专题1.5 圆的方程重难点题型讲义（1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题1.5 圆的方程重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由圆心(或半径)求圆的方程 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 题型三 由标准方程确定圆心和半径 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六 求圆的一般方程 题型七 由圆的一般方程确定圆心和半径 拓展训练一 求圆的方程 拓展训练二 圆的方程互化及应用 知识点一：圆的一般方程 1.圆的标准方程与一般方程的互化 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,展开得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 可见任何一个圆的方程都可以写成以下形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0.① 将方程①的左边配方,得+=. (1)当D2+E2-4F>0时,方程①表示的是以为圆心，为半径的圆. (2)当D2+E2-4F=0时,方程①只有一个实数解,x=-,y=-,所以方程①表示一个点. (3)当D2+E2-4F<0时,方程①没有实数解,因此它不表示任何图形. 2.圆的一般方程 (1)定义:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D、E、F为常数),当D2+E2-4F>0时称为圆的一般方程. (2)圆心坐标和半径公式: 上述方程表示的圆中,圆心坐标为,半径 【知识剖析】 圆的一般方程的特点: （1）x2与y2的系数均为1; （2）没有xy项; （3）D2+E2-4F>0. 【即时训练】 1．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】用待定系数法先设圆C的一般方程，再将圆C经过的点代入方程求出未知量即可得解. 【详解】设圆C的一般方程为， 则由题可得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 【经典例题一 由圆心(或半径)求圆的方程】 【例1】（23-24高二上·海南·期末）已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解 【详解】因为AB为直径， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故选：C 【例2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）求下列各圆的方程： (1)圆心为且过点； (2)圆心在直线上，且经过原点和点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两点间距离求出半径，再应用圆心及半径得出圆的标准方程； （2）先设圆心为，再应用两点间距离相等得出，最后应用圆心及半径得出圆的标准方程. 【详解】（1）圆心为，且过点， 则圆的半径， 又圆心为，所求圆的方程为； （2）由圆心在直线上可设圆心为， 又所求圆过原点以及点，所以圆心到原点及点的距离相等， 即  ，   即，解得，   半径，   故所求圆的方程为． 1．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 【答案】B 【分析】设圆心，由得出圆心和半径，进而得出方程. 【详解】设圆心，因为，所以， 解得，则半径为，圆心. 即圆C的标准方程为. 故选：B 2．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解. 【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a）， 则，解得a＝0或a＝1， ∴所求圆的方程为或, 故选：AD． 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为 【答案】 【分析】根据题意设圆心坐标为，根据圆所过的两点可得出关于的等式，求出即求出圆的方程. 【详解】因为圆心在直线上，设圆心坐标为， 因为圆经过原点和点，则，解得， 故圆心坐标为，圆的半径为， 故所求圆的方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）（1）过点且与直线平行，求直线的方程； （2）已知圆过点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意设直线方程为，再将点代入求解； （2）先求得的垂直平分线方程，再与直线联立，求得圆心，进而得到半径求解. 【详解】解：（1）设直线方程为， 因为直线过点， 则， ∴， ∴所求直线方程为. （2），则的垂直平分线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线为， 由，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆方程为. 【经典例题二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例1】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用斜率可以推出是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，据此求解. 【详解】由题意，，，即， 故，即是直角三角形，且为斜边， 直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点， 又， 于是的外接圆半径为，圆心是的中点，即. 故选：A 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解； （2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； （3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解. 【小题1】所求圆的半径. 又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. 【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. 【小题3】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 1．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆的半径为，乙：该圆经过点，丙：该圆的圆心为，丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】通过假设的方法判断出错误的同学. 【详解】解：设，，， 假设甲同学的说法错误， 则此圆的圆心为，且过， ， 此时，，与同圆的半径相等矛盾， 故假设错误，所以甲的说法正确； 假设乙的说法错误，则此圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为：， 代入点，等式成立， 所以圆经过点， 故假设正确，所以乙的说法错误； 假设丙的说法错误， 即此圆的半径为，经过点，， 则， 故假设错误，所以丙的说法正确； 假设丁的说法错误， 即该圆的圆心为，半径为，且经过点， 则， 故假设错误，所以丁的说法正确； 综上所述，说法错误的乙同学. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 3．（24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 m.    【答案】3 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的方程，令，求出的值即可. 【详解】如图：建立平面直角坐标系.    设过点的圆的方程为：. 因为点，在圆上， 所以，解得. 所以圆的方程为：. 令得：. 又，所以. 故答案为：3 4．（24-25高二上·福建福州·期中）的三个顶点分别是. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为，的方程为． (2) 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为2，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设圆的方程为，根据，，三点都在圆上，列出方程组，求得，，的值，即可得到圆的方程； 【详解】（1）设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为， 即直线的方程为， 又因为直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率为2， 所以上的高所在直线的方程为， 即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为， 即； 【经典例题三 由标准方程确定圆心和半径】 【例1】（23-24高三上·海南·期末）已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线平分圆的面积，所以直线经过，先求出直线的斜率，然后由点斜式求出方程即可. 