第二十四章 圆 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十四章 圆 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 2．用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 3．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 5．如图，是的直径，弦交于点，，，则的直径为（　　） A．5 B．8 C．10 D． 6．如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． A． B． C． D． 7．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A．8 B．16 C．32 D． 8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 9．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 10．如图，在中，，，D为中点，则当最大时，的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 12．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则外接圆的圆心的坐标为 ． 14．如图，是的直径，，，则 ． 15．如图，是的直径，是的切线，连接交于点C．若，则 度． 16．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为 ． 17．如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 18．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 20．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 21．如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,． (1)将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的; (2)将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的; (3)在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 22．如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 23．如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，过点B作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 24．如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，过点B 作的切线交的延长线于点 D．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(不写作法，保留作图痕迹) (1)在图(1)中，作出一个以为斜边的直角三角形； (2)在图(2)中，作出一个以为边的菱形． 25．阅读与思考． 对几何图形的研究通常是从定义、性质、判定、应用四个方面进行的，小明借助这种研究过程与方法，在以“数学世界里的风筝筝形”为主题的数学实验课上开展了对“筝形”的探究实验活动． 【定义理解】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 如图，在四边形中，因为，，所以四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 用测量、折纸等方法小明发现“筝形”有一组对角相等，对角线垂直，请你帮助小明用已学过的知识证明他的猜想． （1）已知：如图，在“筝形”中，，．求证：，； 【性质应用】 （2）“筝形”又称偏菱形，对照菱形的面积的探索过程，探索“筝形”的面积公式； （3）内切圆是指与一个多边形的每条边都相切的圆，请用尺规作图作出“筝形”的内切圆． 26．伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：    （1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________． 问题探究： （2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值． 问题解决： （3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 2．用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设； 故选：C． 3．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵A，B，C是上的三点，， ∴． 故选：B 4．下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 5．如图，是的直径，弦交于点，，，则的直径为（　　） A．5 B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出，故，得，即，设，则，运用勾股定理列式代入数值得，解得．即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ∴ ， ∴ ， ， ， ． 设， 则， 在中，， 即， 解得． 的直径． 故选：C． 6．如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 根据题意，证得，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：、为的切线，、为切点， ，，， ， 在和中， ， ， ． 故选：A． 7．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A．8 B．16 C．32 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．连接，先求得，再利用垂径定理和勾股定理求得即可求解． 【详解】解：连接， ∵的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．作于C，利用等腰直角三角形的性质求出的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题． 【详解】解：如图，作于C， ∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计， ∴，， ∵ ∴， 则， ∴的面积为， ∴正八边形面积为 ∴的估计值为． 故选：B． 9．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10．如图，在中，，，D为中点，则当最大时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，圆的切线的性质以及三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握点、的运动轨迹和勾股定理. 取的中点，连接，证明是的中位线，得，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即∠，然后由勾股定理求出的长即可. 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ， ∵为中点， ∴是的中位线， ， ∵点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当与相切时，最大， ， ， 故选： C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 12．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面积公式计算解题即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则外接圆的圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆的圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，外接圆的圆心的坐标为． 故答案为：． 14．如图，是的直径，，，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点，解决此题的关键是合理的正确的计算，先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为： 15．