专题05 有理数实际应用七大题型归纳-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题05 有理数实际应用七题型归纳 【题型01 走向问题】.............................................1 【题型02 质量问题】.............................................3 【题型03 销售问题】.............................................6 【题型04 生产问题】.............................................10 【题型05 游客问题】.............................................13 【题型06 股票问题】.............................................15 【题型07 比赛问题】.............................................18 【题型01 走向问题】 1．某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下，（单位：米）： ． (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，5名队员在全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共使用了氧气多少升？ 2．某科技公司研发了人工智能机器人，为了测试其稳定性，技术人员设置机器人从某定点O开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，． (1)通过计算说明机器人是否能回到起点O．若不能，请说明机器人此时是前进了还是后退了； (2)机器人离开出发点O最远时是多少米？ (3)在机器人行走过程中，如果每准确走1米得2分，则本次机器人一共得到多少分？ 3．某出租车司机沿南北方向的公路载客，约定向北为正，向南为负．某天出租车司机自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：． (1)收工时在A地哪个方向？距离A地多远？ (2)若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工共耗油多少升？ 4．为了有效控制酒后驾车，某交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，若规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为：（单位：千米） (1)此时，该交警如何向队长描述他所处的位置？ (2)如果每千米耗油0.1升，此时队长命令他马上返回出发点，则该交警这次巡逻（含返回）共耗油多少升？ 5．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负．今天司机的运气真好，没有空载过．行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 6．出租车司机李师傅星期一上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是他上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 (1)李师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，李师傅开始营运前油箱里有7升油．若油箱里的油少于2升则需要加油，请通过计算说明李师傅这天上午中途是否可以不加油． 【题型02 质量问题】 1．10袋小麦以每袋千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：，，，，，，，，，，与标准质量相比较， (1)这袋小麦总计超过或不足多少千克？ (2)袋小麦总质量是多少千克？ (3)有几袋是非常标准的？ 2．现有一批花生共6袋，以每袋5kg为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下表．其中质量达到5kg的花生称为“达标花生”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差 -0.2 -0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 (1)这6袋花生中“达标花生”有_________袋，最重的一袋有__________kg． (2)若花生售价为40元，则出售这批花生总共多少元？ 3．某一食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克，若标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？ 4．某宾馆餐厅购进10袋大米，若每袋以50千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： ． (1)根据记录，请求出一袋大米的平均质量； (2)若每千克大米的价格是2元，购进这10袋大米需要多少钱． 5．妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 6．七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了9筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： (1)有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？ (2)这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ (3)请你计算这9筐苹果一共多少千克？ 7．有20箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 1 2 5 3 4 2 3 (1)最重的一箱比最轻的一箱重 千克． (2)求这20箱苹果的总质量． (3)若这批苹果的批发价是7元/千克，售价是12元/千克，运输和出售过程中有10%的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 8．现有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示．记录如表： 与标准质量的差值 0 2 2.5 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 (1)若与标准质量相比，差距在千克以内，都是合格的，则合格有 箱． (2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克进价为3元，售价为元，则这箱苹果全部售出共可获利多少元？ 9．张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 3 5 1 4 5 2 (1)这20箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 【题型03 销售问题】 1．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差辆 +4 -3 +15 -5 -8 +21 -6 (1)本周实际销售总量是否达到了计划量？ (2)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得4元．若每日超额完成任务，则超过部分每辆另奖1.5元；若每日未完成计划，则少销售一辆扣2元，那么该店铺销售人员本周工资总额是多少元？ 2．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也实行了网上销售，小明原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 3．江津青花椒闻名重庆，小宇把自家种的青花椒放到网上销售，计划每天销售200千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小宇第一周青花椒的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 青花椒销售超过或不足计划情况（单位：千克） (1)小宇第一周销售青花椒最多的一天比最少的一天多销售_____千克； (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是多少千克？ (3)若小宇按45元/千克进行青花椒销售，平均运费为5元/千克，每天需支出销售费用100元，则小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入多少元？ 4．