第一章 直线与圆重难点检测卷 -2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

第一章 直线与圆重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 3．（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西运城·期中）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高二上·湖北·阶段练习）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 10．（24-25高二上·广东东莞·期中）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高三·全国·专题练习）已知点轴，，则周长的最小值为 ． 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知点和为直线上的动点，则的最小值为 . 14．（2025·重庆·一模）已知圆分别是上的动点，则的最大值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知直线的一个方向向量为，且经过点，求直线的方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线和，定点 (1)若直线恰好为的角平分线BD所在的直线，直线是中线CM所在的直线，求的边BC所在直线的方程： (2)若直线l过点A与直线在第一象限交于点P，与x正半轴交于点Q，求当的面积最小时直线I的方程 17．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 19．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆与圆相外切，且圆心与圆心关于点对称． (1)求圆的标准方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与圆重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】则，求出的值，再设直线的倾斜角为 ，则， 求出，即可求解． 【详解】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 【答案】D 【分析】时，直线的斜率不存在，可判断A；求出直线所过定点的坐标，可判断B； 根据两直线平行的充要条件求出实数的值，可判断C；根据两直线垂直的充要条件求出的值，可判断D. 【详解】对于A，当时，，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，， 当，可得， 所以直线过定点，故B错误； 对于C选项，当时，或， 解得，故C错误； 对于D选项，当时，，解得或，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【详解】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案. 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故选：B. 5．（23-24高二上·山西运城·期中）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项. 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 7．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 8．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】根据直线垂直的判定说明，结合两直线所过的定点确定的轨迹，进而求面积的最大值. 【详解】由，即， 由过定点，过定点， 所以在以为直径的圆上，且，要使面积最大，离最远即可， 故面积的最大值是. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高二上·湖北·阶段练习）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； 对于C，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·广东东莞·期中）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果. 【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC 11．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高三·全国·专题练习）已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连接，交直线于点，交轴于点，则的周长的最小值等于. 【详解】如图，    设点关于直线的对称点为． 点关于轴的对称点为． 连接，交于点，交轴于点， 显然，，且四点共线， 故此时周长的最小值为． 故答案为： 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知点和为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，数形结合，利用三角形两边之和大于第三边与两点距离公式即可得解. 【详解】因为点和，直线为， 而，所以点A与在直线的同侧， 易知点关于，即的对称点为， 所以， 当点为和直线交点时，即三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（2025·重庆·一模）已知圆分别是上的动点，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】先求出圆心及半径，再根据求出距离的最大值. 【详解】圆，圆心，， 圆，圆心，， 因为分别是上的动点， 则的最大值为. 故答案为：10. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知直线的一个方向向量为，且经过点，求直线的方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1）；（2）或； 【分析】（1）利用点斜式由直线的方向向量和所过点求解即可； （2）当斜率为零时，直接求出即可；当斜率不为零时设直线方程为，代入点求解即可； 【详解】（1）因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 又经过点， 所以直线方程为：，即； （2）当截距为零时，直线方程为， 当截距不为零时，可设直线方程为， 由直线过点，所以，所以直线方程为， 综上过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或. 16．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线和，定点 (1)若直线恰好为的角平分线BD所在的直线，直线是中线CM所在的直线，求的边BC所在直线的方程： (2)若直线l过点A与直线在第一象限交于点P，与x正半轴交于点Q，求当的面积最小时直线I的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出关于直线的对称点，设，表达出的中点，代入直线方程求出，结合点在直线BC上，所以的方程即为BC方程，求出答案； （2）考虑直线l的斜率不存在和存在两种情况，表达出的面积，求出最值，得到答案. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直， ，解得， 故 设点，则的中点， 把点B、点M分别代入直线，得， ，解得，故， 因为是角B的平分线，所以点在直线BC上， 所以的方程即为BC方程：； （2）①直线l的斜率不存在时，，，，此时， ②当直线l的斜率存在时，显然斜率不为0（此时与x无交点）， 设，则联立直线l与直线得， ，解得， 故， 中，令得， 故， 故， 由点P在第一象限、点Q在x轴的正半轴，故， 解得：或， 所以， 综合①②可知：的最小值为1，此时 17．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析； (2)． 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【详解】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 19．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆与圆相外切，且圆心与圆心关于点对称． (1)求圆的标准方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出圆心关于点的对称点得到圆心坐标，再由两圆外切，列出方程，求出半径，得到圆的标准方程； （2）考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出切线方程. 【详解】（1）圆的圆心为，设，因为圆心与圆心关于点对称， 所以解得 所以圆的圆心坐标为． 设圆的半径为，因为圆与圆相外切， 所以，解得， 所以圆的标准方程为． （2）当切线斜率不存在时，， 此时圆心到的距离为3，故满足相切关系； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 故切线方程为，即． 所以切线方程为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$