第13讲 三角函数的诱导公式及恒等变化学案-2026年广东春季高考数学复习

第13讲 三角函数的诱导公式及恒等变化 考向一 诱导公式化简 【例1-1】化简： ． 【例1-2】化简 （    ） A． B． C． D． 【变式】 1．化简： ． 2．化简：的值为（    ） A． B． C． D． 3．化简：（    ） A． B． C． D． 4．化简 . 考向二 诱导公式化简求值 【例2-1】=（ ） A． B． C． D． 【例2-2】．（   ） A． B． C．0 D． 【变式】 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 考向三 诱导公式与三角函数定义、同角三角公式综合 【例3-1】．已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【变式】 1．已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 4．（1）化简：； （2）已知，求的值． 考向四 两角和差公式 【例4-1】（    ） A． B． C． D．1 【例4-2】的值为（ ） A． B． C． D． 【例4-3】（   ） A． B． C． D． 【例4-4】（    ） A． B． C． D． 【例4-5】已知是第二象限角，且，则的值是 A． B． C． D． 【例4-6】的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式】 1．（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（   ） A． B．1 C． D． 6．的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，是第三象限角，则=（    ） A． B． C． D． 考向五 二倍角公式 【例5-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例5-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例5-3】已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【例5-4】（   ） A． B． C． D． 【例5-5】（    ） A． B． C． D． 【例5-6】（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．的值是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 6．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 考向六 辅助角公式 【例6】将下列式子化成+B或Acos（wx+σ）+b的形式 (1) (2) （3） （4） 【变式】 1.将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 （1）f(x)＝sinx＋cos(＋x) （2） （3） （4） 2,将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 (1) （2） （3） （4） （5） （6） 题组一 诱导公式化简 1． . 2．求值：= 3．化简：= 5.化简= 题组二 诱导公式化简求值 1．（   ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．的值为（ ） A． B． C． D． 5．（   ） A． B． C． D． 6．化简 ． 7．求值： ． 8．求下列三角函数值． (1)；(2)；(3)；(4)． 题组三 诱导公式与三角函数定义、同角三角公式综合 1．已知，且是第二象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 6．已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 7．已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（ ） A． B． C． D．2 9．已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 10．若的终边不在轴上，且，则 ． 11．已知，且，则的值为 . 12．已知角终边上一点，则 ． 13．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 题组四 两角和差公式 1．（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．（   ） A． B． C． D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．（    ） A． B． C． D． 8．（    ） A． B． C． D．1 9．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 10．已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 题组五 二倍角公式 1．= A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（   ） A．1 B． C． D． 6．有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知，则 ． 8．若，，则 . 9．利用二倍角公式求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 题组六 辅助角公式 1．求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 2．的值为（    ） A． B． C． D． 3． ． 4．求值= 5．利用的形式计算： . 6.将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 （1） （2） （3） （4） （5）． （6） 2.把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 三角函数的诱导公式及恒等变化 考向一 诱导公式化简 【例1-1】化简： ． 【答案】 【解析】.故答案为： 【例1-2】化简 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，故选：B. 【变式】 1．化简： ． 【答案】 【解析】.故答案为：. 2．化简：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式＝＝＝＝－1．故选：B. 3．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,故选：D 4．化简 . 【答案】 【解析】. 故答案为： 考向二 诱导公式化简求值 【例2-1】=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 【例2-2】．（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】.故选: C. 【变式】 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,故选：A. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】．故选：D． 考向三 诱导公式与三角函数定义、同角三角公式综合 【例3-1】．已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，且是第一象限角，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【例3-2】已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由题意有，所以，故选：D. 【变式】 1．已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，则， 对于A， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 所以，， 根据诱导公式可知， 所以. 故选：C. 3．已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为：. 4．（1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）原式; （2） 原式. （3） 考向四 两角和差公式 【例4-1】（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】，故选：A. 【例4-2】的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B． 【例4-3】（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 【例4-4】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A 【例4-5】已知是第二象限角，且，则的值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且是第二象限角,所以, 所以，故选A． 【例4-6】的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】故选：B. 【变式】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 4．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边经过点，则，. 所以.故选：B 5．（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 6．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 7．