专题01 与圆锥曲线相关的轨迹方程问题5种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题01与圆锥曲线相关的轨迹方程问题 目录 类型一、定义法求圆锥曲线的方程 类型二、直接法求曲线的轨迹方程 类型三、参数法求曲线的轨迹方程 类型四、相关点法求曲线的轨迹方程 类型五、点差法求曲线的轨迹方程 压轴专练 类型一、定义法求圆锥曲线的方程 定义法求曲线的轨迹方程 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程. （1）平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数这个动点的轨迹叫椭圆 （2）我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小 ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支 ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支 （3）平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 例1．（多选）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程； 类型二、直接法求曲线的轨迹方程 1.直接法求曲线的轨迹方程一般步骤为： ①建系，建立适当的坐标系； ②设点，设轨迹上的任一点； ③列式，列出动点所满足的关系式； ④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为，的方程式，并化简； ⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 2. 注意事项 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，由于化简过程破坏了方程的同解性，因此要注意补上遗漏的点或去掉多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(需标注变量的取值范围)． 例2、在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ． 变式2-1．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A．B． C． D． 变式2-2．已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 类型三、参数法求曲线的轨迹方程 参数法求曲线的轨迹方程的解题思路： 当动点坐标，之间的直接关系难以找到时，往往寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标，与该参数的函数关系，，进而通过消参化为轨迹的普通方程. 例3．平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 变式3-1．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同的两点，线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 变式3-2．椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为 ． 变式3-3．求以为准线，且，对称中心在圆上的椭圆右焦点的轨迹方程． 类型四、相关点法求曲线的轨迹方程 动点依赖于已知轨迹上的点的变化而变化，并且 又在某已知曲线上即点的位置唯一决定了动点的位置。步骤如下 ①设出动点坐标 ②根据条件找出与用的代数式表示 ③再将代入已知相关点曲线方程中，可以得动点的轨迹方程 例4．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 变式4-1．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 变式4-3．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 类型五、点差法求曲线的轨迹方程 求直线与圆锥曲线的相交弦的中点的轨迹方程 例5．已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 变式5-1．如果抛物线的切线交等轴双曲线于两点，求线段中点的轨迹方程. 变式5-2．已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 变式5-3．已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 变式5-4．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程. 轴专练 1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 6．已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 7．已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 8．已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 9．已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    12．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 13．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 14．已知椭圆与动直线相交于两点． (1)求实数的取值范围； (2)设弦的中点为，求动点的轨迹方程． 15．已知中，所对应的边为，且成等差数列，，求顶点的轨迹方程． 16．已知圆． (1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程； (2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01与圆锥曲线相关的轨迹方程问题 目录 类型一、定义法求圆锥曲线的方程 类型二、直接法求曲线的轨迹方程 类型三、参数法求曲线的轨迹方程 类型四、相关点法求曲线的轨迹方程 类型五、点差法求曲线的轨迹方程 压轴专练 类型一、定义法求圆锥曲线的方程 定义法求曲线的轨迹方程 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程. （1）平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数这个动点的轨迹叫椭圆 （2）我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小 ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支 ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支 （3）平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 例1．（多选）一动圆与都相切，则动圆圆心的轨迹方程可能情形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求出圆、圆的圆心坐标和半径，讨论圆与两圆的位置关系，结合双曲线的定义可得结果. 【详解】由题意得，圆方程可化为，故，圆半径， 圆方程可化为，故，圆半径， ∴两圆的圆心距， 由得两圆相离，设动圆的半径为，圆心.    ①如图1，当动圆与圆外切，与圆内切时，，故， 根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，其中，故， ∴点的轨迹方程为，选项D正确. ②如图2，当动圆与圆内切，与圆外切时，，故， 此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，结合①可知点的轨迹方程为，选项C正确.    ③如图3，当动圆与圆均外切时，，故， 此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，其中，故， ∴点的轨迹方程为，选项A正确. ④如图4，当动圆与圆均内切时，，故， 此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，结合③可知点的轨迹方程为，选项B错误. 