【详解】因为直线平分圆的面积， 所以直线经过圆心，又经过点， 所以，所以直线的方程为：. 故答案为：. 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于直线对称的圆的方程． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】将圆方程变形可得，，则圆心，半径， 则圆心关于直线对称点坐标为，且对称圆的半径为， 则对称圆的方程为. 1．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【答案】C 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 2．(多选题)（24-25高二·全国·课后作业）设有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 【答案】ABD 【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断. 【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确； B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确； C选项，将代入得：，其中， 故经过点的圆有两个，故C错误； D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】写出圆的圆心坐标，由已知直线方程得到斜率，便能得到所求直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】依题意，得圆心为， 因为直线的斜率，则所求直线斜率为， 所以直线方程为，即. 故答案为： 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程. 【答案】 【分析】用待定系数法设圆的方程为，根据题中的关系，求出，，即可. 【详解】设所求圆的方程为， 由题意得 解得，，， 因此所求圆的方程为. 【经典例题四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例1】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知，，则的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先求出P，Q两点的轨迹，再结合图形，即可求解. 【详解】由，， 即有， 如图： 故P，Q在如图所示两圆及其内部的范围内， 所以得最大值为4. 故选：C. 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）已知圆的半径为3，求实数a的值． 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合半径可得，即可求a的值． 【详解】由题设，圆的标准方程为，又半径为3， 所以，即，可得. 1．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆的一般方程化成标准方程即可得解. 【详解】由圆的一般方程为， 可得圆的标准方程为：， 所以圆心. 故选：C 2．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程，表示出圆的半径，求出半径的最大值，即可确定面积的最大值. 【详解】方程即， 则所给圆的半径， 所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是. 故选：C 3．（22-23高二上·山东·期中）圆心在直线上，且经过圆与的交点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，设出经过圆与的交点的圆系方程，再利用圆心在直线上，即可求解. 【详解】设所求圆的方程为， 即，其圆心坐标为， 代入直线，得，故所求圆的方程为， 即. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 【答案】 【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程. 【详解】由可得， 故圆心坐标为 ，半径为1， 设点P关于直线的对称点为 ， 则有 ，解得，故 ， 所以圆关于直线的对称圆的方程为：. 【经典例题五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例1】（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】若曲线表示圆， 则由圆的一般方程可知，，解得或. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）讨论方程（为任意实数）所表示的曲线． 【答案】详见解析. 【分析】将方程转化为，分和求解. 【详解】方程可化为： ， 当，即 时， ，此时为直线； 当 ，即 时，  ， 表示以 为圆心，以 为半径的圆. 综上所述，当时，表示为方程为的直线； 当时，表示为以 为圆心，以 为半径的圆. 1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 2．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 【答案】BC 【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可. 【详解】对于A，当时，， 若，则C是圆； 若，则C是点； 若，则C不存在.故A错误. 对于B，当时，，且， 则C是圆，故B正确. 对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确. 对于D，当，时，， 若，则表示一元二次方程， 若，则表示抛物线，故D错误. 故选：BC 3．（23-24高二上·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【详解】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 【答案】，，且 【分析】将二元二次方程进行化简，再根据圆的一般方程可推出A、B、C、D、E、F所需满足的条件. 【详解】因为圆的一般方程是， 所以二元二次方程要表示圆， 首先必须使其中的系数，， 此时方程为， 通过变形及配方，得， 此时又必须． 因此，A、B、C、D、E、F所需满足的条件是，，且． 【经典例题六 求圆的一般方程】 【例1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 【答案】. 【分析】设该圆的一般方程为，把题干所给条件代入解方程组即可. 【详解】设该圆的一般方程为， 令，得，所以； 令，得，所以. 所以，所以.① 又，两点在圆上， 所以，② .③ 由①②③，得，，，经验证符合题意， 故所求圆的方程为. 1．（22-23高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 【答案】ABD 【分析】根据圆的标准方程、圆的一般方程及点与圆的位置关系判断即可. 【详解】A，圆的方程都能写成一个二元二次方程,A正确； B，圆的一般方程和标准方程是可以互化的，B正确； C，不表示圆，方程可化为，故不表示圆，而表示点，C错误； D，因为点在圆外，所以， 即，D正确. 故选：ABD. 3．（2023高二上·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 圆过点，和，所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·全国·课后作业）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 【答案】. 【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为，即可求解. 【详解】设圆的一般方程为，由圆经过点和， 代入圆的一般方程，得(*) 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 由已知，得，即.　③ 由(*)③联立解得. 故所求圆的方程为. 【经典例题七 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】化圆的方程为标准方程得， 则该圆圆心到直线的距离为. 