已知，是第三象限角，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，可得 由是第三象限角，可得 则 故选：A 考向五 二倍角公式 【例5-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以．故选：A． 【例5-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，故选：D． 【例5-3】已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边过点，所以，， 所以.故选：C 【例5-4】（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知. 故选：A 【例5-5】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解析因为，所以.故选：C 【例5-6】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】故选：A. 【变式】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由二倍角的余弦公式可得.故选：D. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故选：A. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故．故选：D. 4．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 5．在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数且的图象恒过定点，所以； 因为角的终边过点，所以，所以.故选：C 6．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确. 故选：D 考向六 辅助角公式 【例6】将下列式子化成+B或Acos（wx+σ）+b的形式 (1) (2) （3） （4） 【答案】见解析 【解析】（1）， （2） （3） . 故答案为：. （4） 【变式】 1.将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 （1）f(x)＝sinx＋cos(＋x) （2） （3） （4） 【答案】见解析 【解析】（1）f(x)＝sinx＋coscosx－sinsinx＝sinx＋cosx＝sin(x＋). （2）， （3）， （4）， 2,将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 (1) （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】见解析 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 题组一 诱导公式化简 1． . 【答案】 【解析】原式. 故答案为：. 2．求值：． 【答案】1 【解析】因为， ， ， ，． 所以原式． 3．化简：． 【答案】 【解析】 4．化简： (1)；(2). 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）. （2）. 5.化简= 【答案】 【解析】由题意，利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式， 可得. 题组二 诱导公式化简求值 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，故选：D 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 4．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角函数的诱导公式，可得.故选：B. 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 6．化简 ． 【答案】/ 【解析】因为， ， ， 所以. 故答案为：. 7．求值： ． 【答案】 【解析】原式 ． 故答案为： 8．求下列三角函数值． (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)1(4) 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 题组三 诱导公式与三角函数定义、同角三角公式综合 1．已知，且是第二象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且是第二象限角，故，故，故选：A. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由诱导公式得故选：D 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故选：B. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，则，所以.故选：D 5．若，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即， 且是第三象限角，则， 所以. 故选：B. 6．已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C 7．已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 8．已知，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D 9．已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】因为的终边上有一点，所以，， 所以， 故选：C. 10．若的终边不在轴上，且，则 ． 【答案】/ 【解析】由已知结合诱导公式得， 又，将代入解得，， 所以， 故答案为： 11．已知，且，则的值为 . 【答案】 【解析】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 12．已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【解析】由题设，，则， . 故答案为： 13．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， ∴，∴. （2） . 题组四 两角和差公式 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由. 故选：C. 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选：A. 7．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D. 8．（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】.故选：A 9．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由于，，故， ， 故选：C 10．已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且是第三象限角，所以， 则， 故选：D 题组五 二倍角公式 1．= A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意.故选：A 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 易知是方程的根， 且方程的两根分别为，. 因为当时，，所以. 故选：C. 3．已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 又为第四象限角，，. 故选：C. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 5．（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 6．有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】，①正确； ，②正确； 因为， 所以，③正确. 故选：D. 7．已知，则 ． 【答案】/ 【解析】由， 得. 故答案为： 8．若，，则 . 【答案】 【解析】∵， ∴或， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. 故答案为：. 9．利用二倍角公式求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）. （2）. （3） （4） 题组六 辅助角公式 1．求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 ， 故选： 2．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故选：B． 3． ． 【答案】/ 【解析】原式． 故答案为：． 4．求值= 【答案】. 【解析】． 5．利用的形式计算： . 【答案】 【解析】因为，所以 故答案为：. 6.将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 （1） （2） （3） （4） （5）． （6） 【答案】见解析 【解析】（1） （2（2） （3）.故答案为： （4），其中， （5）原式 （6）， 2.把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3)且 (4)且 (5) (6) (7) 【解析】（1）因为，所以. （2）. （3）因为，所以， 其中满足，. （4）因为，所以， 其中满足，. （5），即. （6） . （7） . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$