第2章 有理数的运算能力提升单元测试卷-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

第2章 有理数的运算能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在，，，，，这六个数中，负数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．眉山2023年全市地区生产总值约为1737亿元，将数据1737亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是有理数，且，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D．5 5．中国是最早认识和使用负数的国家．古代以筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算．例如，用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列式计算为（   ） A． B． C． D． 6．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 8．若的相反数是，，则的值为（    ） A．9 B．1 C．9或 D．或1 9．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 10．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 12．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 14．定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 15．乐乐用相同的速度跑步，他从第1棵树跑到第5棵树共用了20秒（每两棵树之间的距离相等），如果乐乐跑了100秒，他应跑到第 棵树 16．用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（8分）2024年7月下旬辽中区连降暴雨，28日（周日）冷子堡镇团结水库水位已达到警戒水位，区教育局紧急抽调90名教师到冷子堡镇支援，协助当地到团结水库巡堤，下表记录了水库接下来一周水库水位的变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （单位：） 注：正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降 (1)这一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ (2)与上周周末相比，这一周周末的水位是上升了还是下降了？ 19．（8分）有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 20．（8分）规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 21．（8分）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 22．（10分）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 23．（10分）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 24．（12分）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在，，，，，这六个数中，负数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先分别将所给的式子化简，再根据结果作出判断． 【详解】解：∵，∴是正数； 是负数； ∵，∴是负数； ∵，∴是负数； ∵，∴是正数； ∵，∴是负数，共有4个负数， 故选：C． 【点睛】本题考查了化简多重符号，有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，正负数的定义，解题关键是掌握绝对值与有理数的乘方． 2．眉山2023年全市地区生产总值约为1737亿元，将数据1737亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，注意中a的范围是，n是正整数，n与原数的整数部分的位数m的关系是，据此确定a和n的值即可解答． 【详解】解： 1737亿， 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，减法，乘法运算，根据相关运算法则计算判断即可． 【详解】解： A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．已知是有理数，且，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性； 根据绝对值的非负性求出，，然后相加即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 5．中国是最早认识和使用负数的国家．古代以筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算．例如，用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列式计算为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据正放表示正数，斜放表示负数，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意可列式计算为； 故选D． 6．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示的数，绝对值，相反数，有理数的减法等知识，解题的关键是数形结合，确定a，b的范围．根据a，b在数轴上的位置关系可得：，再逐项判断即可． 【详解】解：由a，b在数轴上的位置关系可得：， ∴，故A说法正确，不符合题意； ，故B说法正确，不符合题意； ，故C说法正确，不符合题意； ，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 7．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点．理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴． 故选：A． 8．若的相反数是，，则的值为（    ） A．9 B．1 C．9或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查相反数，绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论思想是解题的关键．先用相反数与绝对值求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：∵的相反数是，， ∴，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为9或． 故选：C 9．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 【答案】C 【分析】本题考查了进位制的概念及七进制数与十进制数的转换，解题的关键是理解“满七进一”的计数规则，即每个数位的权值为7的相应幂次，通过各数位的数值乘以对应权值再求和完成转换． 明确“满七进一”为七进制计数法，从右到左各数位的权值依次为、、；对应数位数值：右起第一位6权值、第二位2权值、第三位3权值；计算总和：，得到十进制天数. 【详解】解：根据“满七进一”的计数规则，该数为七进制数，从右到左各数位的权值依次为、、 由图可知，从右到左的打结数依次为6、2、3，因此对应的十进制天数计算如下： 故选：C． 10．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了数轴，及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键． 根据数轴上点的位置得出两个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ，，， 即①②④正确，③错误， ∴结论中正确的个数是3． 故选：C． 11．已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到同号，均小于0，根据当时，，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴同号，均小于0， ∵当时，， ∴； 故选：D． 12．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的减法运算等知识．熟练掌握有理数的乘方、有理数的减法运算法则是解题的关键． 仿照题中的方法解答即可． 【详解】解：令，则， 因此，解得：． 故选D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相同，结合有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 14．