故选：A 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于点对称的圆的方程． 【答案】 【分析】将圆的方程配成标准式，得到圆心坐标与半径，求出圆心关于点对称的点的坐标，即可求出对称的圆的方程. 【详解】圆，即，圆心，半径， 圆心关于点对称的点为，即， 所以圆关于点对称的圆的方程为.    1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程表示圆得，， 整理得，，解得. 由题意得，圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 2．（多选题）（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【分析】根据题意，将圆的一般式方程化为标准式方程，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 3．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为 . 【答案】 【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解. 【详解】由圆，则圆的圆心坐标为. 故答案为：. 4．（2024高三下·全国·专题练习）求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，设圆的方程为，得出圆心坐标代入直线方程，求得的值，进而得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 整理得， 即， 可得所求圆的圆心坐标为， 因为所求圆的圆心在直线上，可得， 解得，代入整理得 即所求圆的方程为. 【拓展训练一 求圆的方程】 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 【例2】（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段的垂直平分线的斜率，即可写出方程； （2）求出线段的垂直平分线的方程，再将线段、的中垂线方程联立，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程. 【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即. （2）设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 得线段的垂直平分线的方程为,即， 由（1）线段的垂直平分线方程为， 由，解得：， 即圆心为，圆的半径为：， 故圆的方程为：. 1．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点，确定对称圆圆心，对称圆半径与圆相同，根据圆心半径确定圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设点关于直线的对称点为， 直线化为，所以直线的斜率为， 设直线的斜率为，，则， 即，整理得：①， 、的中点坐标为， 又、的中点坐标满足直线方程， 所以，整理得： ②， 联立①②，，解得，所以 所以圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为：. 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AD 【分析】依题意设出圆的一般方程，代入坐标可得圆方程为，由点在圆上即可解得或. 【详解】根据题意可设圆方程为， 将点，，代入可得，解得； 即圆方程为， 又点在圆上，所以，整理得， 解得或. 故选：AD 3．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    【答案】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 【答案】(1)1 (2)，圆心坐标是，半径为 【分析】（1）运用两点间距离公式计算，求出边所在直线的方程，再用点到直线距离公式计算高，最后算出面积即可； （2）设圆的方程为，运用待定系数法，代入点计算即可. 【详解】（1）， 边所在直线的方程为，即， 点到直线：的距离为， 所以. （2）设圆的方程为， 由题意得，，， 所求圆的方程为， 即， 所求圆的圆心坐标是，半径. 【拓展训练二 圆的方程互化及应用】 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是． 故选：A. 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 【答案】或．圆心坐标为，半径为 【分析】配方后根据方程表示圆得出圆心，半径，由半径建立不等式求出的范围. 【详解】原方程可化为． 由，得，解得或， 所以a的取值范围是或，圆心坐标为，半径为． 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 2．（多选题）（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知直线与圆，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径是4 C．直线l与圆C一定相交 D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 【答案】ACD 【分析】求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可. 【详解】由题意可得直线， 由，解得，则直线l过定点，故A正确； 圆，即， 则圆C的圆心坐标为，半径为2， 故B错误； 因为，则点在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确； 因为，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 4．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0. (1)若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外； (2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为， 求圆C的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求； （2）利用圆的一般式得到圆心与半径关于的表达式，进而由题设条件得到关于的方程组，解之即可得到圆C的方程. 【详解】（1）因为方程x2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲线是圆， 所以D2+E2-12>0，即D2+E2>12， 因而点在圆x2+y2=12外. （2）由题意知，圆心， 因为圆心在直线x+y-1=0上，所以，即①， 又因为半径，即②， 联立①②，解得或， 又因为圆心在第二象限，所以，，即D>0，E<0. 所以， 故圆的一般方程为，即. 1．（23-24高二上·贵州遵义·期末）设两圆，（圆心不重合）都与两坐标轴相切，且都过点，则两圆圆心的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设出两圆方程，可得,即可求出圆心距. 【详解】依题意，设， 将点代入，得，所以， 则两圆圆心的距离. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径. 【详解】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 三个式子联立解得，，，. 则所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 3．（23-24高三上·四川·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用圆的标准方程即可求解 【详解】方程表示圆， 则， 解得，即的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 5．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 【答案】D 【分析】利用题给条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】由方程表示半径为1的圆， 可得，解之得， 故选：D 6．（多选题）（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解； 【详解】选项A: ，，故选项正确； 选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误； 故选：AB. 7．（多选题）（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 【答案】AB 【分析】对于A，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，利用圆的面积公式，可得答案； 对于B，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，令半径大于零建立不等式，可得答案； 对于C，利用两点距离公式，结合反例，可得答案； 对于D，由题意当圆周长最大，半径则最大，确定参数的值，可得答案. 【详解】对于A，由，则，整理可得， 所以此时方程表示以为圆心，以为半径的圆，其面积为，故A正确； 对于B，由，则， 可得，解得，故B正确； 对于C，由圆，则圆心，半径， 点到圆心的距离为， 当时，，此时点在圆上，故C错误； 对于D，当圆的周长最大时，半径取最大，即，，此时圆心，故D错误. 故选：AB. 8．（多选题）（22-23高三上·海南儋州·开学考试）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】AB 【分析】根据圆的一般方程列式求得，结合选项即可得结果. 【详解】若方程表示圆， 则，解得， 结合选项可知：AB正确，CD错误. 故选：AB. 9．（多选题）（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】根据两点间的距离坐标公式以及直线方程、圆的标准方程、待定系数法求解圆的一般方程即可得出结论. 【详解】由题意知,AB的距离为，故A错误; 直线BC的方程为,即，故B正确； 以BC为直径的圆，圆心为，半径为, 所以圆的方程为, 即,故C正确; 设外接圆的方程为， 代入三点坐标得， ,解得 , 所以外接圆的方程为,故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（23-24高二·全国·假期作业）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 【答案】ACD 【详解】圆可化为.圆心坐标为适合方程. 正确，不适合错误，把代入圆的方程适合，正确，又， 正确.故选ACD. 11．（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】求得线段的中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线可求得圆心坐标，进而求得，可得圆方程. 【详解】由已知，，则其中点为，， 所以线段中垂线的斜率为，则线段中垂线的方程为， 所以圆心在上，又圆心在直线上， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·陕西·期中）过点，，三点的圆的标准方程为 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆过点，，三点， 所以①，②，③， 由①②得到④，由②③得到⑤， 由④⑤解得，代入①，得， 所以圆的标准方程为， 故答案为：. 13．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 14．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大． 【答案】 【分析】变换得到，得到，，得到答案. 【详解】 即， ，解得， 设圆的半径为r，则， 所以当时，，所以． 故答案为：． 15．（24-25高二·全国·课后作业）若圆和圆关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线l斜率，从而求得直线l的方程. 【详解】圆，圆心为，半径 圆，经整理为，其圆心为，半径； 故中点为， 而， 由对称性知， 即直线l的方程为. 故答案为： 16．（2023高三·全国·专题练习）用多种方法推导圆的标准方程：，圆心为，半径为r． 【答案】答案见解析 【分析】分别使用两点间距离法、勾股定理法和平移法三种方法推导； 【详解】方法一： 设圆上任意一点坐标为，则点到圆心的距离为， 根据两点间距离公式，即，得证； 方法二： 根据定义，到一个点距离等于定长的点的轨迹是圆， 设圆的半径为，点是圆上任意一点，    当圆心刚好与坐标原点重合时， 如图，过向轴和轴作垂线，连接，构成的三角形全是直角三角形， 由勾股定理可得，圆的方程为；    当圆心是时，向坐标轴作垂线和连接也能构成直角三角形， 此时圆的方程是； 方法三； 由法二可知，当圆心刚好与坐标原点重合时，圆的方程为， 当圆心是时，可由函数的平移看作是向右平移个单位长度， 并且向上平移个单位长度共同作用所得，故圆的方程为； 17．（22-23高二上·北京海淀·期中）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心为点； (2)经过点，且圆心在y轴上. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出即圆的半径，再根据圆心坐标，即可得到圆的方程； （2）利用待定系数法即可求解. 【详解】（1）圆的半径长为，圆心为点， 所以圆的方程为． （2）设所求圆的方程是， 因为点P，Q在所求圆上，依题意得 解得 所以所求圆的方程是. 18．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知圆经过两点，圆心在直线上. (1)求出这个圆的标准方程； (2)当点到直线的距离最大时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的圆心为，在直线上，将两点坐标代入方程解得答案. （2）直线过定点，当与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，圆的一般方程为，由方程可知， 由条件在直线上，两点在圆上， 联立方程组，解得， ，为所求的圆的标准方程. （2）直线化为，直线经过定点， 当与直线垂直时，距离最大， ，故直线斜率为，解得. 19．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知方程表示一个圆，那么 ①求t的取值范围；              ②求该圆半径r的取值范围. 【答案】(1) . (2) . 【分析】由圆的一般方程可知要满足圆只需，可求得，再由求得r范围． 【详解】由题意得，化简得， 解得，即. 所以，当时，，所以. 【点睛】圆的一般方程，化标准方程为（其中），圆心为，半径． 20．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【详解】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 圆的方程重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由圆心(或半径)求圆的方程 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 题型三 由标准方程确定圆心和半径 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六 求圆的一般方程 题型七 由圆的一般方程确定圆心和半径 拓展训练一 求圆的方程 拓展训练二 圆的方程互化及应用 知识点一：圆的一般方程 1.圆的标准方程与一般方程的互化 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,展开得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 可见任何一个圆的方程都可以写成以下形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0.① 将方程①的左边配方,得+=. (1)当D2+E2-4F>0时,方程①表示的是以为圆心，为半径的圆. (2)当D2+E2-4F=0时,方程①只有一个实数解,x=-,y=-,所以方程①表示一个点. (3)当D2+E2-4F<0时,方程①没有实数解,因此它不表示任何图形. 2.圆的一般方程 (1)定义:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D、E、F为常数),当D2+E2-4F>0时称为圆的一般方程. (2)圆心坐标和半径公式: 上述方程表示的圆中,圆心坐标为,半径 【知识剖析】 圆的一般方程的特点: （1）x2与y2的系数均为1; （2）没有xy项; （3）D2+E2-4F>0. 【即时训练】 1．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【经典例题一 由圆心(或半径)求圆的方程】 【例1】（23-24高二上·海南·期末）已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）求下列各圆的方程： (1)圆心为且过点； (2)圆心在直线上，且经过原点和点． 1．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 2．