第11讲 概率学案-《逐一突破》2026年广东春季高考数学复习资料

第11讲 概率 考向一 辨析事件类型 【例1-1】下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【例1-2】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式】 1．下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 3．下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 考向二 事件的关系及运算 【例2-1】打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【例2-2】．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 5．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与互为对立 考向三 古典概型 【例3-1】现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【例3-3】某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中实数a的值； (2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； (3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 【变式】 1．抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（    ） A． B． C． D． 2．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数大于3”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 4．从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)若采用按比例分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内的概率． 6．康百万庄园，又名河洛康家，位于河南省郑州市巩义市康店镇庄园路59号，始建于明朝中叶，明末清初初具规模.康百万庄园是十七、十八世纪华北黄土高原封建堡垒式建筑的代表，被誉为“豫商精神家园”、“中原古建典范”，建筑面积64300平方米.庄园背依邙山，面临洛水，因而有“金龟探水”的美称，是全国三大庄园（康百万庄园、刘氏庄园、牟氏庄园）之一，与山西晋中乔家大院、河南安阳马氏庄园并称“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百万庄园被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．2005年，康百万庄园被授予国家AAAA级旅游景区．近年来康百万庄园成为越来越多人旅游之地，现为更好地提升旅游品质，庄园风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100名游客对景区满意度评分的平均数；（以区间中点值作为代表） (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；（保留两位小数） (3)庄园景区的工作人员采用分层抽样的方法从评分在、的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率， 考向四 互斥与对立事件的辨析 【例4-1】一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【例4-2】从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【变式】 1．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 2．某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 3．某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 4．一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 考向五 概率的性质 【例5-1】已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 【例5-2】在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【变式】 1．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 2．已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为互斥事件，且，则 . 4．若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 5．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 考向六 独立事件与互斥事件的辨析 【例6-1】抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【例6-2】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【变式】 1．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 3．不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D． 4．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 考向七 独立事件的乘法法则 【例7-1】唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【变式】 1．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 2．2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相同为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立． (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率． 4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 题组一 辨析事件类型 1．下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 2．以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 3．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 4．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题组二 事件的关系及运算 1．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至少有1个红球 C．至多有1个红球 D．1个红球，1个白球 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为1”，事件“向上的点数为5”，事件“向上的点数为1或5”，则有（    ） A． B． C． D． 4．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（    ） A． B． C． D． 5．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品. 并给出以下结论： ①；②是必然事件；③；④. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 题组三 古典概型 1．某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是 ． 4．从1，2，3，5这四个数中随机取出2个不同数，则它们差的绝对值为质数的概率为 ． 5．庐江县某中学高一年级有1500名学生参加学期阶段调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1500名学生的数学平均分（保留到整数）； (2)已知样本中成绩在内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率． 6．某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 7．为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响，某科研机构对100架某型号的无人机设置不同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这些无人机的正常飞行时长（单位：分）均分布在区间内，现将这100个飞行时长数据按分成6组并整理，得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机的相关参数，若某架无人机的正常飞行时长为42分钟，判断该无人机能否被检测到； (3)若该科研机构从正常飞行时长在内的无人机中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6架，再从这6架中随机抽取2架做进一步研究，求在和内各抽取一架的概率． 8．当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 9．某校高一年级学生参加了“同心筑梦，爱我中华”知识竞赛，学生知识竞赛成绩均在内（单位：分），现从这些学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，按照，…，分成4组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计全体参赛学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)规定成绩较高的前20%的学生获奖，请根据频率分布直方图估计获奖学生的最低分数线（保留到整数）； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的成绩之差的绝对值大于20的概率． 10．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.    (1)求图中的值； (2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 11．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 题组四 互斥与对立事件的辨析 1．从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 2．某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（   ） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 3．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（    ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 4．现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 5．某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（   ） A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生 6．某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（   ） A．“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B．“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C．“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D．“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 7．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，C为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．A，D为互斥事件 D．C，D为对立事件 8．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件B．B与C是对立事件C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 9．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 10．某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 11．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 12．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 题组五 概率的性质 1．已知事件互斥，它们都不发生的概率是，且，则 ． 2．已知事件与事件为互斥事件，且，，则 ． 3．已知事件A的对立事件为，，．若，则 ， 4．已知事件A与事件B互斥，若，则 5．已知随机事件和互斥，和对立，且，则 ． 题组六 独立事件与互斥事件的辨析 1．有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 2．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 3．已知事件，满足，，则（    ） A．若，则 B．若与相互独立则 C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则 4．若，，则关于事件A与B的关系正确的是（   ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 5．一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 6．投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 7．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 题组七 独立事件的乘法法则 1．甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，那么两人中恰有一人合格的概率是 ． 2．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，任意两次射击相互独立．现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率是 ． 3．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为 . 4．科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 5．为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 6．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 7．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 8．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率： (1)第一轮射击中恰好有一人中靶； (2)经过两轮射击，两人共中靶3次 9．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率. 10．某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 11．某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 12．甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． (1)若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (2)若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； (3)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 概率 考向一 辨析事件类型 【例1-1】下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【解析】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象；选项B，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是为不可能事件；选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象；选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 【例1-2】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 【变式】 1．下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 2．下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【解析】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 3．下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【解析】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 考向二 事件的关系及运算 【例2-1】打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【解析】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 【例2-2】．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 【例2-3】对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 【变式】 1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 2．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【解析】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 4．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【答案】C 【解析】由题意可知，，，，， 所以，，2，， 则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确． 故选：C． 5．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与互为对立 【答案】B 【解析】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确； 事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确； 事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确； 事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确. 故选：B 考向三 古典概型 【例3-1】现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记男性应聘者分别为，女性应聘者分别为， 从这5人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中2人性别不同的情况有，，，，，，共6种，故所求概率． 故选：C 【例3-2】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 【例3-3】某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中实数a的值； (2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； (3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 【答案】(1) (2) (3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ） 【解析】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 可得，解得. （2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为， 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人. （3）解：成绩来自的学生人数为人，记为， 成绩来自的学生人数为人呢，记为， 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点， 设“两名学生数学成绩至多有一名及格”， 则，其中含了9个样本点， 所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率. 【变式】 1．抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子有种情况， 则两个点数相等的情况有6种， 所以两个点数相等的概率为. 故选：A. 2．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数大于3”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛掷一枚骰子，共有6种可能出现的结果，正面向上的点数大于3的结果有3种， 因此出现“正面向上的点数大于3”的概率为. 故选：B. 3．从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为， 所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为， 偏文科的人数为，设为， 故随机抽取3人，一共有以下情况， ， ， ，共20种情况， 其中至少有2人偏理科的情况为 ， ， 共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是. 故选：D 4．从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】将两名男生编号为，两名女生编号为，记“抽到的两人都是男生”为事件， 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： ， 共16个样本点， 抽到的两人都是男生的样本点为有4个样本点， 所以； 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： ，共12个样本点， 抽到的两人都是男生的样本点为有2个样本点， 所以； 故选：A. 5．宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)若采用按比例分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由频率分布直方图可知，（频率分布直方图中各小矩形面积和为1），解得； （2）因为评分在，的频率分别为0.05，0.1，所以在中抽取（人），设为a， 在中抽取（人），设为B，C． 记事件A表示从这3人中随机抽取2人进行交流，选取的2人评分分别在和内． 从这3人中随机抽取2人，则有，，，共3个样本点， 选取的2人评分分别在和内的有，，共2个样本点， 所以， 即选取的2人评分分别在和内的概率为. 6．康百万庄园，又名河洛康家，位于河南省郑州市巩义市康店镇庄园路59号，始建于明朝中叶，明末清初初具规模.康百万庄园是十七、十八世纪华北黄土高原封建堡垒式建筑的代表，被誉为“豫商精神家园”、“中原古建典范”，建筑面积64300平方米.庄园背依邙山，面临洛水，因而有“金龟探水”的美称，是全国三大庄园（康百万庄园、刘氏庄园、牟氏庄园）之一，与山西晋中乔家大院、河南安阳马氏庄园并称“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百万庄园被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．2005年，康百万庄园被授予国家AAAA级旅游景区．近年来康百万庄园成为越来越多人旅游之地，现为更好地提升旅游品质，庄园风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100名游客对景区满意度评分的平均数；（以区间中点值作为代表） (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；（保留两位小数） (3)庄园景区的工作人员采用分层抽样的方法从评分在、的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率， 【答案】(1)84 (2)86.67 (3)． 【解析】（1）由频率分布直方图可知， 平均数为． （2）∵，， ∴中位数落在内，令中位数为m， 则，解得． （3）∵评分在、内的频率分别是0.15，0.3， ∴在中抽取人，记为a，b． 在中抽取人，记为A，B，C，D． 从6人中随机抽取2人，则有： ，，，，，，，，， ，，，，，，共15个基本事件， 设“选取的2人评分分别在、内各1人”为事件M， 则满足条件M的有：，，，，，，，， 共8个基本事件． ∴． ∴选取的2人评分分别在和内各1人的概率为． 考向四 互斥与对立事件的辨析 【例4-1】一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【解析】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 【例4-2】从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【答案】D 【解析】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立． 故选：D. 【变式】 1．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【解析】对于A中，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于B中，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 2．某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 【答案】C 【解析】对于A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误； 对于B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误； 对于C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确； 对于D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况， 事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误. 故选：C 3．某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 【答案】C 【解析】某人连续投篮3次，包含的基本事件有①全部没投中，②1次投中，2次没投中， ③2次投中，1次没投中，④全部投中这4个， 事件“至少投中2次”包含基本事件③和④， 事件“投中1次或全部没投中”包含基本事件①和②，则它们互为对立事件， 其他选项不合要求. 故选：C. 4．一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【解析】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”， 与“至少有1件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件． 故选：B. 考向五 概率的性质 【例5-1】已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 【例5-2】在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 【变式】 1．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【解析】由和对立，可得，则， 又由随机事件和互斥可知， 所以. 故选：D． 2．已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 3．已知为互斥事件，且，则 . 【答案】/ 【解析】因为为互斥事件，则， 所以. 故答案为：. 4．若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【解析】由题意， 所以. 故选：B. 5．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【解析】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为： 考向六 独立事件与互斥事件的辨析 【例6-1】抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【解析】对A：掷两次骰子，基本事件有个，事件“两次掷出的点数之和是6”包含：，，，，共5个基本事件，所以，故A错误； 对B：事件都包含基本事件有：，，，，，共6个，所以；事件包含的基本事件有：，所以, 因为，故与不相互独立，故B错误； 对C：事件：“第一次掷出的点数是偶数”，所以,事件包含的基本事件有：，，，所以，因为，所以事件，相互独立，故C正确； 对D：因为事件包含：，共2个基本事件，所以，因为，故事件与不相互独立，故D错误. 