第二十四章 圆拓展之最值篇（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

第二十四章 圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】如图，是半圆的直径，，点是半圆上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，交于点，当点从点开始运动，直到点运动到点时停止，则点运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 3．如图，等边内接于，，D为弧上一动点，过点B作射线的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为 ． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 2．如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是 ． 3．如图，A点是上直径所分的半圆的一个三等分点，B点是弧的中点，P点是上一动点，的半径为3，则的最小值为 ． 类型三、切线与勾股定理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为1（为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为 ． 类型四、两动一定 【解惑】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 2．如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 3．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 类型五、直角圆 【解惑】如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．6 【融会贯通】 1．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 类型六、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为，在中，，，是斜边的中点，连接，为的中点，连接，当绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ． 3．如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为 ，最小值为 ． 类型七、折叠圆 【解惑】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（　　） A．8 B．12 C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　 A． B．3 C． D． 2．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 3．如图，菱形中，，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为上一点，且，连接，则线段的最小值为 ．    类型八、定角定弦 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，， ，E为上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为 ． 3．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为 ． 类型九、面积最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（ ） A．5 B．6 C． D． 2．如图，在边长为的正方形中，P是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点B作交的延长线于点M，连接，过点A作交于点N，连接，，则面积的最小值为 ． 3．如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 类型十、其他最值 【解惑】如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 2．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 3．如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】如图，是半圆的直径，，点是半圆上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，交于点，当点从点开始运动，直到点运动到点时停止，则点运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，动点路径长，通过分析动点的运动轨迹，将其转化为圆的问题是解题的关键．根据圆心角和圆周角关系可得，进而可得，由此得出以为边向下作等边，点C在以为圆心，以为半径的圆上运动，据此即可解题． 【详解】解： ∵由题意可知：， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴以为边向下作等边，点C在以为圆心，以为半径的圆上运动， ∴点运动的路径长． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 到点 ，使 ，连接 ，由 垂直平分 ，得 ，则   ，所以 ，由点 与点 关于直线 对称，得 ，当点 与点 重合时，则点 与点 重合，所以点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2 的圆上的一段弧，即 ，根据弧长公式求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长 到点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 与点 关于直线 对称， ∴直线 垂直平分 ， ， ∴点 在以点 为圆心，半径为2的圆上运动， ∵当点 与点 重合时，则点 与点 重合， ∴点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2的圆上的一段弧，即 ， ， ∴点 的运动路径长为 ， 故选：C．  ． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，弧长公式，轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 如图：连接，交于点O，取中点H，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出G经过的路程长即可． 【详解】解：如图：连接，交于点O，取中点H，连接， ∵矩形，， ∴，，， ，， ∴是等边三角形，即 在与中， ， ， ∴E、O、F共线， ，H是中点， ∴，则， ∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧， 当E与A重合时，；当E与B重合时，G与B重合； ∴G走过的路程为． 故答案为． 3．如图，等边内接于，，D为弧上一动点，过点B作射线的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点为，连接，由直角三角形的特征得，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，延长交于，连接，由等边三角形的性质得，，求出，结合圆的基本性质，即可求解． 【详解】解：连接，取的中点为，连接， ， ， 点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，如图， 是等边三角形， ， ， 如图，延长交于，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹长为∶ ； 故答案：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的特征，圆的基本性质，圆周角定理，三角形外接圆的性质，三角形函数等；能根据直角三角形的特征及圆的定义找出点的运动轨迹是解题的关键． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、求线段和的最小值、勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 作点A关于的对称点，由轴对称的性质确定的最小值为的长，再利用圆的知识和勾股定理求出的长． 【详解】由题知，的半径为1，为的直径，故， 如图，作点A关于的对称点，连接，，， 则， 当三点共线时，取得最小值，为的长， 点A是半圆上的一个三等分点， ， 点B是弧的中点， ， 点与点关于直径对称， ， ， 又， 由勾股定理得，， 的最小值为． 故选：A． 2．如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、，，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解， 正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、， 则， ∴，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ， ∵点是的中点， ， ， 是的直径，， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值， 周长的最小值， 故答案为：． 3．如图，A点是上直径所分的半圆的一个三等分点，B点是弧的中点，P点是上一动点，的半径为3，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，作点关于的对称点，连接，交于点，则最小，连接，，求出，然后根据勾股定理求出解答即可． 