精品解析：四川省广元市苍溪中学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

高2023级高三•上第一次学段考试 数学试题 （时间：120分钟；满分：150分） 第Ⅰ卷选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列函数的最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 4. 若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义运算得到二次不等式恒成立问题，利用判别式来解答即可. 【详解】由已知得， 则对任意实数恒成立 整理得对任意实数恒成立， ， 解得. 故选：C. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 6. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递减； 当时，， 要使得函数是上的减函数， 需满足，解得， 则的取值范围是， 故选：A 7. 已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为，利用点到线的距离公式，即可求解. 【详解】因为的标准方程为，圆心为，半径为， 又易知直线过定点， 如图，过作于，因为在上的投影向量的模为， 则，所以，则，解得， 故选：D. 8. 定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 小数函数在定义域内单调递增 C. 为奇函数 D. 的所有零点之和为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次分析各选项是否正确，综合可得出答案. 【详解】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误； 对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误； 对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，的零点，即方程的根 显然不是方程的根； 当，方程化为，作出两函数与的图像如图： 由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的新定义、函数图像及其性质和函数零点的求解，为函数的综合问题.考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想，把函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题是关键. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由二项式定理即可判断；对于BC，赋值即可判断；对于D，先求导，再赋值即可判断. 【详解】对于A，由题意，展开式的通项公式为， 所以，故A正确； 对于B，设， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列结论错误的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为8 D. 若样本数据，，…，的方差为9，则，，…，的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望及方差公式计算判定A，应用正态分布的概率计算判定B，应用百分位数定义计算判定C，应用方差性质计算判定D. 【详解】对于A中，由，，解得，所以A正确； 对于B中，由正态曲线的对称性，可得，则 ，所以B错误； 对于C中，由于，则第60百分位数为由小到大排列的第5个数为9，所以C错误； 对于D中，若样本数据，，…，的方差为9， 则，，…，的方差为，所以D不正确. 故选：BCD. 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，求出，由导数的定义求解. 【详解】由， . 故答案为：2. 13. 已知等差数列的通项公式为，则等于_________． 【答案】25 【解析】 【分析】因项数较少，依次写出，求和即可. 【详解】因，则 故答案为：25 14. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为，所以由得， 因为关于的不等式在区间上有解， 所以只需小于等于的最大值， 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1， 所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示： 学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 （1）该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）； （3）依据小概率值的独立性检验能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：． 【答案】（1）12500 （2）0.9小时 （3）认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关，该推断犯错误的概率不超过0.05 【解析】 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【小问1详解】 抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为42+3+1+137+40+27=250． 设该地区29000名学生中有人的日均体育锻炼时长不小于1小时，则， 解得． 故该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为12500． 【小问2详解】 依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为（0.25×139+0.75×191+1.25×179+1.75． 所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时． 【小问3详解】 对数据重新组合，得到列联表 学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出原假设：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关． ， 我们推断不成立，即认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关，该推断犯错误的概率不超过0.05． 16. 公差不为的等差数列的前项和为，且满足，、、成等比数列． （1）求的前项和； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，可求得数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得； （2）求得，利用裂项相消法可求得. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，则， ，，， 由题意可得，即，解得， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 解：， 所以，. 17. 设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个. （1）若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率； （2）若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为，求随机变量的概率分布列及数学期望值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率公式求解即可； （2）随机变量的可能取值并求出每个值的概率即可求解 【小问1详解】 记“甲从中一次性摸出2个球，两个球颜色不相同”为事件， 甲从中一次性摸出2个球共有种， 两个球颜色不相同有种， 所以； 【小问2详解】 随机变量的可能取值为， 且，， ，， 所以随机变量的概率分布列为 18. 如图，在三棱锥中，平面. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，且平面， 所以. 因为， 所以，则. 又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可; （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以. 设平面的法向量为， 由得令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数． （1）求在上的最小值； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值． 【答案】（1）. （2）2 【解析】 【分析】（1）对的求导，讨论极值点与区间的关系，确定的单调性，从而求出最值； （2）要使当时恒成立，将代入后变形为​在上恒成立，构造函数，利用导数研究其单调性，进而确定最小值，即可求出正整数的最大值. 【小问1详解】 由题意，， 在中,， 当时，解得， 若，则当时，， ∴函数在上递增， ∴； 当，即时， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴． ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在中， 当时，，即， ∴在上恒成立，， 在中，， ， 在中，， ∴在上单调递增， ； ； ∴，使得，即， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 在处取得极小值，也是最小值，即. 将代入，， ∵，， ∴， ∵为正整数， ∴的最大值为2. ∴整数的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三•上第一次学段考试 数学试题 （时间：120分钟；满分：150分） 第Ⅰ卷选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数的最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 4. 若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 小数函数在定义域内单调递增 C. 为奇函数 D. 的所有零点之和为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论错误的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为8 D. 若样本数据，，…，的方差为9，则，，…，的方差为 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 13. 已知等差数列的通项公式为，则等于_________． 14. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示： 学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 （1）该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）； （3）依据小概率值的独立性检验能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：． 16. 公差不为的等差数列的前项和为，且满足，、、成等比数列． （1）求的前项和； （2）记，求数列的前项和． 17. 设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个. （1）若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率； （2）若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为，求随机变量的概率分布列及数学期望值. 18. 如图，在三棱锥中，平面. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数． （1）求在上的最小值； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $