第一章 集合与常用逻辑用语难点特训（六大题型）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语难点特训 【题型1根据交集关系求参数】 【题型2根据并集关系求参数】 【题型3根据充分不必要条件求参数】 【题型4根据必要不充分条件求参数】 【题型5 根据包含关系求参数】 【题型6 集合中的新定义问题】 【题型1根据交集关系求参数】 1．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 2．已知集合 . (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 3．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 4．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 5．设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 6．已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 7．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 8．设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 9．已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 【题型2根据并集关系求参数】 1．已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 2．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 3．设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 4．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 5．设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【题型3根据充分不必要条件求参数】 1．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 2．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 3．设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 4．设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【题型4根据必要不充分条件求参数】 1．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 5．已知集合 ，集合 ，集合或. (1)求、、. (2)若“”是“”的必要条件， 求实数a的取值范围. 【题型5 根据包含关系求参数】 1．已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 2．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 3．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 4．已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 5．已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【题型6 集合中的新定义问题】 1．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”.给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是 .（写出所有正确命题的序号） 2．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 3．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 4．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合满足如下两个条件，则称为三分集合. ①； ②元素可分别排列为有序数组及，使得对，均有， 特别地，当为三分集合时，称为完美三分数. 如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：； (2)求出大于1的最小完美三分数； (3)请判断是否存在无穷多个完美三分数？若存在，请说明理由；若不存在，则求出最大的完美三分数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语难点特训 【题型1根据交集关系求参数】 【题型2根据并集关系求参数】 【题型3根据充分不必要条件求参数】 【题型4根据必要不充分条件求参数】 【题型5 根据包含关系求参数】 【题型6 集合中的新定义问题】 【题型1根据交集关系求参数】 1．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得集合，利用集合的交并补的运算可得答案. （2）由题意可得两集合的关系，利用分类讨论，分中是否为空集，列出对应不等式，可得答案. 【详解】（1）由，则， 由，则， 所以，. （2）由，则， 当时，即，解得，符合题意； 当时，则，解得，符合题意. 综上所述，. 2．已知集合 . (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 3．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 4．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据补集的运算法则即可求解； （2）根据集合的包含关系，解不等式组即可求解； （3）由可得，分和两种情况讨论实数的取值范围，最后综合讨论结果即可求解. 【详解】（1）∵全集，集合， ∴或. （2）∵，，， ∴，解得，即实数的取值范围为. （3）∵，∴. 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，，即实数的取值范围为. 5．设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据集合关系讨论求参数即可； （2）由，分和两种情况讨论求参数即可； 【详解】（1）因为，所以． 当时，，解得； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为． （2）由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，由（1）得； 当时，因为，所以解得，或无解． 综上所述，的取值范围为． 6．已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围. 【详解】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 7．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 8．设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）分类讨论集合是否为空集即可. 【详解】（1）当时，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 9．已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）求出集合然后求其补集即可，求出集合的补集，再求与集合的交集即可. （2）由题意可得，讨论集合是否为空集即可. 【详解】（1）集合，或， 则或，，则 （2），为真命题，即， 又，， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，由可得或，解得， 综上，m的取值范围为：或． 【题型2根据并集关系求参数】 1．已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出当时，再根据交集的定义求出即可； （2）先将转化成，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以或， 又因为， 所以. （2）由可得. 所以当时，有，解得； 当时，有，解得. 综上，所以的取值范围为. 2．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 3．设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 4．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 5．