随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的李明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但实际第天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出多少斤？ (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若冬枣每斤按7元出售，每斤的运费平均2元，那么李明本周共收入多少元？ 5．某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据求前五天共卖出多少箱？ (2)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支付运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元？ 6．随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 7．在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出________千克； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？（总收入总销售额总运费） 【题型04 生产问题】 1．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车（周六、周日放假不生产），由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表（单位：辆，增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 增减 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ (2)本周共生产了多少辆摩托车？ 2．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况（单位：辆）如下表：（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 增减 (1)本周三生产了摩托车多少辆？ (2)本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 3．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每周计件工资制”．小颖本周工资是多少？ 4．某自行车厂计划一周生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车80元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 5．人工智能（）和民用无人机的迅速发展，大大提高了人们的生产效率．我区某草莓采摘园引进新设备改进工作流程，利用无人机监控草莓生长情况．无人机以监控中心为原点，在东西方向往返巡查，若规定向东为正方向，记录该无人机的10次巡查飞行数据如下（单位：米）： ． 根据以上信息回答问题： (1)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (2)已知无人机飞行一段时间以后需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机是否回到监控中心？如果不是，该无人机还需要向哪个方向飞行多少米才能回到监控中心？ 6．某洗衣粉厂生产的每袋洗衣粉的标准质量为450克，该厂质检员对随机选取的20袋洗衣粉进行检测，记超过或不足标准质量的部分为“”和“”，记录如下表所示．每袋的质量在克为合格． 袋数（袋） 1 1 1 6 5 2 4 超过或不足（克） 0 (1)求这20袋洗衣粉的平均质量； (2)求这20袋洗衣粉的合格率； (3)厂家规定不合格产品不能出厂销售，每袋洗衣粉的售价为2.3元．该厂上周共生产2000袋洗衣粉，其合格率恰好与（2）中数据一致，若将上周生产的洗衣粉全部售完，求销售的总金额． 【题型05 游客问题】 1．我市旅游局发布统计报告：国庆期间，瘦西湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化单位：万人 若9月30日的游客人数为万人， (1)国庆期间瘦西湖风景区一共接待游客多少万人？ (2)若门票为每人100元，那么国庆期间瘦西湖风景区门票收入是多少万元？ 2．“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为200元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为_________万人； (2)七天内游客人数最多的是10月_________日，游客人数为_________万人； (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元？ 3．国庆假期，某公园举办灯会，同时联动开展了科创、文创、观赏消费体验，吸引大批游客前来观赏．记9月30日前来灯会的游客人数为万人，接下来的七天假期中，每天的游客人数变化如下表（正号表示游客人数比前一天上升，负号表示游客人数比前一天下降）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数（万人） (1)第三天与9月30日的游客人数相比，是增加了还是减少了？增加（减少）了多少万人？ (2)求七天假期中平均每天的游客数； (3)这七天内游客人数最多的是10月______日． 4．“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 5．这么近，那么美，周末到河北！某景区为欢迎游客，开展无人机表演，无人机均在同一水平地面待机起飞，此时高度记为，在表演过程中，其中一架无人机起飞后的高度变化如下表： 表演操作 高度变化 记作 动作一 上升 动作二 下降 动作三 上升 动作四 下降 (1)完成动作一到动作四后，此时这架无人机比起飞点高了多少米？ (2)如果无人机每上升或下降需消耗2个单位电量，那么这架无人机在这四个动作表演过程中，一共消耗了多少个单位电量？ (3)如果这架无人机又一次做表演时，有4个新的规定动作，起飞后高度变化如下：上升，下降，再上升．若要使这架无人机最终比起飞点高出，则第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少米？ 【题型06 股票问题】 1．股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票股，每股元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期二收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？ 2．股民老李上星期五买进某股票1000股，每股35元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周星期五收盘时每股 元； (2)本周内最高价每股 元，最低价每股 元； (3)根据交易规则，老李买进股票时需付的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果老李在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 3．刘明的爸爸上周买进股票1000股，每股27元，下表为本周每天该股票的涨跌情况．（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？ (3)若刘明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 4．旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 5．某股票上周五的收盘价为元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价元记作元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作元．） (1)本周星期四此股票的收盘价是多少？ (2)若本周星期五此股票的收盘价为元，求的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 【题型07 比赛问题】 1．全班学生分成五个小组进行知识抢答比赛，每组的基本分是100分，答对1题加50分，答错1题扣50分，游戏结束时，其中四个小组的分数如下表：（单位：分） 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 100 150 m 350 (1)第二组的分数超过第五组多少分？ (2)五个小组中，成绩最低的两组分数相差50分，请推断m的值？ 2．习近平总书记强调：“加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志”．