故选：ACD. 变式1-1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 变式1-2．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据圆过点及与圆B外切得，利用双曲线的定义即可求解轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为． 故选：A 变式1-3．已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程； 【答案】 【分析】法1：利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解；法2：利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 【详解】法1：设 因为，所以，即． 又，所以，所以， 即点的轨迹的方程为． 法2：如图，设关于的对称点为，由已知得，互相垂直平分， 所以四边形为菱形，所以． 因为为中点，所以，即点在定直线上， 因为，所以与直线垂直， 即点到定点的距离等于点到定直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 所以点的轨迹的方程为． 类型二、直接法求曲线的轨迹方程 1.直接法求曲线的轨迹方程一般步骤为： ①建系，建立适当的坐标系； ②设点，设轨迹上的任一点； ③列式，列出动点所满足的关系式； ④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为，的方程式，并化简； ⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 2. 注意事项 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，由于化简过程破坏了方程的同解性，因此要注意补上遗漏的点或去掉多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(需标注变量的取值范围)． 例2、在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据题设斜率之积为列式化简即可. 【详解】设点的坐标为，则，， 所以， 整理可得． 故答案为： 变式2-1．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】设，其中，表示为，整理化简得点的轨迹方程. 【详解】设，其中，则，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 变式2-2．已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，根据可得，代入即可求解. 【详解】设，，则， 所以，， 因为，所以，所以， 因为在圆上，所以， 所以，即， 因为点是圆上异于，的动点，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：. 变式2-3．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】将点，代入椭圆方程，两式相加，代入斜率的坐标公式可得，再代入中点的坐标公式化简即可求解. 【详解】因为点，在椭圆：上，所以， 两式相加可得，即， 又因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 所以， 设中点为，则，， 所以，即， 即中点的轨迹方程为， 故答案为： 类型三、参数法求曲线的轨迹方程 参数法求曲线的轨迹方程的解题思路： 当动点坐标，之间的直接关系难以找到时，往往寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标，与该参数的函数关系，，进而通过消参化为轨迹的普通方程. 例3．平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】设，，由三等分点关系可得，根据的位置特征可设，，从而可得的坐标（用表示），故可求点的轨迹方程. 【详解】 解：设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 变式3-1．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同的两点，线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设直线的方程为，设，，然后联立直线方程与抛物线方程，运用韦达定理得到，继而得出，再根据中点坐标公示得出点的坐标，消去参数得到轨迹方程. 【详解】设直线的方程为，设，， 联立，得，则, 所以，， 由中点坐标公式得：， 则由消去得，得点的轨迹方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直译法求动点的解轨迹方程问题，解答的一般思路如下： （1）设出所求点的坐标； （2）将题干条件中的等量关系或几何关系转化为所设未知量的方程； （3）化简整理，若含有参量，消去参数即可. 变式3-2．椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，由条件可得，构造参数方程求解. 【详解】，，则，整理得，线段中点的坐标为 所以有，即线段中点的轨迹方程为． 故答案为：． 变式3-3．求以为准线，且，对称中心在圆上的椭圆右焦点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设椭圆对称中心，右焦点，分别求出与，与的关系，再根据在圆上，即可得解. 【详解】解：设椭圆对称中心，右焦点， 由椭圆的几何特征得， 又， ，则， 又因，故， 代入圆的方程得， 所求轨迹为以为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆．， 即椭圆右焦点的轨迹方程为． 类型四、相关点法求曲线的轨迹方程 动点依赖于已知轨迹上的点的变化而变化，并且 又在某已知曲线上即点的位置唯一决定了动点的位置。步骤如下 ①设出动点坐标 ②根据条件找出与用的代数式表示 ③再将代入已知相关点曲线方程中，可以得动点的轨迹方程 例4．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，设，PF的中点，从而得到方程组，利用代入法求出轨迹方程. 【详解】抛物线的标准方程是，故， 设，PF的中点， ∴， 因为，所以，即． 故选：C 变式4-1．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 变式4-2．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，，找到两点坐标之间的关系，代入椭圆方程化简即得，注意点C不能在轴上. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则短轴在轴上，所以，． 设，，由为的重心，得则 又为椭圆上一动点，所以，即，所以． 当点在轴上时，不能构成三角形，所以，则， 即点的轨迹方程为． 故答案为：． 变式4-3．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果. 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 类型五、点差法求曲线的轨迹方程 求直线与圆锥曲线的相交弦的中点的轨迹方程 例5．已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设M，，由点差法可得，然后注意到，可得轨迹方程. 【详解】设M，. 则，两式相减可得： ， 因，则，其中O为坐标原点. 又注意到，则. 又AB斜率不存在时，为，满足； AB斜率为0时，为，满足. 综上，轨迹方程为：. 变式5-1．如果抛物线的切线交等轴双曲线于两点，求线段中点的轨迹方程. 【答案】 【分析】通过抛物线的切点求出切线方程，再根据双曲线的中点求出弦方程，利用两方程表示同一条直线得到坐标关系，最后结合切点在抛物线上得出中点的轨迹方程. 【详解】设与抛物线的切点为，的中点为， 因是抛物线切于的切线， 则方程：.① 同时是双曲线以，为中点的弦， 易求方程为.② ①②同一条直线，所以有， 从而：③ 但点在抛物线上，所以有. 