设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，求出集合，解不等式化简集合，再根据补集和交集的定义即可求出； （2）根据，可得，对集合是否为空集分类讨论，得到关于a的不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，，由得或 所以或则 所以 （2）由得 ①若，则，解得 ②若，则或，解得或 综上，实数的取值范围是 【题型3根据充分不必要条件求参数】 1．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 2．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 3．设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据集合的基本运算可得结果. （2）把条件转化为⫋，利用集合间的基本关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， ∴，或. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为. 4．设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及补集运算的概念求解即可； （2）根据题意得是的真子集，按照和分类讨论，列不等式组求解即可，注意求并集. 【详解】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 【题型4根据必要不充分条件求参数】 1．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 2．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 3．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 4．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得集合，进而可得； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 又 则； （2）由“”是“”的必要不充分条件， 可知， 所以或， 解得或， 综上所述， 即. 5．已知集合 ，集合 ，集合或. (1)求、、. (2)若“”是“”的必要条件， 求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或， (2) 【分析】（1）首先求出集合A，集合B的范围，再利用集合的交并补即可求解. （2）由题干中条件可得：,根据集合的包含关系列出不等式组求出实数a的取值范围. 【详解】（1）由，解得：或，，解得， 所以，或， 又因为，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，即时，,显然不满足题意； 当时，即时，,解得：,即， 所以实数a的取值范围为 【题型5 根据包含关系求参数】 1．已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）分类讨论求解集合，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，， 故， 由于，故， （2）当时，， 当时，， 若，则需满足或，解得 故 2．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得； （2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 3．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 4．已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再由并集计算可得结果； （2）根据集合的包含关系解不等式可得的取值范围． 【详解】（1）因为，所以 又因， 所以 （2）因为，所以有， 解得， 所以的取值范围为． 5．已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ， 或； (2) 【分析】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，又或， 故 或 ， 或 或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 【题型6 集合中的新定义问题】 1．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”.给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是 .（写出所有正确命题的序号） 【答案】①③/③① 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】因为，是集合中任意的元素，所以与可以是同一个元素，故0一定在完美集合中，故①正确； 完美集合不一定是无限集，例如，故②错误； 集合，在集合中任意取两个元素，，其中，，，为整数，则，，，均为整数加上的整数倍的形式，故③正确； ，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，故④不正确. 故答案为：①③ 2．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得； （2）先由①②得，进而可得； （3）先证，可得，，进而得，再结合可证. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. （2）证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. （3）证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 3．设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，，，，. 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【详解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 4．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合满足如下两个条件，则称为三分集合. ①； ②元素可分别排列为有序数组及，使得对，均有， 特别地，当为三分集合时，称为完美三分数. 如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：； (2)求出大于1的最小完美三分数； (3)请判断是否存在无穷多个完美三分数？若存在，请说明理由；若不存在，则求出最大的完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2)4 (3)存在无穷多个完美三分数；理由见解析 【分析】（1）利用反证法可证明不是三分集合；举例找到满足条件的集合可得是三分集合； （2）反证法说明不是完美三分数，根据题意得完美三分的可能范围，再找到集合，证明是三分集合即可； （3）先证明“由为三分完美数，可得到也为三分完美数”的递推关系，将集合拆分为两个三分集合可证，再根据基础与递推关系可得. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，不妨设， 由得， ， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， ，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合， 满足为三分集合的两个条件. 故大于1的最小完美三分数为. （3）存在无穷多个完美三分数，理由如下. 由题意知，为最小完美三分数. 当时，， 存在三个元集合满足三分集合的条件， 故为完美三分数. 当时，， 存在如下三个元的集合满足三分集合的条件： ， ， 故为完美三分数. 首先证明：若为三分完美数，则也为三分完美数. 证明：记，， 若为三分完美数，则为三分集合， 即存在三个元集合满足如下两个条件， ①； ②元素可分别排列为有序数组及， 使得对，均有， 则可得到：对，， 故集合也满足三分集合的两个条件，其也为三分集合， 下面记集合. 对，集合. 构造集合，共有个奇数； 集合， 共有个逐个减小的连续正整数； 集合， 共有个逐个增大的连续正整数； 可知这三个元集合满足如下两个条件， ①集合； ②元素可分别排列为有序数组及， 使得对，均有； 故为三分集合，而已知为三分集合，将其对应与合并， 令， 可知这三个元集合，满足，且满足条件②， 故为三分集合， 因此可得，若为三分完美数，则也为三分完美数. 由为完美三分数，结合所证结论可知，存在无穷多个完美三分数. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于第（3）问中，能将一个集合为两个三分集合（交集为空集）的并集，由此借助两个条件可证明其也是三分集合.， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$