体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，扎实有效地开展了多项体育运动．本学期七年级学生在体育老师的组织下开展了一次定点投篮比赛，如下表为七年级某班人参加定点投篮比赛的情况记录，若标准数量为每人三分钟定点投篮投中个． 定点投篮投中个数与标准数量的差值 0 9 13 人数 7 8 8 5 (1)该班平均每人三分钟定点投篮投中多少个？ (2)规定定点投篮投中个数达到标准数量记分，超过标准数量，每多投1个加2分，每少投1个扣1分，求该班定点投篮总共获得多少分？ 3．七年级共选拔了6名同学参加《强国有我》主题朗诵比赛，评委老师以80分为标准，将分数超过标准分数的部分记为正数，不足的记为负数．以下是评分记录：（单位：分） (1)这6名同学中最高分比最低分高多少分？ (2)计算这6名同学的平均分数． 4．为增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校组织全校每个班级各派10位同学代表班级参加团体跳绳比赛活动，以1分钟跳180次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级3班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： (1)求七年级3班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动成绩采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准次数记“0”分．例如：1分钟跳绳182次记“”分，175次记“”分．学校将对总积分前六名的班级进行奖励，请计算七年级3班此次团体跳绳比赛的总积分． 5．问题背景：田径运动会的运动项目分为田赛、径赛两类，以高度或远度计算成绩的跳跃、投掷项目叫田赛，如跳高、跳远、铅球等，田赛在体育场跑道围成的场地里面或外面进行；以时间计算成绩的竞走和跑的项目叫径赛，径赛通常在体育场的跑道上进行． 规定：1．比赛终点在西北方向弯道与直道的交界处；2．运动员按逆时针方向进行比赛． 观察发现：田径场的每条跑道是由两条弯道和两条直道组成的（每条弯道是一个半圆，测得第一分道弯道的半径为36米），标准400米田径场的第一分道跑道的总长为400米，每道跑道的宽为1.25米．（取3.14） 提出问题： (1)一个标准400米跑道的每一条直道长是多少米？ (2)某次运动会比赛中，8名同学进入400米决赛，请问8名运动员的起跑点相同吗？若相同，请说明理由；若不同，请你求出第一、第二分道的运动员起跑点相距多少米． (3)若某学校只有300米跑道（即第一分道跑道的总长为300米，且弯道半径不变），如何划定第一分道跑道400米比赛的起跑线？画出示意图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数实际应用七题型归纳 【题型01 走向问题】.............................................1 【题型02 质量问题】.............................................6 【题型03 销售问题】.............................................13 【题型04 生产问题】.............................................19 【题型05 游客问题】.............................................24 【题型06 股票问题】.............................................29 【题型07 比赛问题】.............................................34 【题型01 走向问题】 1．某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下，（单位：米）： ． (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，5名队员在全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共使用了氧气多少升？ 【答案】(1)他们最终没有登上顶峰，离顶峰还差 (2) 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减混合运算的应用，有理数四则混合运算的应用，理解正负数在本题的实际意义是解题关键． （1）将题目中的数据加在一起与500进行比较即可解答本题； （2）将所有数据的绝对值加在一起，再乘以5乘以0.04即可解答本题． 【详解】（1）解∶ ， ． 所以他们最终没有登上顶峰，离顶峰还差； （2）解：， 答：他们共使用了氧气． 2．某科技公司研发了人工智能机器人，为了测试其稳定性，技术人员设置机器人从某定点O开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，． (1)通过计算说明机器人是否能回到起点O．若不能，请说明机器人此时是前进了还是后退了； (2)机器人离开出发点O最远时是多少米？ (3)在机器人行走过程中，如果每准确走1米得2分，则本次机器人一共得到多少分？ 【答案】(1)机器人没有能回到起点O，此时机器人前进了2米 (2)机器人离开出发点O最远时是10米 (3)本次机器人一共得到108分 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义及有理数的加减法，掌握正数和负数的意义和有理数加减法法则是解题的关键． （1）将题中给的数据分别相加，看是否为0，为0则回到起点； （2）分别计算机器人每走过一段路程后的位置与起点的距离，再比较大小即可； （3）计算绝对值的和，就是总路程，再乘以2，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 答：机器人没有能回到起点，此时机器人前进了2米； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴机器人离开出发点最远时是10米． 答：机器人离开出发点最远时是10米． （3）解：（米）， （分）， 答：本次机器人一共得到108分． 3．某出租车司机沿南北方向的公路载客，约定向北为正，向南为负．某天出租车司机自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：． (1)收工时在A地哪个方向？距离A地多远？ (2)若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时在A地北方？距离A地34千米 (2)12升 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用，解题的关键是∶ （1）约定向北为正，向南为负，依题意列式求出和即可； （2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，这与方向无关． 【详解】（1）解∶ ， ∴收工时在A地北方，距离A地34千米； （2）解∶ ， ， ∴从A地出发到收工共耗油12升． 4．为了有效控制酒后驾车，某交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，若规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为：（单位：千米） (1)此时，该交警如何向队长描述他所处的位置？ (2)如果每千米耗油0.1升，此时队长命令他马上返回出发点，则该交警这次巡逻（含返回）共耗油多少升？ 【答案】(1)交警在出发点以东6千米 (2)这次巡逻共耗油升 【分析】本题考查有理数的加法，乘法的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． （1）将所有数据进行相加，根据和的情况进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再加上返回的路程，最后乘以每千米的油耗即可． 【详解】（1）解： （千米）； 答：交警在出发点以东6千米； （2）解：交警所走总路程为： （千米）； （千米） 这次巡逻共耗油（升）； 答：这次巡逻共耗油升． 5．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负．今天司机的运气真好，没有空载过．行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)出租车离鼓楼出发点1，在鼓楼的东方 (2)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的应用，绝对值等知识．熟练掌握正负数的应用，有理数的混合运算的应用，绝对值是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，根据，计算求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴出租车离鼓楼出发点1，在鼓楼的东方； （2）解：由题意知，（元）， ∴司机一个下午的营业额是元． 6．出租车司机李师傅星期一上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是他上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 (1)李师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，李师傅开始营运前油箱里有7升油．若油箱里的油少于2升则需要加油，请通过计算说明李师傅这天上午中途是否可以不加油． 【答案】(1)李师傅走完第8次里程后，他在地的东面，离地有2千米 (2)李师傅这天上午中途可以不加油 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的意义，有理数运算的应用，灵活处理正数与负数的运算是解题的关键． （1）将所给的正数和负数求和即可求解； （2）将所给的数的绝对值求和，即为总里程数，再求耗油量从而进行判断即可． 【详解】（1）解：（千米）． 答：李师傅走完第8次里程后，他在地的东面，离地有2千米； （2）行驶的总路程： （千米）． 耗油量为（升）． （升）． ， 李师傅这天上午中途可以不加油． 【题型02 质量问题】 1．10袋小麦以每袋千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：，，，，，，，，，，与标准质量相比较， (1)这袋小麦总计超过或不足多少千克？ (2)袋小麦总质量是多少千克？ (3)有几袋是非常标准的？ 【答案】(1)这袋小麦总计超过（或不足）千克； (2)袋小麦总质量是千克； (3)有袋是非常标准的． 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是正确理解正负数的意义． （1）计算各袋小麦超过或不足的千克数总和即可； （2）用袋小麦的标准质量与（1）所得结果相加即可； （3）找出超过或不足的千克数为的袋数即可． 【详解】（1）解：（千克） 答：这袋小麦总计超过（或不足）千克． （2）解：（千克） 答：袋小麦总质量是千克． （3）解：，，，，，，，，，，中有个， 答：有袋是非常标准的． 2．现有一批花生共6袋，以每袋5kg为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下表．其中质量达到5kg的花生称为“达标花生”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差 -0.2 -0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 (1)这6袋花生中“达标花生”有_________袋，最重的一袋有__________kg． (2)若花生售价为40元，则出售这批花生总共多少元？ 【答案】(1)4，5.3 (2)出售这批花生总共1216元 【分析】（1）先根据正负数的概念判断“达标花生”和最重的一袋的质量. （2）计算每袋花生的实际质量，求出总质量，最后根据售价求出总销售额. 【详解】（1）解：由题意可得，“达标花生”为③④⑤⑥，共4袋， 最重的一袋为：（千克） 所以最重的一袋有千克. （2）解： （元） 答：出售这批花生总共1216元. 3．某一食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克，若标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？ 【答案】这批样品的平均质量比标准质量多，多1.2克，9024（克）． 【分析】本题考查了正负数的应用及有理数运算的应用，会理解正负数的意义是解决本题的关键． 根据表格中的数据计算与标准质量的差值的总数，再除以20，如果是正数，即多，如果是负数，即少；根据标准质量结合前边的结论进行计算抽样检测的总质量． 【详解】解：与标准质量的差值的和为，其平均数为，即这批样品的平均质量比标准质量多，多1.2克． 则抽样检测的总质量是（克）． 4．某宾馆餐厅购进10袋大米，若每袋以50千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： ． (1)根据记录，请求出一袋大米的平均质量； (2)若每千克大米的价格是2元，购进这10袋大米需要多少钱． 【答案】(1)一袋大米的平均质量为 (2)购进10袋大米需要998元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）求出记录数据的代数和，得出10袋大米的总质量，再除以10即可求解； （2）将10袋大米的总质量乘以每千克大米的价格，即可解答． 【详解】（1）解： 答：一袋大米的平均质量为； （2）解：（元） 答：购进10袋大米需要998元． 5．妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【答案】(1)795，805 (2)袋分别标记为：，，，，，1． 【分析】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量的差值并用正负数表示，进而判断是否合格． （1）理解“”在“”中的含义，即表示在基础上可上下浮动，分别通过计算下限，计算上限，从而确定面粉重量范围． （2）以为标准，用每袋面粉实际质量减去得到差值，差值为正记为“” 、为负记为“” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的合格范围，判断超出此范围的袋数． 【详解】（1）(克) (克) 答：这段文字表示这袋面粉的重量在和之间． 故答案为：795；805． （2）1号袋：，1号袋面粉的质量是，1号袋面粉合格． 2号袋：，2号袋面粉的质量是，2号袋面粉合格． 3号袋：，3号袋面粉的质量是，3号袋面粉合格． 4号袋：，4号袋面粉的质量是，4号袋面粉不合格． 5号袋：，5号袋面粉的质量是，5号袋面粉合格． 所以，这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 6．七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了9筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： (1)有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？ (2)这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ (3)请你计算这9筐苹果一共多少千克？ 【答案】(1)4，5 (2) (3) 【分析】本题考查正负数的实际意义及有理数混合运算的实际应用； （1）根据超过标准的为正数，不足标准的为负数，即可判断得解 （2）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案； （3）先计算总质量，再根据单价乘以数量等于总价，可得答案． 【详解】（1）质量超过标准质量有：，共4筐 质量不足标准质量有：，共5筐 故有4筐苹果的质量超过标准质量，有5筐苹果的质量不足标准质量； （2） ∴（千克） 故这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重千克 （3） （千克） （元） 出售这9筐苹果一共元 7．有20箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 1 2 5 3 4 2 3 (1)最重的一箱比最轻的一箱重 千克． (2)求这20箱苹果的总质量． (3)若这批苹果的批发价是7元/千克，售价是12元/千克，运输和出售过程中有10%的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 【答案】(1)1； (2)这20箱苹果的总质量为201.7千克； (3)出售这20箱苹果能盈利766.46元． 【分析】本题主要考查有理数的四则运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得：最重的一箱比最轻的一箱重的千克数，然后进行计算即可解答； （2）根据有理数的乘法，加法法则进行计算，即可解答； （3）根据总售价﹣总进价，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： （千克）， ∴最重的一箱比最轻的一箱重1千克， 故答案为：1； （2）解： （千克）， ∴ （千克）， 答：这20箱苹果的总质量为201.7千克； （3）解： （元）， 答：出售这20箱苹果能盈利766.46元． 8．现有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示．记录如表： 与标准质量的差值 0 2 2.5 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 (1)若与标准质量相比，差距在千克以内，都是合格的，则合格有 箱． (2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克进价为3元，售价为元，则这箱苹果全部售出共可获利多少元？ 【答案】(1)合格有10箱； (2)超过千克 (3)元 【分析】（1）化简每一箱与标准质量的差值的绝对值，再与千克进行比较，即可作答．； （2）将这15个数据相加，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负表示总计不足标准质量，再求绝对值即可； （3）先求得15箱苹果的总质量，再乘元即可． 本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，绝对值的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】（1）解：依题意， ∵差距在千克以内，都是合格的，且 ∴（箱） ∴合格有箱； 故答案为：10． （2）解：（千克）． 答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克； （3）解：（千克） （元）． 答：这15箱苹果全部售出共可获利元． 9．张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 3 5 1 4 5 2 (1)这20箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 【答案】(1)千克 (2) (3)多2千克 【分析】（1）根据表格数据用最重的一箱的重量减去最轻的一箱的重量，即可求解． （2）求出与标准质量差的绝对值与0.2比较即可； （3）箱数乘以与标准质量差，然后累计相加即可． 本题考查正数与负数，绝对值，有理数的减法运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： （千克）， ∴最重的一箱和最轻的一箱相差千克； （2）解：由题意得： ∴合格的有（箱）， 故合格率为：； （3）解： （千克）， 答：这批样品总质量比标准质量多2千克． 【题型03 销售问题】 1．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差辆 +4 -3 +15 -5 -8 +21 -6 (1)本周实际销售总量是否达到了计划量？ (2)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得4元．若每日超额完成任务，则超过部分每辆另奖1.5元；若每日未完成计划，则少销售一辆扣2元，那么该店铺销售人员本周工资总额是多少元？ 【答案】(1)本周实际销售总量达到了计划量，理由见解析 (2)该店铺的销售人员这一周的工资总额是2888元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的实际应用，解决本题的关键是结合已知条件列出正确的算式. （1）把增减的量都相加，然后根据有理数的运算法则进行计算，即可得到结论. （2）将总数量乘以价格解答即可. 【详解】（1）解：本周实际销售总量达到了计划量.理由如下： （辆）． 因为，所以本周实际销售总量达到了计划量． （2）（元）． 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是2888元． 2．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也实行了网上销售，小明原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数加减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）与计划量的差值为正，且数字部分最大的一天为销售量最多的一天，与计划量的差值为负，且数字部分最大的一天为销售量最少的一天，据此求解即可； （2）把这7天与计划量的差值相加，若结果为非负，则达到了计划量，为结果为负，则没有达到计划量； （3）根据题意可知一斤冬枣可收入元，再求出一共卖的冬枣数即可得到答案． 【详解】（1）解：斤， ∴销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤； （2）解： ， 答：本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解： 元， 答：小明本周一共收入元． 3．江津青花椒闻名重庆，小宇把自家种的青花椒放到网上销售，计划每天销售200千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小宇第一周青花椒的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 青花椒销售超过或不足计划情况（单位：千克） (1)小宇第一周销售青花椒最多的一天比最少的一天多销售_____千克； (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是多少千克？ (3)若小宇按45元/千克进行青花椒销售，平均运费为5元/千克，每天需支出销售费用100元，则小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是1416千克 (3)小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入55940元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）表格中的最大值减去最小值即可得出结果； （2）计划每天销量乘以天数，再加上表格中的数据之和，即可得出结果； （3）用总售价减去总运费减去总的销售费用，进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克）； 故答案为：22； （2）（千克）； 答：小宇第一周实际销售青花椒的总量是1416千克； （3）（元）； 答：小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入55940元． 4．随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的李明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但实际第天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出多少斤？ (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若冬枣每斤按7元出售，每斤的运费平均2元，那么李明本周共收入多少元？ 【答案】(1)根据记录的数据可知前三天共卖出297斤 (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售33斤 (3)李明本周共收入3585元 【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解答此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）将总数量乘以价格差解答即可． 【详解】（1）解：（斤）， ∴根据记录的数据可知前三天共卖出297斤； （2）解：， ∴根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售33斤； （3）解：（元）， ∴李明本周共收入3585元． 5．某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据求前五天共卖出多少箱？ (2)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支付运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元？ 【答案】(1)45箱 (2)5680元 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数加减混合运算的应用；关键在于掌握正负数在实际生活中的计数应用，并利用有理数加减法进行简单的计算． （1）由题知预设前五天共卖出50箱，再加上前五天每天多售出的与不足的量即可得； （2）根据收入销售额运费即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，前五天共卖出： （箱）， （2）解：由题意知，本周实际销售总量为（箱）， 本周共收入为元． 6．随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 【答案】(1)销售量最多的比最少的多30千克 (2)李明本周销售额7832元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用： （1）用表中最大的数减去最小的数即可； （2）与表中数据相加，可得这一周销量，乘以每千克售价与网络平台费用之差，即可得销售额． 【详解】（1）解： （千克）， 答：销售量最多的比最少的多30千克； （2）解： （元） 答：李明本周销售额7832元． 7．在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出________千克； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？（总收入总销售额总运费） 【答案】(1)448千克 (2)26千克 (3)5395元 【分析】此题考查了正数与负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出前三天卖出的斤数，相加即可； （2）找出卖出最多的与最少的斤数，相减即可； （3）把表格中的数据相加，再根据题意列出算式，计算即可求出值． 【详解】（1）解：（千克）． 故前三天共卖出448千克； （2）（千克）． 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）， 故本周实际销量达到了计划销量． （元）． 答：小刘本周一共收入5395元． 【题型04 生产问题】 1．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车（周六、周日放假不生产），由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表（单位：辆，增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 增减 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ (2)本周共生产了多少辆摩托车？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产114辆 (2)本周共生产了1465辆摩托车 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，关键是要牢记正负数可以表示具有相反意义的量． （1）最多的一天减去最少的一天的量即可得出答案； （2）根据题意以及有理数的加法法则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（辆）， 则产量最多的一天比产量最少的一天多生产114辆． （2）解： （辆） 答：本周共生产了1465辆摩托车 2．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况（单位：辆）如下表：（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 增减 (1)本周三生产了摩托车多少辆？ (2)本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 【答案】(1)335辆 (2)减少35辆 (3)114辆 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加减法运算实际应用． （1）用每天计划生产的数量加上星期三的数据可得答案； （2）把表格中这七天的数据相加，若结果为正则增加，为负则减少； （3）产量最多的一天是星期四，产量最少的一天是星期二，把这两天的数据相减即可得到答案． 【详解】（1）解：（辆）． 答：本周三生产了摩托车335辆． （2）解：（辆）． 答：本周总生产量与计划生产量相比减少了35辆． （3）解：（辆）． 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产了114辆． 3．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每周计件工资制”．小颖本周工资是多少？ 【答案】(1)23 (2)191 (3)元 【分析】本题考查了正数与负数，有理数的混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据记录可知，小颖星期二生产玩具（个）； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）用基本工资加上奖励工资即可求出本周工资． 【详解】（1）解：小颖星期二生产玩具（个）； 故答案为：23； （2）解：本周实际生产玩具：（个）； 故答案为：191； （3）解：由题意得，（元）， 答：每周计件工资制，小颖本周的工资总额是元． 4．某自行车厂计划一周生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车80元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)20辆 (2)56900元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义求得实际生产自行车的数量，然后根据已知条件列式计算即可． 【详解】（1）解：（辆， 即产量最多的一天比产量最少的一天多生产20辆； （2）解：（辆）， 那么这一周实际共生产自行车（辆， 则（元， 即该厂工人这一周的工资总额为56900元． 5．人工智能（）和民用无人机的迅速发展，大大提高了人们的生产效率．我区某草莓采摘园引进新设备改进工作流程，利用无人机监控草莓生长情况．无人机以监控中心为原点，在东西方向往返巡查，若规定向东为正方向，记录该无人机的10次巡查飞行数据如下（单位：米）： ． 根据以上信息回答问题： (1)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (2)已知无人机飞行一段时间以后需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机是否回到监控中心？如果不是，该无人机还需要向哪个方向飞行多少米才能回到监控中心？ 【答案】(1)1700米 (2)没有回到监控中心，需要向西飞行200米回到监控中心 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）要求无人机一共飞行的距离，只需要将每次飞行的距离的绝对值相加即可； （2）将所有飞行数据相加，若结果为0，则回到监控中心，若结果为正，则在东方，若结果为负，则在西方，其绝对值就是距离监控中心的距离． 【详解】（1）解：由题意得（米）， 答：无人机在这10次巡查中一共飞行了1700米； （2）解：（米）， 答：无人机在监控中心东边200米处，没有回到监控中心，需要向西飞行200米回到监控中心． 6．某洗衣粉厂生产的每袋洗衣粉的标准质量为450克，该厂质检员对随机选取的20袋洗衣粉进行检测，记超过或不足标准质量的部分为“”和“”，记录如下表所示．每袋的质量在克为合格． 袋数（袋） 1 1 1 6 5 2 4 超过或不足（克） 0 (1)求这20袋洗衣粉的平均质量； (2)求这20袋洗衣粉的合格率； (3)厂家规定不合格产品不能出厂销售，每袋洗衣粉的售价为2.3元．该厂上周共生产2000袋洗衣粉，其合格率恰好与（2）中数据一致，若将上周生产的洗衣粉全部售完，求销售的总金额． 【答案】(1)克 (2) (3)元 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据已知条件，并结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：这袋洗衣粉的平均质量 （克）， 这袋洗衣粉的平均质量为克； （2）解：由题意可得：只有对应的洗衣粉不合格，则合格的共有袋， ， 这袋洗衣粉的合格率为； （3）解：（元）， 销售的总金额为元． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，有理数除法的应用，有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，根据已知条件正确列出算式并计算是解题的关键． 【题型05 游客问题】 1．我市旅游局发布统计报告：国庆期间，瘦西湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化单位：万人 若9月30日的游客人数为万人， (1)国庆期间瘦西湖风景区一共接待游客多少万人？ (2)若门票为每人100元，那么国庆期间瘦西湖风景区门票收入是多少万元？ 【答案】(1)15.2； (2)1520． 【分析】（1）先求出10月1日—10月7日每一天的人数，再求出总人数即可； （2）根据票价格和总人数列式计算即可． 本题考查了有理数运算的应用，正确理解题意、列出算式是关键． 【详解】（1）解： 10月1日的游客人数为 (万人)； 10月2日的游客人数为(万人)； 10月3日的游客人数为 (万人)； 10月4日的游客人数为 (万人)； 10月5日的游客人数为 (万人)； 10月6日的游客人数为 (万人)； 10月7日的游客人数为 (万人)． ∴（万人） 即国庆期间瘦西湖风景区一共接待游客万人； （2）（万元） 答：国庆期间瘦西湖风景区们票收入是万元． 