定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得． 【详解】解：前8次的“F”运算结果如下： 依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， ∴第2025次“F”运算的结果为8． 故答案为：8． 15．乐乐用相同的速度跑步，他从第1棵树跑到第5棵树共用了20秒（每两棵树之间的距离相等），如果乐乐跑了100秒，他应跑到第 棵树 【答案】21 【分析】本题考查有理数除法的应用，先求出每个间隔所花时间，进而即可求解． 【详解】解：∵第1棵树跑到第5棵树共用了20秒，有4个间隔， ∴每个间隔花时间：秒， ∵， ∴他应跑到第21棵树 故答案为：21． 16．用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 【答案】43 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键． 根据二进制计数法计算出结果即可． 【详解】解：根据二进制转化成十进制法则得， ， 故答案为：43． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据有理数的乘法法则可以解答本题； （4）根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（8分）2024年7月下旬辽中区连降暴雨，28日（周日）冷子堡镇团结水库水位已达到警戒水位，区教育局紧急抽调90名教师到冷子堡镇支援，协助当地到团结水库巡堤，下表记录了水库接下来一周水库水位的变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （单位：） 注：正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降 (1)这一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ (2)与上周周末相比，这一周周末的水位是上升了还是下降了？ 【答案】(1)周二水位最高，在警戒水位之上； (2)与上周周末相比，这一周周末的水位下降了． 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数加法的实际应用，解决这类题目的关键是理解正负数的意义． （1）分别计算出本周七天的水位，即可求解； （2）根据本周周日的水位大于上周周末的水位，即可求解． 【详解】（1）解：设警戒水位为0米， 周一水位：米， 周二水位：米， 周三水位：米， 周四水位：米， 周五水位：米， 周六水位：米， 周日水位：米， ∵， ∴这一周周二水位最高，且在警戒水位之上； （2）解： ∵， 答：与上周周末相比，这一周周末的水位下降了． 19．（8分）有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1) (2)千克 (3)元 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据最大数减去最小数，可得最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克； （2）根据题意把20筐白菜的重量与标准质量的差加起来求出平均偏差，再加上标准重即可求解； （3）根据（2）中数据求出的20筐白菜的总重量乘以每千克的售价求解即可． 【详解】（1）解：（千克）， 最重的一筐比最轻的一筐要重千克； （2）解： 每筐白菜的平均重量（千克） 每筐白菜的平均重量是千克； （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖元． 20．（8分）规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 【答案】(1)① ② (2)2 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列式计算即可． （1）①根据题意列式计算即可；②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置，根据除法的意义即可得到答案； （2）根据除法的意义得到除数，根据题中规定的运算列式即可得到答案． 【详解】（1）解：①原式． ． ②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置， 所以它们的结果互为倒数． 由①中算式的值为，可得②中算式的值为． （2）因为被除数，商． 所以除数； 所以，所以， 所以． 21．（8分）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在迎泽公园门口西边2处 (2)第6位 (3)6.8立方米 (4)56.8元 【分析】本题考查正负数的意义，理解有理数的意义，明确符号和绝对值的意义是正确解答的前提． （1）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （2）分别计算出送每一个顾客时，距公园的距离，进而得出答案； （3）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （4）八名顾客均有起步价，再求出超出3千米的加价 即可求出总车费． 【详解】（1）解：， 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在迎泽公园门口西边处． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． ∴将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远． （3）解：， 答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米． （4）解：元， 答：小李这天上午共得车费56.8元． 22．（10分）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)256 (2)， (3)不存在m的值，使这三个数的和等于514 【分析】本题考查规律型−数字变化类问题，有理数的运算等知识点， （1）根据第一组对应的数为的序数次幂的规律即可得解； （2）根据第二组的数比第一组对应的数大3，第三组的数的规律为即可得解； （3）根据规律构建方程即可解决问题； 熟练掌握探究的规律是解决此题的关键． 【详解】（1）观察知，第一组第一个数为， 第一组第二个数为， 第一组第三个数为， 第一组第四个数为， ∴第一组第n个数为， ∴第一组的第8个数分别是， 故答案为：256； （2）观察知，第二组第一个数为， 第二组第二个数为， 第二组第三个数为， 第二组第四个数为， ∴第二组第n个数为， 观察知，第三组第一个数为， 第三组第二个数为， 第三组第三个数为， 第三组第四个数为， ∴第三组的第n个数， 故答案为：，； （3）由题意知， ∴， ∵， ∴不存在m的值，使这三个数的和等于514． 23．（10分）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)70 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，由此求出木棒长为5， （2）根据木棒长为5，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，可求出两点所表示的数； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为，所以可知爷爷比小红大，即可求出爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由数轴观察知三根木棒长是， 则此木棒长为：， 故答案为：5． （2）解：∵木棒长为5，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20， ∴B点表示的数是15， ∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5， ∴A点所表示的数是10． 故答案为：10，15； （3）解：借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒， 类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为， 小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为125， ∴可知爷爷比小红大， 可知爷爷的年龄为， 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是数轴的特点，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中． 24．（12分）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三： 图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式： ， 两边同除以3，得 ； 解决问题： （1） 故答案为： （2） ， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$