【详解】作点关于的对称点，连接，交于点，则最小，连接，， ∵点与关于MN对称，点是半圆上的一个三等分点， ， ∵点是弧的中点， ， ， 又∵， ， ． 故答案为：． 类型三、切线与勾股定理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为1（为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接、，根据勾股定理知，当时，值最小，即线段最短． 【详解】解：如图，连接、， 与相切， ∴, 由勾股定理得 为定值1， ∴当最小时，的值最小， 当时，值最小， ∵、， ∴, 为等腰直角三角形， 由勾股定理得, 根据等腰直角三角形的性质可得，， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接、，作交于，则，由切线的性质可得，由勾股定理可得，则当时，最小，也取得最小值，由等边三角形的性质和勾股定理可得，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，作交于，则，   , 是的切线， ， ， 当时，最小，也取得最小值， 为等边三角形，，边长为4， ，， ， 的最小值为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键．设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为1， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 连接、，由是的切线，得，再由勾股定理得，则当时，线段最短，最后再由勾股定理即可求解； 【详解】解：连接、， 、， ，， 是的切线， ， ， 由勾股定理知：， 当时，最小，则线段最短， 在中，， ， ， 最小， 故答案为： 类型四、两动一定 【解惑】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关键． 以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，则就是最小值； ∵矩形中，，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：∵，G是EF的中点，则有， 则点在以圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动． 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于点， 由两点之间线段最短，此时的值最小， 则的最小值= 且， 则的最小值． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了最短路径问题，点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题． 3．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 类型五、直角圆 【解惑】如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为8． 【详解】解：如图， ，， ， 在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ， ， ， ， ， 线段的最小值为8． 故选答案为：A． 【融会贯通】 1．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 2．如图，已知点C是半圆AB的中点，直径，点D是上的动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题可先确定点的轨迹，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求解的最小值． 【详解】解： ∵， ∴． 取的中点，连接，连接，连接． ∴， ∵点是半圆的中点，是直径， ∴，． ∴由勾股定理，且， ∵， ∴，即，， ∴， ∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴． ∵点在以为圆心，为半径的圆上， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理、圆的轨迹问题以及勾股定理，熟练掌握点的轨迹确定方法和利用圆外一点到圆上点的距离最值求解是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理等知识，连接，取中点O，连接，判断点F 在以为直径的圆上运动，则当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为，然后在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，取中点O，连接， ∵以为直径作圆与交于点， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， ∴当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为， 在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型六、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴为的中位线， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，有最小值，的最小值是， ∵在等腰中，，点斜边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 2．如图，已知正方形的边长为，在中，，，是斜边的中点，连接，为的中点，连接，当绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线定理，到圆上一点的距离，添加恰当辅助线是解题的关键．延长至，使，连接，，，由三角形中位线定理可得，由等腰直角三角形的性质可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在的延长线上时，有最大值为，即的最大值为，当点在线段上时，有最小值为，即的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，，， 为的中点，， ， ， ， 在中，，，是斜边的中点， ，， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的延长线上时，有最大值为，即的最大值为， 当点在线段上时，有最小值为，即的最小值为， 故答案为：，． 3．如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，延长至，使得，连接，可得是的中位线，即得，可知当取最大值或最小值时，的值最大或最小，再分别画出图形解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长至，使得，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最大值或最小值时，的值最大或最小， 如图，当点在的延长线且共线时，的值最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即长度的最大值为； 如图，当点在之间且共线时，的值最小， ∴， ∴， 即长度的最小值为； 故答案为：，． 类型七、折叠圆 【解惑】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（　　） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，BE=B'E=AE，点B′在以E为圆心EA为半径的圆弧上运动．当D、B′、E共线时，B′D的长度最小．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=4，即可求出B′D的最小值． 【详解】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心EA为半径的圆弧， ∴当B′点落在DE上时，B′D取得最小值． 根据折叠的性质，可得△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥B′F，EB′＝EB， ∵E是AB边的中点，AB＝8， ∴AE＝EB′＝4， ∵AD＝BC＝12， ∴DE＝＝4， ∴DB′＝DE﹣B'E＝4﹣4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的综合运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，关键是抓住对应边和对应角相等． 【融会贯通】 1．如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　 A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出CE的长度，用即可求出结论． 【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示， 根据折叠可知：． 在中，，，， ， 的最小值． 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键． 2．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，矩形与折叠问题，勾股定理，三角形中位数定理，取中点H，连接，先由矩形的性质得到，再由折叠的性质可得，证明是的中位线，得到，则点G在以H为圆心，半径为2的圆上运动，故当在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，取中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点G在以H为圆心，半径为2的圆上运动， ∴当在线段上时，有最小值， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．