如图，是的直径，是的切线，连接交于点C．若，则 度． 【答案】80 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，内切圆的半径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，结合的周长等于，得出的半径，再证明是等边三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的周长等于， ∴的半径， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点O作， ∴， 则， ∴正六边形的内切圆的半径为， 故答案为：． 17．如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 18．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 【答案】/ 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C， ， ， ∵的直径为， ， 在中，， ． 答：油的最大深度为． 20．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)相交 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示： 点坐标为： 故答案为：； （2）∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 21．如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,． (1)将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的; (2)将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的; (3)在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查图形的平移,扇形弧长公式,勾股定理． （1）根据题意将,,三点横坐标均减得出新坐标连接即可; （2）先确定顺时针旋转的坐标,再确定的坐标,连接即可; （3）点绕点旋转到点所经过的路径为,利用弧长公式求出本题结果． 【详解】（1）解:∵,,, ∴沿轴向左平移个单位长度的坐标为,,,将连接即可得到,如图: （2）解:∵绕点按顺时针方向旋转, ∴,则, ∴将连接即可得到,如图: （3）解:∵,, ∴, ∵绕点旋转到点旋转了, ∴的长度为:． 22．如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． 23．如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，过点B作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】连接并延长交于点H，利用垂径定理求得垂直平分，证明四边形为矩形，据此即可证明是的切线； 在中，通过勾股定理求得，设的半径为r，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ， 垂直平分， ， 为的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ， 为的半径， 为的切线； （2）在中， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设的半径为r， 则，， 在中，， 解得 即的半径为 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，过点B 作的切线交的延长线于点 D．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(不写作法，保留作图痕迹) (1)在图(1)中，作出一个以为斜边的直角三角形； (2)在图(2)中，作出一个以为边的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、圆的基本性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的性质是作图的关键． （1）延长交于点，连接，交于，即可得以为斜边的直角三角形； （2）延长交于点，延长交于点，连接、、，即可得菱形． 【详解】（1）解：延长交于点，连接，交于，如图(1)， 即为所求． (答案不唯一) 理由：为的直径， ， 平行四边形中，， ， 是直角三角形； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接、、，如图（2），菱形即为所求． 理由：连接， 中，， 是菱形， ， 是等边三角形，同理可证明是等边三角形， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是菱形． 25．阅读与思考． 对几何图形的研究通常是从定义、性质、判定、应用四个方面进行的，小明借助这种研究过程与方法，在以“数学世界里的风筝筝形”为主题的数学实验课上开展了对“筝形”的探究实验活动． 【定义理解】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 如图，在四边形中，因为，，所以四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 用测量、折纸等方法小明发现“筝形”有一组对角相等，对角线垂直，请你帮助小明用已学过的知识证明他的猜想． （1）已知：如图，在“筝形”中，，．求证：，； 【性质应用】 （2）“筝形”又称偏菱形，对照菱形的面积的探索过程，探索“筝形”的面积公式； （3）内切圆是指与一个多边形的每条边都相切的圆，请用尺规作图作出“筝形”的内切圆． 【答案】（1）见解析（2）（3）见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的性质，作图基本作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，根据全等三角形的性质得到 （2）设与交于，由（1）知，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）由题意得，内切圆分别与四边形的四条边相切．如图，作的平分线，交于点，过点作的垂线交于，以为圆心，为半径作圆，则即为所求． 【详解】（1）证明：，， 垂直平分， ， 在与中， ， ≌， ； （2）解：设与交于， 由（1）知，， ，， “筝形”的面积； （3）解：由题意得，内切圆分别与四边形的四条边相切． 如图，作的平分线，交于点， 过点作的垂线交于， 以为圆心，为半径作圆， 则即为所求． 26．伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：    （1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________． 问题探究： （2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值． 问题解决： （3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？ 【答案】（1）；（2）最大值；（3）花坛面积的最大值为平方米． 【分析】（1）根据题意作的外接圆，由圆周角定理可得是等边三角形，则有； （2）如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大，由等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理可得，结合三角形面积的计算公式即可求解； （3）作的外接圆O，连接，根据（1）的结论可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大，设，则，，根据建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，根据题意作的外接圆， ∵，其外接圆半径等于，所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）∵如图所示，过点作于点，延长交于点，连接， ∴， ∵线段是定值， ∴当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大面积为； （3）解：依题意，，， 如图所示，作的外接圆O，连接， 则，点在优弧上， 由（1）可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大， 如图所示， 设，则，， ∵， ∴， ∴平方米， 答：花坛面积的最大值为平方米． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关计算，添加辅助圆是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$