故选：C 【例6-2】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【答案】C 【解析】根据题意可知，. 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即，所以不相互独立，所以A错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 所以，所以相互独立，所以C正确； 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有， 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，D错误； 故选：C 【变式】 1．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 【答案】D 【解析】由题意， 对于A，，故A正确； 对于B，由题意，且，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 3．不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【解析】记两个黄球为，两个红球为，任取两个球的样本空间， 事件，事件， 对于AB，事件，即能同时发生，不互斥，AB错误； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：D 4．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 【答案】C 【解析】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 考向七 独立事件的乘法法则 【例7-1】唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】暑假两人都没来此地旅游的概率为， 所以暑假至少有1人来此地旅游的概率为. 故选：B 【例7-2】已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【答案】(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为. (2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【解析】（1）设甲队总得分为0分为事件，甲队总得分为2分为事件. 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率. 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余2人答对，其概率. （2）设乙队得1分为事件，甲队得2分且乙队得1分为事件.则 ， 所以. 综上，(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为；(2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【变式】 1．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【解析】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 2．2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件， 显然为相互独立事件， 则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件， 所求概率． 故选：A． 3．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相同为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立． (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）比赛3局结束的情况有以下两种： 第一种情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为； 第二种情况是前2局比赛中乙获胜1局，且第3局比赛乙获胜，其概率为． 故比赛3局结束的概率为． （2）甲最终获胜的情况有以下三类： 第一类情况是甲连胜2局，比赛结束，其概率为； 第二类情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为； 第三类情况是4局比赛后甲最终获胜，包含①甲获胜1局，其他3局平局，②前3局比赛中甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比赛甲获胜， ③前3局比赛中甲获胜1局，乙获胜1局，其他1局平局，且第4局比赛甲获胜这三种情况， 甲获胜1局，其他3局平局的概率为 前3局比赛中甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比赛甲获胜的概率为， 前3局比赛中甲获胜1局，乙获胜1局，其他1局平局，且第4局比赛甲获胜的概率为． 故甲最终获胜的概率为． 4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 题组一 辨析事件类型 1．下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为必然事件的概率等于，不可能事件的概率是，随机事件的概率取值范围为， 所以命题①③正确，命题②错误， 故选：C. 2．以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【解析】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 3．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【答案】B 【解析】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 4．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 题组二 事件的关系及运算 1．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，， 显然，，，C不含于A. 故选：D 2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至少有1个红球 C．至多有1个红球 D．1个红球，1个白球 【答案】C 【解析】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球， 则其包含的基本事件是：个白球个红球，个白球； 又至多有1个红球包含的基本事件也是：个白球个红球，个白球. 故选：. 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为1”，事件“向上的点数为5”，事件“向上的点数为1或5”，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据事件之间的关系,知事件发生当且仅当事件发生或事件发生,所以. 故选：C. 4．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有. 故选：A. 5．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品. 并给出以下结论： ①；②是必然事件；③；④. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 【答案】A 【解析】事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确； 事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确； 事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确. 故选：A 题组三 古典概型 1．某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设孩子是男孩记为，孩子为女孩记为，则样本点为，，，，，，，，其中都是男孩为，故3个孩子都是男孩的概率， 故选：A． 2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出树状图：    甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为． 故选：B. 3．在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是 ． 【答案】/0.5 【解析】根据题意，不放回的抽取两次总共的结果为种； 点在横轴上时，有这3种， 当点在纵轴上时，有这3种， 所以点在坐标轴上的结果数一共有种； 则组成的点在坐标轴上的概率是. 故答案为：. 4．从1，2，3，5这四个数中随机取出2个不同数，则它们差的绝对值为质数的概率为 ． 【答案】/0.5 【解析】从1，2，3，5这四个数中随机取出2个不同数，共有种，所有可能的组合及其差的绝对值为： 若取和，，不是质数； 若取和，，是质数； 若取和，，不是质数； 若取和，，不是质数； 若取和，，是质数； 若取和，，是质数； 满足它们差的绝对值为质数的组合为、、，共3种，该事件概率为. 故答案为：. 5．庐江县某中学高一年级有1500名学生参加学期阶段调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1500名学生的数学平均分（保留到整数）； (2)已知样本中成绩在内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率． 【答案】(1)，1050，126 (2) 【解析】（1）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为： ， 成绩不低于120分的频率为：； 所以高一年级不低于120分的人数为：人． ； （2）由频率分布直方图知，成绩在的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，从这6人中抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种．