第12讲 三角函数的定义及同角三角函数学案-2026年广东春季高考数学复习

第12讲 三角函数的定义及同角三角函数 考向一 任意角的定义 【例1-1】．下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 【答案】D 【解析】为第一象限角，显然不是锐角，A错误； 为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误； 与的终边相同，C错误； 两角相等终边相同，D正确. 故选：D 【例1-2】下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 【答案】D 【解析】A选项：终边与始边重合的角为，故A错； B选项：终边和始边都相同的两个角可能相差的整数倍，故B错误； C选项：小于的角可能是，还可能是负角，所以C错误； D选项：集合内的角包含直角，所以不一定是钝角，D正确； 故选：D 【变式】 1．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 2．已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确； 对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误. 故选：B 3．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又分针走过了10分钟， 走过的角度大小为， 综上，分针走过的角度是． 故选：D． 4．下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【解析】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误； 选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误. 故选：A 考向二 角度与弧度的转化 【例2】把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 【变式】 1．把下列各角的弧度化成度： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 2.把下列各角从度化为弧度： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 考向三 终边相同的角 【例3-1】下列角中，与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以与终边相同的角是. 故选：B. 【例3-2】下列各角中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， ，. ， 所以与角终边相同的角是. 故选：A. 【例3-3】已知角，角的终边与角的终边关于轴对称，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角，角的终边与角的终边关于轴对称， 则， 所以，的可能取值为. 故选：D. 【例3-4】下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，而与终边相同的角可表示为， 对于A，因，不是的整倍数，故A错误； 对于B，因，不是的整倍数，故B错误； 对于C，因，不是的整倍数，故C错误； 对于D，因，是的整倍数，故D正确. 故选：D. 【例3-5】用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 【变式】 1．与终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：A 2．下列与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与角终边相同的角为，即， 对于A：，不是的整数倍，故A错误； 对于B：，不是的整数倍，故B错误； 对于C：，不是的整数倍，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 3．下列角中与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与终边相同的角是，， 当时，，当时，． 结合选项可知只有与终边相同． 故选：B． 4．与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,所以角与角的终边相同, 所以与角终边相同的角的集合是. 故选：C 5．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知角度制与弧度制在同一个式子当中不能混用，即AB错误； 又与终边位置相同，可表示为， 也可表示为，还可以表示为，即C正确，D错误. 故选：C 6．与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以与终边相同的角是，且是第一象限角， 而，，分别是第三象限角，第四象限角，第二象限角，因此C是，ABD都不是. 故选：C 考向四 角所在象限的判断 【例4-1】的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 【例4-2】角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，所以角的终边在第三象限. 故选：C. 【变式】 1．为钝角是为第二象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若为钝角，则，则为第二象限角； 反之，若为第二象限角，例如，则不为钝角. 所以为钝角是为第二象限角的充分不必要条件. 故选：A. 2．的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为所以的终边与的终边相同，而的终边在第四象限， 所以的终边在第四象限，故选：D. 3．是第 象限的角． 【答案】一 【解析】由，即与的终边相同，故为第一象限角. 故答案为：一 4．4弧度是第 象限角． 【答案】三 【解析】，故4弧度角是第三象限角．故答案为：三 考向五 扇形的弧长与面积 【例5-1】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为. 故选：D 【例5-2】已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（   ） A．75 B．150 C．200 D．400 【答案】C 【解析】设该扇形的弧长、半径分别为l，r，则，解得， 所以该扇形的面积为. 故选：C 【例5-3】已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 【例5-4】已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【解析】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应.故选：A 【变式】 1．已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该扇形的弧长为．故选：. 2．已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】设扇形的半径为，，所以，所以， 所以该扇形的面积． 故选：B． 3．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则， 又扇形的圆心角为，由弧长公式得， ，解得，， 该扇形的面积为. 故选：. 4．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【解析】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D 5．已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积，即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 考向六 三角函数的定义 【例6-1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有， 所以. 故选：A. 【例6-2】在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则， 故选：B． 【例6-3】在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由角终边经过点，可知，且为第四象限角，故选：B 【例6-4】已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由余弦函数定义可得，所以，解得. 故选：D 【例6-5】已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可得，得或， 因角的终边在第二象限，则. 故选：A 【变式】 1．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，所以.故选：D. 2．已知点是角终边上的点，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】依题意，.故选：B 3．已知角终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三角函数定义，横坐标即，纵坐标即，故有，． 故选：D． 4．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 5．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得，故选：B. 考向七 同角三角函数公式 【例7-1】已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 【例7-2】已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 【例7-3】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 【变式】 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 ， 又因为，所以 .故选：. 2．已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为第四象限角，且，所以，且. 所以.故选：D 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，故，，故选：D 4．已知，则（   ） A． B．2 C．2或 D．不确定 【答案】B 【解析】方法一：因为且，所以， 整理得，所以，所以，所以，所以． 方法二：因为， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以．故答案为：2 考向八 弦的齐次 【例8-1】已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据题意，，且， 则. 故选：C. 【例8-2】若，则 ， ． 【答案】 / /0.3 【解析】； . 故答案为：；. 【变式】 1．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．5 【答案】B 【解析】因为，所以可知， 所以将的分子分母同时除以得到 ， 将代入上式可得. 故选：B 2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵角的终边经过点，∴， ∴ 故选：D. 3．已知，则 ， ． 【答案】 3 / 【解析】解法一：因为，所以； ． 解法二：因为，所以角的终边在第一、三象限， 在第一象限时，不妨设为锐角，则直角三角形的两直角边长分别为1，2， 则斜边长为，所以，有， ． 同理在第三象限时，，，有， ． 综上，． 故答案为：3； 4．已知，求的值． 【答案】 【解析】原式． 考向九 弦的加减乘 【例9-1】已知，则 ． 【答案】 【解析】由， 平方可得， 所以. 故答案为：. 【例9-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 【例9-3】已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，①， 则，又， 所以， 所以， 因为为锐角，所以，所以②， 由①和②联立可解得， 所以. 故选：B. 【变式】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，可得， 所以． 故选：C． 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，又，所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，解得， 由，得，则，于是， 解得，所以. 故选：C 4．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，解得， 对于A，，则，，A正确； 对于D，，D正确； 对于B，由，，得，B错误； 对于C，，C正确.故选：B 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故， 即，得， 则，且，所以， 所以，则， 故，故选：B 题组一 任意角的定义 1．已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 【答案】D 【解析】因为A={| 为锐角}， D={|为小于的正角}， 对于集合，小于的角包括零角与负角， 对于集合，C={|为第一象限角}， 所以A=D， 故选：D 2．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【解析】由题意可得，设，则， 解得，所以射线绕端点顺时针旋转，故选：B 3．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；    ②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误， 对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误， 对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误， 对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，所以真命题的个数是1，故选：A 4．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了 度，时针转了 度． 【答案】 30 2.5 【解析】将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角． 这时，分针转过的角度是：；时针转过的角度是：． 故答案为：30，2.5 5．下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角；⑤角与的终边关于x轴对称． 【答案】②⑤ 【解析】锐角是第一象限角，但第一象限的角不一定是锐角， 如是第一象限角，但不是锐角，故①错误，②正确； 第二象限角不一定是钝角，例如，故③错误； 小于的角不一定是锐角，如，故④错误； 由角的定义可知，与的终边关于x轴对称，⑤正确. 故答案为：②⑤． 题组二 角度与弧度的转化 1．化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,故选：B. 2．将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 3．把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 4．将化为弧度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 5．将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C. 6．将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 题组三 终边相同的角 1．与角终边相同的角是（    ） A．25° B．113° C． D．225° 【答案】C 【解析】因为，所以角与角终边相同故选：C. 2．下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与角终边相同的角的集合为,取，，其他均不符合， 故选：B 3．下列各角中，与2025°角终边相同的是（   ） A．225° B． C．45° D． 【答案】A 【解析】因，即与的终边相同. 对于A，由上分析可得，故A正确； 对于B，因不是的整倍数，故B错误； 对于C，因不是的整倍数，故C错误； 对于D，因不是的整倍数，故D错误. 故选：A. 4．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A项，因不是的整倍数，故A项错误； 对于B项，因不是的整倍数，故B项错误； 对于C项，因，故C项正确； 对于D项，因不是的整倍数，故D项错误. 故选：C. 5．下列各角中，与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与终边相同的角可表示为：， 对A，，解得：，故A错； 对B，，解得：，故B对； 对C，，解得：，故C错； 对D，，解得：，故D错. 故选：B 6．与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故与终边相同的角可表示为：， 对A， ，解得：，故A错； 对B，，解得：，故B错； 对C，，解得：，故C对； 对D，，解得：，故D错.故选：C. 7．下列终边相同的角是（    ） A．与， B．与， C．与， D．与， 【答案】D 【解析】A：时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误； B：当时，因为表示终边在所在直线上的角；表示终边在所在直线上的角以及x轴上的角，故B错误； C：当时，表示终边在这条直线上的角，表示终边为相同的角，故C错误； D：表示终边在x轴负半轴上的角，表示终边在x轴负半轴上的角，故D正确； 故选：D． 题组四 角所在象限的判断 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，所以的终边在第四象限.故选：D 2．已知角，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为,所以角与角终边相同， 又因为所以角在第三象限.故选：C. 3．已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】角，而，所以的终边在第二象限.故选：B 4．已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，故的终边在第四象限.故选：D. 5．角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【答案】D 【解析】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角，故选：D. 6．角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】，所以与终边相同，所以终边在第一象限. 故选：A. 7．顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为的角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】∵，∴的角的终边落在第二象限.故选：B. 8．“”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则一定是第一象限角，充分性成立； 若是第一象限角，则， 无法得到一定属于，必要性不成立. 所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件. 故选：A 题组五 扇形的弧长与面积 1．一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为.