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）（1）过点且与直线平行，求直线的方程； （2）已知圆过点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【经典例题二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例1】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 1．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆的半径为，乙：该圆经过点，丙：该圆的圆心为，丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（多选题）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 m.    4．（24-25高二上·福建福州·期中）的三个顶点分别是. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【经典例题三 由标准方程确定圆心和半径】 【例1】（23-24高三上·海南·期末）已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为 ． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于直线对称的圆的方程． 1．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 2．(多选题)（24-25高二·全国·课后作业）设有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 3．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 . 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程. 【经典例题四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例1】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知，，则的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）已知圆的半径为3，求实数a的值． 1．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山东·期中）圆心在直线上，且经过圆与的交点的圆的标准方程是 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 【经典例题五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例1】（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）讨论方程（为任意实数）所表示的曲线． 1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 3．（23-24高二上·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 4．（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 【经典例题六 求圆的一般方程】 【例1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 1．（22-23高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 3．（2023高二上·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 4．（22-23高二上·全国·课后作业）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 【经典例题七 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．3 C．2 D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于点对称的圆的方程． 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 3．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为 . 4．（2024高三下·全国·专题练习）求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程. 【拓展训练一 求圆的方程】 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 1．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 【拓展训练二 圆的方程互化及应用】 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 2．（多选题）（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知直线与圆，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径是4 C．直线l与圆C一定相交 D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 3．（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 4．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0. (1)若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外； (2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为， 求圆C的方程. 1．（23-24高二上·贵州遵义·期末）设两圆，（圆心不重合）都与两坐标轴相切，且都过点，则两圆圆心的距离（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·四川·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 6．（多选题）（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 7．（多选题）（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 8．（多选题）（22-23高三上·海南儋州·开学考试）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 9．（多选题）（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 10．（多选题）（23-24高二·全国·假期作业）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 11．（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 12．（24-25高二上·陕西·期中）过点，，三点的圆的标准方程为 13．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 14．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大． 15．（24-25高二·全国·课后作业）若圆和圆关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 16．（2023高三·全国·专题练习）用多种方法推导圆的标准方程：，圆心为，半径为r． 17．（22-23高二上·北京海淀·期中）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心为点； (2)经过点，且圆心在y轴上. 18．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知圆经过两点，圆心在直线上. (1)求出这个圆的标准方程； (2)当点到直线的距离最大时，求的值. 19．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知方程表示一个圆，那么 ①求t的取值范围；              ②求该圆半径r的取值范围. 20．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$