2．“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为200元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为_________万人； (2)七天内游客人数最多的是10月_________日，游客人数为_________万人； (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元？ 【答案】(1)2.7 (2)3，3 (3)2960万元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的应用： （1）根据所给数据列加减算式计算可得答案； （2）求出7天中每天的游客人数，比较大小即可； （3）将7天游客人数相加，乘以200即可． 【详解】（1）解：10月4日的游客人数为：（万人）， 故答案为：2.7； （2）解：由题意知， 10月1日的游客人数为：（万人）， 10月2日的游客人数为：（万人）， 10月3日的游客人数为：（万人）， 10月4日的游客人数为：（万人）， 10月5日的游客人数为：（万人）， 10月6日的游客人数为：（万人）， 10月7日的游客人数为：（万人）， 由， 可知七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3万人， 故答案为：3，3； （3）解：由（2）可知，“十一”期间所有游客数量为： （万人）， （万元）， 答：“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是2960万元． 3．国庆假期，某公园举办灯会，同时联动开展了科创、文创、观赏消费体验，吸引大批游客前来观赏．记9月30日前来灯会的游客人数为万人，接下来的七天假期中，每天的游客人数变化如下表（正号表示游客人数比前一天上升，负号表示游客人数比前一天下降）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数（万人） (1)第三天与9月30日的游客人数相比，是增加了还是减少了？增加（减少）了多少万人？ (2)求七天假期中平均每天的游客数； (3)这七天内游客人数最多的是10月______日． 【答案】(1)10月3日的人数增多了，增加万人； (2)七天假期中平均每天的游客数为：万人； (3)6 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用： （1）分别求出前三天的游客数量，再与9月30日比较即可得出结果； （2）分别求解每一天的游客数量，再用游客总量除以7进行计算即可． （3）根据（2）的计算结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，10月1日的人数为：万人； 10月2日的人数为：万人； 10月3日的人数为：万人； ∴， 故10月3日的人数增多了，增加万人； （2）解：由题意，10月1日的人数为：万人； 10月2日的人数为：万人； 10月3日的人数为：万人； 10月4日的人数为：万人； 10月5日的人数为：万人； 10月6日的人数为：万人； 10月7日的人数为：万人； ∴七天假期中平均每天的游客数为： （万人）； （3）解：由（2）得：七天内游客人数最多的是10月6日，万人． 4．“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 【答案】(1)3.5 (2)万人 (3)1270万元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用． （1）用1万加上10月2号变化的人数即可； （2）用记录数据最多的一天减去最少的一天即可； （3）先求出所记录数据变化的人数，加上7天的标准人数，求出出总人数，再乘以100即可． 【详解】（1）解：万人， 故答案为：3.5； （2）解：由题意，得： （万人）， 答：黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多万人． （3）解： （万人）， （万人）， （万元）， 答：黄金周期间该乐园的门票收入是1270万元． 5．这么近，那么美，周末到河北！某景区为欢迎游客，开展无人机表演，无人机均在同一水平地面待机起飞，此时高度记为，在表演过程中，其中一架无人机起飞后的高度变化如下表： 表演操作 高度变化 记作 动作一 上升 动作二 下降 动作三 上升 动作四 下降 (1)完成动作一到动作四后，此时这架无人机比起飞点高了多少米？ (2)如果无人机每上升或下降需消耗2个单位电量，那么这架无人机在这四个动作表演过程中，一共消耗了多少个单位电量？ (3)如果这架无人机又一次做表演时，有4个新的规定动作，起飞后高度变化如下：上升，下降，再上升．若要使这架无人机最终比起飞点高出，则第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少米？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了； (2)这架无人机在这四个动作表演过程中，一共消耗了个单位电量； (3)第4个动作是下降，下降高度． 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，弄清题意是解本题的关键． （1）根据表格列出算式，计算即可得到结果； （2）求出表格中数据绝对值之和，再乘以2即可得到结果； （3）根据题意求出三次动作后的高度，结合这架无人机最终比起飞点高出，即可做出判断． 【详解】（1）解：， 答：此时这架飞机比起飞点高了； （2）解：， ， 答：这架无人机在这四个动作表演过程中，一共消耗了个单位电量； （3）解：， 故第4个动作是下降，下降高度． 【题型06 股票问题】 1．股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票股，每股元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期二收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？ 【答案】(1)元 (2)本周内最高价是每股元，最低价每股元 【分析】本题考查正数和负数、有理数的加减混合运算， （1）本题先根据题意列出式子解出结果即可； （2）根据要求列出式子解出结果即可； 解题的关键是在解题时要注意运算数序及符号． 【详解】（1）解：星期二收盘时，每股价是：（元）， ∴星期二收盘时，每股是元； （2）星期一收盘时，每股价是：（元）， 星期二收盘时，每股价是：（元）， 星期三收盘时，每股价是：（元）， 星期四收盘时，每股价是：（元）， 星期五收盘时，每股价是：（元）， 又∵， ∴本周内最高价是每股元，最低价每股元． 2．股民老李上星期五买进某股票1000股，每股35元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周星期五收盘时每股 元； (2)本周内最高价每股 元，最低价每股 元； (3)根据交易规则，老李买进股票时需付的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果老李在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)； (3)他的收益为元 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，有理数的乘法运算的应用，在实际应用中，有时需要根据记数的基准先把实际的量进行转化，然后用正数和负数来表示相关的数量.本题就是正负数的实际应用，同时结合利润问题进行考查，明确买入和卖出费用是解题的关键． （1）利用正数和负数的意义，将星期一到星期五的涨跌相加，可得到星期五收盘时每股的价格； （2）分别计算出星期一到星期五每天的股价，然后比较大小即可； （3）先计算出以星期五收盘前每股的价格卖出所得，然后再计算买进股票所需费用，然后求出它们的差即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元） 故星期五收盘时，每股元； （2）解：星期一收盘时每股价格为：（元）； 星期二收盘时每股价格为：（元）； 星期三收盘时每股价格为：（元）； 星期四收盘时每股价格为：（元）； 星期五收盘时每股价格为：（元）； ， 本周内最高价是每股元，最低价每股元； （3）解：星期五收盘前将全部股票卖出所得为： （元） 买进股票的费用为： （元） （元） 答：他的收益为元． 3．刘明的爸爸上周买进股票1000股，每股27元，下表为本周每天该股票的涨跌情况．（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？ (3)若刘明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 【答案】(1)28元 (2)本周内每股最高价30.5元，最低价28元 (3)会获利，获利3000元 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数的混合运算，正确理解题意并正确列出算式是解题关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）分别计算本周内每天的股价，比较即可获得答案； （3）结合（2）可知周五的收盘价大于买入价，然后计算获利即可． 