故选：D 2．已知某扇形工艺品的周长为150，圆心角为3，则该扇形工艺品的半径为（   ） A．20 B．24 C．30 D．35 【答案】C 【解析】设该扇形工艺品的弧长和半径分别为，由题易得，所以，解得． 故选：C． 3．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】圆心角为，即圆心角为， 又扇形的弧长为，所以，解得该扇形的半径， 故选：C 4．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇形的圆心角和弧长分别为，由得， 所以该扇形的面积为.故选：B. 5．已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，则， 所以扇形的面积为. 故选：A. 6．在扇形中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由扇形面积公式及已知，扇形面积. 故选：B 7．折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B 8．某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设扇形的弧长为，半径为，则， 所以，当且仅当时，有最大值400.故选：C. 9．若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 . 【答案】225 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为： ， 当时，取得最大值，最大值为，所以扇形面积的最大值为. 故答案为：225. 题组六 三角函数的定义 1．角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点， 则,. 所以 故选：D 2．已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得：，解得：. 故选：D. 3．已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边经过点，所以.故选：B 4．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，因为角的终边过点，∴.故选：D. 5．已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 【解析】依题意，，解得. 故选：A 6．已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【解析】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D 6．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【解析】由三角函数定义可得，解得，所以的值为或. 故选：D. 7．已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 8．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且， 所以，化简得，因为，所以.故选：B 题组七 同角三角函数公式 1．已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为第三象限角，且，所以，且.所以.故选：B. 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 3．若，且θ为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且θ为第二象限角， 所以. 故选：A 4．已知是第二象限角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，移项可得. 根据三角函数平方关系，将代入可得： ，可得，得. 因为是第二象限角，，所以. 故选：D. 5．若为第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为第四象限角，且， 所以. 故选：A 6．若是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得：， 代入可得， 解得或 是第三象限角，，， ， 故选：B 题组八 弦的齐次 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由.故选：C 2．在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，而，解得，因此， 所以. 故选：D 3．已知，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以. 故选：D. 4．已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C 5．已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】D 【解析】由题可得，则，解得或． 故选：D. 6．已知，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】， 化简整理得， 解得或， 又，则. 故选：A 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，， 则， 故选：A． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以. 故选：D. 10．已知，那么（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，解得. 故选：B. 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为， 分子分母同时除以得：， 代入计算得：. 故选：D. 12．已知，则 ． 【答案】/ 【解析】由已知可知. 则. 代入可得， . 故答案为：. 题组九 弦的加减乘 1．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，两边平方可得， 即， 又，所以，且 解得：. 故选： 2．已知，，则下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由平方，得，即，∴，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：C. 3．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，① ∴，即， ∴． ∵，且，∴，， ∴，②． ①②变形得， ∴． 故选：A． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 故，又， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：C. 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，有，得， . 故选：D 6．已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，两边平方后集合， 可得，则， 解得， 原式 ． 故答案为：. 7．若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 8．若，，则 . 【答案】 【解析】由题意，，① 所以，即， 则． 因为，且，所以，， 所以，② 由①②变形得， 所以． 故答案为：. 9．若，则 ． 【答案】 【解析】由，则， . 故答案为： 10．已知，，则 ． 【答案】 【解析】将两边平方可得. 则， . 将 因为，在这个区间内，，所以. 可得. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 三角函数的定义及同角三角函数 考向一 任意角的定义 【例1-1】．下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 【例1-2】下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 【变式】 1．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 3．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 考向二 角度与弧度的转化 【例2】把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【变式】 1．把下列各角的弧度化成度： (1)；(2)；(3)；(4)． 2.把下列各角从度化为弧度： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 考向三 终边相同的角 【例3-1】下列角中，与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】下列各角中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】已知角，角的终边与角的终边关于轴对称，则可能为（   ） A． B． C． D． 【例3-4】下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【例3-5】用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．与终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 2．下列与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 3．下列角中与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 4．与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 5．