足条件的直线方程为或（15分） 18．（17分）（1），，. （2）. 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标； （2）先由题意确定范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以，（3分） 又因为，，易得直线，直线，（5分） 联立，解得；联立，解得， 故，.（8分） （2）因为，，所以，所以， 因为，（10分） 设M到直线的距离为d，则，（12分） 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为.（17分） 19．（17分）（1）和 （2）存在，定点，定值或定点，定值 （3）证明见解析， 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. 【解析】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切，（1分） 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，（3分） 则，整理得， 综上，切线的方程为和（5分） （2）由题设，若，则，整理得，（7分） 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得，（10分） 要使为定值，则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 .（12分） （3）设，，，，， 由，则，即，（14分） 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$