2.1 等式与不等式性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，通过限速、酸奶质量等现实情境问题链导入，衔接等式性质，构建从概念到比较大小（作差作商）再到性质应用的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于融入赵爽弦图等数学文化，以糖水不等式为例强化模型意识，通过作差作商步骤化教学培养逻辑推理。小结系统梳理方法，学生提升数学思维与应用能力，教师可依托结构化资源高效教学。

2.1 等式性质与不等式性质 不等式 引入：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系， 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子 不等式 符号语言：不等关系的文字语言与符号语言的转换 文字语言 高于，超过 低于，少于 至少，不少于，不低于 至多，不多于，不超过 符号语言 不等式 问题：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某段路限速40； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质含量应不少于2.3%； 不等式 问题：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 作垂直于，是线段上不同于的任意一点， < 不等式 问题：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 ① 单价涨了多少元 单价涨了多少个0.1元 销量少了多少个0.2万本 比较大小 思考：实数大小比较的基本事实是？ A B B A A(B) 实数大小比较 的基本事实① 【作差法】 ① ② ③ 比较大小的方法？ 比较大小 例1.比较和的大小. 解：∵ ∴ 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 重要不等式 探究：图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 综合应用_比较大小（证明不等式） 补充：若 证明 比较大小 做差法比较两个代数式大小的步骤 (1) 作差 (2) 变形：常用因式分解、配方、有理化 (3) 判断差的符号 (4) 作出结论． 比较大小 思考：实数大小比较的基本事实是？ 【作商法】 ① ② ③ ① ② ③ 实数大小比较 的基本事实② 等式性质 ★【对称性】 ★【传递性】 ★【加减性】 ★【同乘性】 ★【同除性】 如果，那么 如果，，那么 如果，那么 如果，那么 如果，，那么 时，我也成立！ 那可不一定，你是不是成立，得问问c，c=0时，你就不成立！ 我成立，你不一定成立！ 为什么啊？ c≠0时，你成立；c=0时，你不一定成立！ 不等式性质 ★【对称性】 ★【传递性】 如果，那么.即 如果，，那么.即， 等号传递？ ★【同加性】 如果，那么 移项 ★【同乘性】 如果，，那么； 如果，，那么 ★【倒数】 如果 不等式性质 ★【同向可加性】 如果，,那么 等号？ ★【同向同正可乘性】 如果， ，那么 ★【同正可乘方性】 如果，那么 我只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数！ 我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？ 等式 不等式 综合应用_比较大小（证明不等式） 例2.已知，求证： 你有其他证明方法吗？ 综合应用_比较大小（证明不等式） 例2.已知，求证： 法一 法二 法三 证明不等式或比较大小的方法 (1) 作差或作商 (2) 不等式性质 （3）分析法证明不等式 综合应用_比较大小（证明不等式） 拓展：已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0)，再添加m克糖，（m>0)（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式并证明。（糖水不等式） 综合应用_求取值范围 例3.已知，试求与的取值范围. 解：∵， ∴， ∴，即， 又∵ 即 综合应用_求取值范围 变式.已知，试求5的取值范围. 解：设 则： 即 小结： $$