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 考向四 角所在象限的判断 【例4-1】的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4-2】角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】 1．为钝角是为第二象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．是第 象限的角． 4．4弧度是第 象限角． 考向五 扇形的弧长与面积 【例5-1】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（   ） A．75 B．150 C．200 D．400 【例5-3】已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【例5-4】已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【变式】 1．已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 3．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 5．已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 考向六 三角函数的定义 【例6-1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【例6-3】在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【例6-4】已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【例6-5】已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式】 1．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知点是角终边上的点，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知角终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 5．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 考向七 同角三角函数公式 【例7-1】已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【例7-2】已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【例7-3】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B．2 C．2或 D．不确定 考向八 弦的齐次 【例8-1】已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【例8-2】若，则 ， ． 【变式】 1．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．5 2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A．4 B． C． D． 3．已知，则 ， ． 4．已知，求的值 ． 考向九 弦的加减乘 【例9-1】已知，则 ． 【例9-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例9-3】已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题组一 任意角的定义 1．已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 2．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 3．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；    ②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了 度，时针转了 度． 5．下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角；⑤角与的终边关于x轴对称． 题组二 角度与弧度的转化 1．化为弧度是（    ） A． B． C． D． 2．将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 4．将化为弧度是（   ） A． B． C． D． 5．将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 6．将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 题组三 终边相同的角 1．与角终边相同的角是（    ） A．25° B．113° C． D．225° 2．下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 3．下列各角中，与2025°角终边相同的是（   ） A．225° B． C．45° D． 4．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 5．下列各角中，与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 6．与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 7．下列终边相同的角是（    ） A．与， B．与， C．与， D．与， 题组四 角所在象限的判断 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知角，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 6．角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为的角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．“”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题组五 扇形的弧长与面积 1．一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．已知某扇形工艺品的周长为150，圆心角为3，则该扇形工艺品的半径为（   ） A．20 B．24 C．30 D．35 3．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 4．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 6．在扇形中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 7．折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 8．某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 . 题组六 三角函数的定义 1．角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 2．已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 3．已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 6．已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 6．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 7．已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 8．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 题组七 同角三角函数公式 1．已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 3．若，且θ为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知是第二象限角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若为第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 6．若是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 题组八 弦的齐次 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C．8 D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 5．已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 6．已知，则（   ） A． B． C． D．或 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，那么（   ）. A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则 ． 题组九 弦的加减乘 1．若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 3．若，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则 ． 7．若，且，则的值为 ． 8．若，，则 . 9．若，则 ． 10．已知，，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$