第2章 平面解析几何初步 (单元测试·基础卷）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 平面解析几何初步·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角，， 因为直线，所以直线的斜率为1， 所以， 所以倾斜角为. 故选：C. 2．过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可设与直线垂直的直线方程为， 代入点得，解得，则该直线方程为. 故选：B. 3．若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】化简可得圆的标准方程为：， 所以，即， 又因为在圆外，故， 解得，综上可得， 故选：A. 4．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题可得，解得， 所以两直线分别为，， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 5．若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】因为曲线，即， 表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图， 当直线，即与曲线相切时， 圆心到直线距离，解得或（舍去） 当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，， 综上可得，或， 故选：D 6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图所示，从特殊位置考虑. ∵点关于直线的对称点为， ∴直线的斜率，∴. ∵关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为，此时直线的斜率不存在. 综上，. 故选：B. 7．已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系， 可设，，明显，圆O的半径为2，其方程为：①， 设动点，由，从而有， 化简得：，即②， 由可得相交弦的方程为：，圆心到距离， 所以公共弦长为. 故选:A. 8．“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即：直角坐标平面中任意两点，的曼哈顿距离.已知点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D.3 【答案】D 【解析】设，， ， 当时，取等号，当时，，当时，， 所以. 故选:D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A. 直线的横截距与纵截距之积为24 B. 方程（R）能表示平行轴的直线 C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为 D. 点关于直线对称的点为 【答案】BD 【解析】对于A，令可得，则直线的纵截距为， 令可得，则直线的横截距为， 所以直线横截距与纵截距之积为，故A错误； 对于B，当时，方程为，表示平行轴的直线，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不满足到直线的距离相等； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则， 化简可得，由到直线的距离相等可得， ，解得或， 当时，直线方程为， 当时，直线方程为， 所以的方程为或，故C错误； 设点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，则对称点坐标为，故D正确； 故选：BD 10．已知圆，直线，则（ ） A 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆与圆恰有三条公切线 D. 当时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】首先转化为直线系方程求定点坐标，判断A，再根据定点在圆内，判断B，根据圆心距，判断两个圆位置关系，判断C，根据圆心到直线的距离，判断D. 【解析】A.，得，由，得，所以直线所过定点为，故A正确； B.将定点代入圆的方程，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故B正确； C. ，即，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为2，所以圆心距为，所以两圆相交，有2条件公切线，故C错误； D.当时，直线，圆心到直线的距离等于1，为半径的一半，所以有3个点到到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 的“欧拉线”方程为 B. 圆上点到直线的最大距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若点在圆上，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】由及题意可得三角形的欧拉线为线段的中垂线，求出的中垂线方程判断A；由欧拉线与圆相切可得，圆心到欧拉线的距离等于半径可得的值，由圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径判断B；令，得，代入圆的方程，由方程有根求出的范围判断C；表示圆上的点与连线的斜率，设，利用点到直线的距离公式得到不等式，即可求出的取值范围，从而判断D． 【解析】，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即，故A正确； 的“欧拉线”与圆相切， 圆心到直线的距离， 圆的方程为， 圆心到直线的距离， 圆上点到直线的距离的最大值为，故B错误； 令，，代入圆的方程， 可得，由于在圆上，有根， 则，整理得， 解得， 的最小值为，即的最小值为，故C正确； 因为表示圆上的点与连线的斜率，设，则，即， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】当截距为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 13．圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆的方程为___． 【答案】 【解析】由题意设圆心为， 因为圆过点，所以圆的半径为， 因为直线与圆相切， 所以， 化简得，得， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为， 故答案为： 14． 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆 上的动点，则的最小值为_____________ 【答案】8 【解析】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知中，，，边所在直线方程为， 边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为边所在直线方程为，故可设，……………2分 因为边上的高所在直线方程为， 所以，所以，…………………………4分 所以，故所求为，即；…………………………6分 （2）因为，，设中点为，所以，…………………………8分 因为，所以，…………………………10分 故所求为，即.………………………………………………………………13分 16．（本小题满分15分）已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率.…………………………6分 （2）设点则， 由点是的中点得，…………………………8分 所以① 因为在圆上运动，所以②…………………………11分 ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是…………………………………………15分 17．（本小题满分15分）已知圆C过两点，，圆心在直线上. （1）求圆C方程； （2）若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程； （3）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】（1）依题意，设圆心，半径为r，则， 即，解得， 所以，，得圆………………………………………………………………4分 （2）设圆C到直线的距离为d，由，得， 若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意，…………………………………………6分 若直线的斜率存在，设，即， 由圆心C到直线的距离为1，即，得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或………………………………………………………………9分 （3）依题意设，由两圆外切，可知， 所以，解得或，………………………………11分 所以或， 所以圆D的方程为或……………………………………15分 18．（本小题满分17分）如图，已知，直线. （1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程； （2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）因为，所以，由题意得直线方程为，…………………………2分 直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为，…………………………4分 易知直线经过的定点在直线上， 所以，…………………………5分 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，所以，…………………………7分 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为；…………………………9分 （2）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即，…………………………11分 直线的方程为，所以， 解得，所以，…………………………13分 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为，即. ………………………………………………………………17分 19．（本小题满分17分）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限， 在轴上的射影为点. （1）求的坐标； （2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 【答案】（1） （2）①的坐标为或者，；②证明见解析 【解析】（1） 因为直线与圆相切，切点为，所以 由，所以为以为斜边的等腰直角三角形，…………………………3分 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， 所以点的坐标为.…………………………5分 （2）①设，，则， 即， …………………………7分 又， 解得，， 所以的坐标为或者 …………………………9分 此时，取为线段的中点，则，由，且为 中点，则，所以. …………………………11分 ②证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，， 联立方程组，得， ，且，，， 直线方程为，直线方程为，得， ………………13分 则 ， 所以，又，所以与轴平行. ……………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 平面解析几何初步·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B D B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13． 14．8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解析】（1）因为边所在直线方程为，故可设，……………2分 因为边上的高所在直线方程为， 所以，所以，…………………………4分 所以，故所求为，即；…………………………6分 （2）因为，，设中点为，所以，…………………………8分 因为，所以，…………………………10分 故所求为，即.……………………………………………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解析】（1）已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率.…………………………6分 （2）设点则， 由点是的中点得，…………………………8分 所以① 因为在圆上运动，所以②…………………………11分 ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是…………………………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解析】（1）依题意，设圆心，半径为r，则， 即，解得， 所以，，得圆………………………………………………………………4分 （2）设圆C到直线的距离为d，由，得， 若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意，…………………………………………6分 若直线的斜率存在，设，即， 由圆心C到直线的距离为1，即，得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或………………………………………………………………9分 （3）依题意设，由两圆外切，可知， 所以，解得或，………………………………11分 所以或， 所以圆D的方程为或……………………………15 18．（本小题满分17分） 【解析】（1）因为，所以，由题意得直线方程为，…………………………2分 直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为，…………………………4分 易知直线经过的定点在直线上， 所以，…………………………5分 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，所以，…………………………7分 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为；…………………………9分 （2）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即，…………………………11分 直线的方程为，所以， 解得，所以，…………………………13分 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为，即.………………17分 19．（本小题满分17分） 【解析】（1） 因为直线与圆相切，切点为，所以 由，所以为以为斜边的等腰直角三角形，…………………………3分 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， 所以点的坐标为.…………………………5分 （2）①设，，则， 即， …………………………7分 又， 解得，， 所以的坐标为或者 …………………………9分 此时，取为线段的中点，则，由，且为 中点，则，所以. …………………………11分 ②证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，， 联立方程组，得， ，且，，， 直线方程为，直线方程为，得， ………………13分 则 ， 所以，又，所以与轴平行.……………………………………17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 平面解析几何初步·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2．过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3．若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 5．若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ） A. B. C. D. 8．“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即：直角坐标平面中任意两点，的曼哈顿距离.已知点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D.3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A. 直线的横截距与纵截距之积为24 B. 方程（R）能表示平行轴的直线 C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为 D. 点关于直线对称的点为 10．已知圆，直线，则（ ） A 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆与圆恰有三条公切线 D. 当时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 的“欧拉线”方程为 B. 圆上点到直线的最大距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若点在圆上，则的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______． 13．圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆的方程为___． 14． 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆 上的动点，则的最小值为_____________ 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知中，，，边所在直线方程为， 边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 16．（本小题满分15分）已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17．（本小题满分15分）已知圆C过两点，，圆心在直线上. （1）求圆C方程； （2）若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程； （3）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 18．（本小题满分17分）如图，已知，直线. （1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程； （2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 19．（本小题满分17分）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限， 在轴上的射影为点. （1）求的坐标； （2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 平面解析几何初步·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2．过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3．若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 5．若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ） A. B. C. D. 8．“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即：直角坐标平面中任意两点，的曼哈顿距离.已知点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D.3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A. 直线的横截距与纵截距之积为24 B. 方程（R）能表示平行轴的直线 C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为 D. 点关于直线对称的点为 10．已知圆，直线，则（ ） A 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆与圆恰有三条公切线 D. 当时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 的“欧拉线”方程为 B. 圆上点到直线的最大距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 若点在圆上，则的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______． 13．圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆的方程为___． 14． 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆 上的动点，则的最小值为_____________ 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知中，，，边所在直线方程为， 边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 16．（本小题满分15分）已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17．（本小题满分15分）已知圆C过两点，，圆心在直线上. （1）求圆C方程； （2）若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程； （3）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 18．（本小题满分17分）如图，已知，直线. （1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程； （2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 19．（本小题满分17分）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限， 在轴上的射影为点. （1）求的坐标； （2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$