其中至少有一名女生的情况有9种，故至少有一名女生的概率为． 6．某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】(1)，分位数为分； (2). 【解析】（1）由题意知，解得，    设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. （2）由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 7．为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响，某科研机构对100架某型号的无人机设置不同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这些无人机的正常飞行时长（单位：分）均分布在区间内，现将这100个飞行时长数据按分成6组并整理，得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机的相关参数，若某架无人机的正常飞行时长为42分钟，判断该无人机能否被检测到； (3)若该科研机构从正常飞行时长在内的无人机中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6架，再从这6架中随机抽取2架做进一步研究，求在和内各抽取一架的概率． 【答案】(1) (2)能被检测到 (3) 【解析】（1）由题意知，解得． （2）按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机，即求分位数． 在频率分布直方图中，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以分位数位于内．· 设分位数为x， 则，解得．· 因为，属于前，故能被检测到. （3）正常飞行时长在内的频率分别为， 则抽取6架时内的应分别抽取4架、2架． 设在内的4架分别为，在内的2架分别为， 在和内各抽取一架为事件A， 则该试验的样本空间为 ， ，，· 所以· 8．当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 【答案】(1)，平均数，中位数 (2) 【解析】（1）由题意，，解得， 平均数为：， 由图可知的频率为，的频率为， 故中位数位于，设中位数为， 由，解得，即中位数是， 综上，，平均数，中位数. （2）由图可知，的频率之比是， 根据分层抽样可知，需在分别抽取人和人， 抽取的人记作，抽取的人记作， 所有情况是，共种， 这两人恰有1人体能优秀的情况有，共种， 根据古典概型的计算公式，这两人恰有1人体能优秀的概率是. 9．某校高一年级学生参加了“同心筑梦，爱我中华”知识竞赛，学生知识竞赛成绩均在内（单位：分），现从这些学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，按照，…，分成4组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计全体参赛学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)规定成绩较高的前20%的学生获奖，请根据频率分布直方图估计获奖学生的最低分数线（保留到整数）； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的成绩之差的绝对值大于20的概率． 【答案】(1)，平均分为 (2) (3) 【解析】（1）由频率分布直方图可知，，解得， 用样本估计总体，估计全体参赛学生的平均分为： ． （2）由频率分布直方图易知： 的频率为， 的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以获奖学生最低分数线为． （3）由图可知成绩在与的频率之比为， 则根据分层抽样在选取4人，记为，，，； 在选取2人，记为，． 所以从这6人中选取2人的所有选取方法：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 记“这2人成绩之差的绝对值大于20”为事件，则事件M所包含的基本事件有：，，，，，，，，共8种． 故所求概率为． 10．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.    (1)求图中的值； (2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）5人，2人；（ⅱ） 【解析】（1）由频率分布直方图可得， 解得； （2）（ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）；, （ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为 ， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个， 即， 故. 11．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 【答案】(1)83.3；84 (2) 【解析】（1），则， ；， 故40百分位数在层，则40百分位数为， 平均数； （2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为： ，，， 从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格” ， 所以； ，所以； ∴． 题组四 互斥与对立事件的辨析 1．从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【解析】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 2．某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（   ） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 【答案】D 【解析】某人连续投篮两次，共会发生： 第一次中第二次不中， 第一次不中第二次中， 第一次中第二次中， 第一次不中第二次不中，共4种情况， 事件“恰有一次投中”包含：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中， 所以与之互斥的就是“两次都投中”， 故选：D 3．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（    ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 【答案】C 【解析】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为个，个，个， 由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球， 即取到的都是黄球，故C正确. 故选：C 4．现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【答案】A 【解析】根据题意， 选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：A. 5．某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（   ） A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生 【答案】C 【解析】由对立事件的定义知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“3名同学全至少有1名男生”. 故选：C 6．某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（   ） A．“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B．“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C．“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D．“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【答案】C 【解析】对A，可以同时发生“有一颗红豆种子不发芽”，故不是互斥事件； 对B，可以同时发生“两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” ，故不是互斥事件； 对C，“至少五颗种子发芽”，则至少有2颗绿豆种子发芽，“至多一颗绿豆种子发芽”不会同时发生，则是互斥事件； 对D，可以同时发生，“两颗红豆种子发芽，一颗绿豆种子发芽”，故不是互斥事件. 故选：C 7．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，C为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．A，D为互斥事件 D．C，D为对立事件 【答案】D 【解析】样本空间为，， 对于A，由于，所以不互斥，故A错误； 对于B，，所以不互斥，更加不可能对立，故B错误； 对于C，，所以不互斥，故C错误； 对于D，因为，所以C，D为对立事件，故D正确. 故选：D. 8．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 9．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 10．某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 【答案】C 【解析】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”. 故选：C 11．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【答案】D 【解析】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 12．