如图，菱形中，，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为上一点，且，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，延长到，使得，连接，，，则是的中位线，，证明是等边三角形，可求，则，由翻折的性质可知，，则在以为圆心，8为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，即最小，由勾股定理求，则最小的，最小的，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，，，      ∴是的中位线， ∴， 由菱形的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴在以为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，最小，即最小， 由勾股定理得，， ∴最小的， ∴最小的， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理是解题的关键． 类型八、定角定弦 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，， ，E为上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，作的外接圆，圆心为F，连接，，，过点作于，交的延长线于，先求出，，进而得优弧的度数为，则劣弧的度数为，故，由此得出为等腰直角三角形，进而可求出，，证四边形为正方形，得，继而得，由勾股定理求得，再由，可得出当点B，E，F在同一条直线上时，为最短，其长度为，据此可得出答案． 【详解】解∶连接，作的外接圆，圆心为F，连接，，，过点作于，交的延长线于，如图所示： ，， 为直径，， ， ， ， 点为的外接圆的圆心， ， ， 优弧的度数为， 劣弧的度数为：， 圆心角， 为等腰直角三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 又，， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 当在同一条直线上时，为最短， 其长度为， ∴的最小值为， 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，构造的外接圆，利用圆的相关性质确定最短时的位置是解决问题的关键． 【融会贯通】 1．如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键． 【详解】解：如图：连接、， ∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作， 如图:连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：A． 2．如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 作的外接圆，连接，构造圆内接四边形，设外接圆的半径为，又，则，故有，即是等腰直角三角形，从而可得点四点共圆，则有，过作于点，，然后通过垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，构造圆内接四边形， 设外接圆的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， 如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 3．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是确定动点的运动轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，连接、，先由圆周角定理，得 ，为等腰直角三角形，得到，进而得到点D在点为圆心，为半径的上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、， ∵以为直径的，A为弧中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点为圆心，为半径的上运动， 在等腰直角中，同理得， 在中，， ∴， ∵ ∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为． 故答案为：． 类型九、面积最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， 由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动， 当M点为与的交点时，点M到 的距离最短为， ∴ △BCM面积的最小值为∶ ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（ ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据点为弦的中点，可得点在以为直径的圆上，以 为直径作，过点作直线于 ，交 于，则上到直线上最短的距离是 ，则可得 即的面积最小，根据一次函数的性质，求得， 根据勾股定理可得 ，再根据的半径为2，可知， ， ，由等积法可求得，，根据可求得面积最小是． 【详解】解：连接，如图， 点为弦的中点， ， ， 点在以为直径的圆上， 以为直径作，过点作直线于，交于， 则上到直线上最短的距离是， 此时，即的面积最小， 当时，，则 ， 当时，， 解得，则， ， ， ∵的半径为2， ∴， ， 由等积法可知： ∴ ∴， ∴， 即的面积最小是， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数的性质和等积法等知识点，属性相关性质是解题的关键． 2．如图，在边长为的正方形中，P是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点B作交的延长线于点M，连接，过点A作交于点N，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】点N在正方形内部，所以，由可得点M在以中点为圆心，长为半径的圆上，先证明，然后求最大面积即可求出的最小面积． 【详解】∵四边形为正方形，   ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴当面积最大时，面积最小， ∵， ∴点M在以中点为圆心，长为半径的圆上， 当面积最大时，，如图， ∵点O为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理及用勾股定理解三角形等知识点，将求的最小面积转化为求最大面积并找出M点运动轨迹是解题关键． 3．如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，证明是等边三角形是解本题的关键．如图，作直径，连接证明和是等边三角形，是的直径时，面积的最大，可求解． 【详解】解：如图，作直径，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， 当是的直径时，的面积最大， 此时 的最大面积． 故答案为：． 类型十、其他最值 【解惑】如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．想办法求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J． ∵，， ∴，， ∵，， ∴． 同法可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 过点作交的延长线于T． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 根据对称性可知，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分析是关键． 根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，由此得到的最小值是的值减去的最大值，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点， 当时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选： D． 2．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长的最小值， ， 则的周长的最小值为， 故答案为：． 3．如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，由，得，，证明，则，是等腰直角三角形，由是中点，则，，，如图，过作于，过作于，由，可知四点共圆，由，可得，进而可得在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，且，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，，计算求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点， ∴， ∴，， 如图，过作于，过作于， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴在线段上运动， 如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接， 由题意知，， ∴， ∴三点共线时，值最小， ∵， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$