将③代入得， 以代换动点的坐标得所求方程为. 变式5-2．已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在双曲线上，离心率的定义和的关系列方程组可得； （2）直曲联立，由韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为． （2）设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为． 变式5-3．已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，其中或 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； （2）易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且． 由韦达定理，得． 所以，． 由消去k，得． 由且，得或． 所以，点M的轨迹方程为，其中或． 变式5-4．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程. 【答案】 【分析】求出直线过的定点，设出三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间的关系将定点坐标代入化简可得中点的轨迹方程. 【详解】设直线为，设， 由，得， 因为点在抛物线上， 所以， 所以，解得或（舍去）， 由，得， 由，得， 则，得， 所以直线恒过定点， 设，则， 因为点在抛物线上， 所以， 两式相减得， 当时，，即， 因为直线恒过定点，所以， 所以，所以， 当，亦满足上式 所以所求为. 轴专练 1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B 2．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，又， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 3．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 4．平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大， 则， 当时，则有，即， 等式两边平方整理可得； 当时，则有，即， 等式两边平方可得. 综上所述，点的轨迹方程为或. 故选：D. 5．已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 6．已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 则，， 所以方程为； 如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的双曲线， 则，， 所以方程为. 故答案为：， 7．已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质，结合平行关系，即可得，由双曲线的定义即可求解. 【详解】如图，根据题意，，因为，， 所以，所以， 所以． 当位置互换时，， 当过的直线与轴重合时，无法作出， 所以点在以为焦点的双曲线上， 设该双曲线方程为，则，所以， 所以的轨迹方程为． 故答案为： 8．已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心的轨迹方程． 【详解】设，的圆心分别为，，圆的半径为． 因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以， 当圆与圆内切、与圆外切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切、与圆内切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，， 则，，，方程为． 故答案为：． 9．已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：设点，，直线斜率为，由作差利用点差法求解即可；解法二：设点，，直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可. 【详解】解法一：当直线斜率存在时，设点，，直线斜率为，弦中点坐标为， 则，作差得，即①， 又因为抛物线的焦点，所以②， 联立①②得，即， 当直线斜率不存在时，易知线段的中点为，在上， 所以所求轨迹方程为， 故答案为： 解法二：抛物线的焦点为，设点，， 若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 则设直线的方程为， 联立得，， 则，所以， 设线段的中点为，则，，即， 所以，化简可得， 所以线段的中点的轨迹方程为， 故答案为： 11．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 12．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 13．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设动圆的圆心，半径为，根据两圆的位置关系列式整理可得动圆圆心的轨迹为椭圆，根据椭圆定义可得轨迹方程. 【详解】设动圆的圆心，半径为， 又由圆得，圆心，半径， 由圆得，圆心，半径， 由已知得，两式相加消去可得， 根据椭圆定义可得动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，设为 其中， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 14．已知椭圆与动直线相交于两点． (1)求实数的取值范围； (2)设弦的中点为，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆方程组，然后化简，使得判别式大于零，进而求得的范围. （2）解法一：根据中点横坐标和纵坐标，可求出轨迹方程；解法二：利用点差法，将点的坐标代入椭圆方程，两式相减并化简，可求出轨迹方程. 【详解】（1）联立直线与椭圆方程得消去得（*），则，解得， 故实数的取值范围是． （2）解法一：设弦的中点，，，由（1）中（*）式可得消去可得，即动点的轨迹方程， 注意由的取值范围可得． 所以动点的轨迹方程为． 解法二：点差法． 设，，，则，． 由点在椭圆上得，，两式相减得， 即，，即， 即．要保证弦存在，需限制为椭圆的范围， 由（1）中的取值范围可知，则动点的轨迹方程为． 15．已知中，所对应的边为，且成等差数列，，求顶点的轨迹方程． 【答案】 【分析】以所在直线为轴建立平面直角坐标系，分析易得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求解即可. 【详解】由题意，， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 如图，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 椭圆的长轴为4，焦距为2，短轴长为， 则椭圆方程为， 又点在轴左侧，必有， 而点在轴上时不能构成三角形，故， 因此点的轨迹方程是：． 16．已知圆． (1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程； (2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆的弦长公式有，和点到直线距离公式，可求得，故可得直线l的方程； （2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.利用已知，代入点的坐标化简得，.而，代入可得的轨迹方程. 【详解】（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意. ②若直线不垂直于轴，设其方程为，即. 设圆心到此直线的距离为，则，得， ∴，， 故所求直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或. （2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是. ∵，∴，即，. 又∵，∴. 由已知，直线轴，∴， ∴点的轨迹方程是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$