1.2.1 课时2 圆的标准方程的综合应用课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.1 课时2 圆的标准方程的综合应用 1.掌握利用待定系数法、几何法求圆的标准方程. 2.掌握圆的一些简单的几何性质. 学习目标 例1 求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A(5，2)和B(3，-2)的圆的标准方程. 解:因为圆心在直线2x-y-3=0上，所以可设圆心坐标为(a，2a-3)， 则圆的方程可设为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2. 又因为圆过点A(5，2)和B(3，-2)， 所以，解得， 所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=10. 待定系数法 课题探究 若把本例中的条件“圆心在直线2x-y-3=0上”换成“圆心在直线x-y=0上”，其他条件不变[过点A(5，2)和B(3，-2)的圆]，求圆的标准方程. 解:因为圆心在直线x-y=0上，所以可设圆心坐标为(a，a)， 则圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2=r2. 又因为圆过点A(5，2)和B(3，-2)， 所以，解得， 所以所求圆的标准方程是(x-)2+(y-)2=. 课题探究 归纳总结 用待定系数法求圆的标准方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)根据已知条件建立关于a,b,r2的方程组. (3)解此方程组,求得a,b,r2的值. (4)将求得的值代回所设方程,即得所求的圆的标准方程. 课题探究 例2 求经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程． 解：AB中点坐标(3，3)，kAB＝＝， AB中垂线方程y－3＝－(x－3)，即3x＋2y－15＝0. 联立得方程组解得 即圆心C(7，－3)． r＝|AC|＝＝. ∴圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. 课题探究 归纳总结 ①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程． ②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径． ③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心． ④弦的垂直平分线经过圆心． 常见的几何条件与可以转化成的方程 课题探究 问题1　对于圆x2＋y2＝2，该圆上任意一点P(x，y)的x，与y应满足的条件是什么？ 问题2　对于圆x2＋y2＝2上的任意一点P(x，y)，关于原点的对称点(－x，－y)，关于x轴的对称点(x，－y)，关于y轴的对称点(－x，y)是否在该圆上？ 由题(-x) 2 + (-y) 2 =x2+y2＝2，所以关于原点的对称点(-x,-y)在圆上； 同理关于x轴的对称点(x,-y)，关于y轴的对称点(-x,y)也在在该圆上. 课题探究 (1)范围：|x|≤r，|y|≤r， (2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形. 归纳总结 圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 课题探究 例3 若圆(x－1)2＋(y－1)2＝3关于直线y＝kx＋3对称，求k的值. 解：∵圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴， ∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3， ∴k＝－2. 课题探究 例4 已知点P(x，y)为圆x2+y2＝1上的动点，求x2-4y的最小值. 解：∵点P(x，y)为圆x2+y2＝1上的动点， ∴x2-4y＝1-y2-4y＝-(y+2)2+5. 由y∈[-1,1]， ∴当y＝1时，-(y+2)2+5有最小值-4. 课题探究 1.过三点A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圆的方程为 . 2.已知直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，则直线l的方程是___________. (x－2)2＋(y－1)2＝25 x－y＋3＝0 当堂检测 3.直角三角形ABC的顶点A(-2,0),直角顶点B(0,-2),顶点C在x轴上,圆M是三角形ABC的外接圆,求圆M的标准方程. 解：方法一　∵圆心在y轴上，∴可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2. ∵该圆经过两点A，B，∴∴ ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10. 方法二　线段AB的中点为(1，3)，AB的斜率k＝＝－， ∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 由知圆心坐标为(0，1)． 则半径r＝＝，∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10. 当堂检测 根据今天所学，回答下列问题： 1.求圆的标准方程的方法有哪些？ 2.圆x2+y2＝r2的简单几何性质有哪些？ 课后小结 $$