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【解析】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 题组五 概率的性质 1．已知事件互斥，它们都不发生的概率是，且，则 ． 【答案】/0.4 【解析】因为，所以． 因为事件互斥，所以． 又因为，所以． 即． 故答案为：. 2．已知事件与事件为互斥事件，且，，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得． 故答案为： 3．已知事件A的对立事件为，，．若，则 ， 【答案】 0.6 0.3 【解析】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 4．已知事件A与事件B互斥，若，则 【答案】/ 【解析】因为事件A与事件B互斥，， 所以. 故答案为：0.7 5．已知随机事件和互斥，和对立，且，则 ． 【答案】0.6/ 【解析】随机事件和互斥，则． 又和对立，. 故答案为：0.6． 题组六 独立事件与互斥事件的辨析 1．有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 【答案】C 【解析】样本空间， ，， 对于A，，故A错误； 对于BD，，故BD错误； 对于C，，故C正确. 故选：C. 2．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【解析】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 3．已知事件，满足，，则（    ） A．若，则 B．若与相互独立则 C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则 【答案】D 【解析】对于A，若，则，所以A错误； 对于B，若与相互独立，不一定互斥，所以B错误； 对于C，若与相互独立，可得与相互独立， 所以，所以C错误； 对于D，若与互斥，则，所以D正确. 故选：D. 4．若，，则关于事件A与B的关系正确的是（   ） A．事件A与B相互独立但不互斥 B．事件A与B互斥但不相互独立 C．事件A与B相互独立且互斥 D．事件A与B既不相互独立也不互斥 【答案】A 【解析】因为，所以，则， 又因为，所以，则事件A与B相互独立， 由于，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确， 故选：A 5．一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 【答案】C 【解析】设2个红球为，4个绿球为，所以 ，， ，，， 由，所以A与B不互斥，故A错误； ， 因为，所以A与C不独立，故B错误； 由，所以C与D互为对立事件，故C正确； 显然，故D错误. 故选：C. 6．投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 【答案】D 【解析】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 由题意得 由于所以A与C不是独立事件，故C错误； 由于，所以B与C是独立事件，故D正确； 故选：D 7．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【解析】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 题组七 独立事件的乘法法则 1．甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，那么两人中恰有一人合格的概率是 ． 【答案】 【解析】将两人中恰有1人合格分为：甲合格乙不合格，乙合格甲不合格两种情况， ， ， ． 故答案为： 2．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，任意两次射击相互独立．现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率是 ． 【答案】 【解析】记表示甲在第轮胜利，表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，则 甲获得胜利的情况为甲射击10环，乙射击不为10环；和甲射击9环，且乙射击为8环. 即； 甲获得平局的情况为甲、乙射击均为10环，9环和8环， 即； 甲失败的情况为． ①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，且第1轮甲没有获得胜利，其概率为； ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率为； 所以经过3轮比赛结束的概率． 故答案为：. 3．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为 . 【答案】 【解析】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，则，， 因为甲和乙投中与否互不影响， 则每轮比赛中，共投中一球的概率； 均未投中一球的概率； 所以“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为：. 故答案为： 4．科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 5．为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】(1)平均数为19，中位数为20 (2)24 (3)，，A，B不相互独立. 【解析】（1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. （2）由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. （3）由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 6．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】(1)0.52 (2)0.648 【解析】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. （2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 7．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 8．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率： (1)第一轮射击中恰好有一人中靶； (2)经过两轮射击，两人共中靶3次 【答案】(1) (2) 【解析】（1）记每轮比赛中，“甲中靶”为事件，“乙中靶”为事件， 则， 记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件， 则包含事件甲中靶乙不中靶，或甲不中靶乙中靶， 所以， 所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率为 （2）记“经过两轮射击，两人共中靶3次”为事件， 则 ， 所以经过两轮射击，两人共中靶3次概率为 9．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为：， （2）根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜， 此时概率为； ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为； 所以设“甲最终获胜”为事件，则 10．某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 11．某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 【答案】(1) (2) (3)小明谁更有机会进入面试环节. 【解析】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分， 第二轮答对两题得分”为事件;“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”. 则, ; . （3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红晋级复赛的概率分别为： ； 小红晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更有机会进入面试环节. 12．甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． (1)若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (2)若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； (3)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 【答案】(1) (2) (3)第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明见解析 【解析】（1）记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件 记比赛两局结束为事件，则 所以 ． 则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为． （2）记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件，则 所以 则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为； （3）由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为， 同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为 ， 第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为 ， 因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$