【详解】（1）解：元， ∴星期三收盘时，每股是28元； （2）星期一股票价格为：元， 星期二股票价格为：元， 星期三股票价格为：元， 星期四股票价格为：元， 星期五股票价格为：元， ∵， ∴本周内每股最高价30.5元，最低价28元； （3）由（2）可知，周五的收盘价为30元， ∵， ∴会获利， 又∵元， ∴他会获利3000元． 4．旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股元 (2)赚了元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义求得每天的实际股价，从而得出答案； （2）结合（1）中所求及已知条件列式计算即可． 【详解】（1）解：星期一的股价：元， 星期二的股价：元， 星期三的股价：元， 星期四的股价：元， 星期五的股价：元， 则本周内最高价是每股元，最低价是每股元； （2） 元， 即他的收益情况为赚了元． 5．某股票上周五的收盘价为元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价元记作元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作元．） (1)本周星期四此股票的收盘价是多少？ (2)若本周星期五此股票的收盘价为元，求的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 【答案】(1)元 (2)星期五此股票跌了，跌了元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法运算的应用； （1）根据题意将星期一到星期四的涨跌情况相加再加上上周五的收盘价，即可求解； （2）根据（1）的结论加上等于，根据有理数的减法计算，结合正负数的意义即可求解． 【详解】（1）解：上周五的收盘价为元， 周四收盘价：元． （2）由（1）中求出的周四收盘价，及周五收盘价得： ， 故星期五此股票跌了，跌了元． 【题型07 比赛问题】 1．全班学生分成五个小组进行知识抢答比赛，每组的基本分是100分，答对1题加50分，答错1题扣50分，游戏结束时，其中四个小组的分数如下表：（单位：分） 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 100 150 m 350 (1)第二组的分数超过第五组多少分？ (2)五个小组中，成绩最低的两组分数相差50分，请推断m的值？ 【答案】(1)250分 (2)或 【分析】本题考查有理数的减法，正确记忆计算法则是解题关键． （1）由第二组的分数减去第四组分数即可； （2）成绩最低的两组一定有第五组，据此求与的差是的数即可. 【详解】（1）（分） 答：第二组的分数超过第四组250分． （2）由题意可知成绩最低的两组为第三组和第五组， 当第五组比第三组高50时， 当第五组比第三组低50时， 所以，m的值为或． 2．习近平总书记强调：“加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志”．体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，扎实有效地开展了多项体育运动．本学期七年级学生在体育老师的组织下开展了一次定点投篮比赛，如下表为七年级某班人参加定点投篮比赛的情况记录，若标准数量为每人三分钟定点投篮投中个． 定点投篮投中个数与标准数量的差值 0 9 13 人数 7 8 8 5 (1)该班平均每人三分钟定点投篮投中多少个？ (2)规定定点投篮投中个数达到标准数量记分，超过标准数量，每多投1个加2分，每少投1个扣1分，求该班定点投篮总共获得多少分？ 【答案】(1)该班平均每人三分钟定点投篮投中个 (2)该班定点投篮总共获得分 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的四则运算的应用，理解题意，正确列式计算是解答的关键． （1）根据正负数的意义，将表格中的数据相加，进而可求解； （2）根据正负数的意义，结合规定列式求解即可． 【详解】（1）解： （个）， （个）． 答：该班平均每人三分钟定点投篮投中个． （2）解：（分） 答：该班定点投篮总共获得分． 3．七年级共选拔了6名同学参加《强国有我》主题朗诵比赛，评委老师以80分为标准，将分数超过标准分数的部分记为正数，不足的记为负数．以下是评分记录：（单位：分） (1)这6名同学中最高分比最低分高多少分？ (2)计算这6名同学的平均分数． 【答案】(1)最高分比最低分高18分 (2)这6名同学的平均分数为分 【分析】本题考查的是正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握这几点的是解题的关键． （1）求这6名学生的评分记录中最大的数和最小的数的差即可解答； （2）求出6个评分记录的平均值再加上80，即可． 【详解】（1）解：， 答：最高分比最低分高18分； （2）解：， 答：这6名同学的平均分数为分． 4．为增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校组织全校每个班级各派10位同学代表班级参加团体跳绳比赛活动，以1分钟跳180次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级3班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： (1)求七年级3班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动成绩采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准次数记“0”分．例如：1分钟跳绳182次记“”分，175次记“”分．学校将对总积分前六名的班级进行奖励，请计算七年级3班此次团体跳绳比赛的总积分． 【答案】(1)178 (2)11 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，有理数的混合运算，掌握平均数的计算方法以及有理数混合运算法则是正确解答的关键． （1）根据平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据积分规则计算得分即可． 【详解】（1）解： （次） 答：七年级3班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数为178个 （2）解： （分） 答：七年级3班此次团体跳绳比赛的总积分为11分． 5．问题背景：田径运动会的运动项目分为田赛、径赛两类，以高度或远度计算成绩的跳跃、投掷项目叫田赛，如跳高、跳远、铅球等，田赛在体育场跑道围成的场地里面或外面进行；以时间计算成绩的竞走和跑的项目叫径赛，径赛通常在体育场的跑道上进行． 规定：1．比赛终点在西北方向弯道与直道的交界处；2．运动员按逆时针方向进行比赛． 观察发现：田径场的每条跑道是由两条弯道和两条直道组成的（每条弯道是一个半圆，测得第一分道弯道的半径为36米），标准400米田径场的第一分道跑道的总长为400米，每道跑道的宽为1.25米．（取3.14） 提出问题： (1)一个标准400米跑道的每一条直道长是多少米？ (2)某次运动会比赛中，8名同学进入400米决赛，请问8名运动员的起跑点相同吗？若相同，请说明理由；若不同，请你求出第一、第二分道的运动员起跑点相距多少米． (3)若某学校只有300米跑道（即第一分道跑道的总长为300米，且弯道半径不变），如何划定第一分道跑道400米比赛的起跑线？画出示意图． 【答案】(1)86.96米 (2)7.85米 (3)见解析 【分析】本题主要考查几何图形周长的计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图示，结合圆的周长的计算即可； （2）根据圆的周长的计算，数形结合分析即可； （3）算出直道和弯道的长，再数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：两条弯道总长为（米）， 两条直道总长为（米）， 每条直道长为（米）， 答：每条直道的长为86.96米； （2）解：他们的起跑点不同． 方法一：第二道的弯道总长为（米）， 第二道总长为（米）， 已知第一道总长为400米  ， （米）， 答：第一道和第二道之间相距7.85米． 方法二：第二道的弯道总长为（米）， 第一道弯道总长为（米）， （米）， 答：第一道和第二道之间相距7.85米； （3）解：（米）， 两条弯道总长为（米）， 每条弯道长为（米）， 两条直道总长为（米）， 每条直道长为（米）， （米）， 起跑点划定在距离弯道中心3.52米处，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$