第二十四章 圆 （优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

第二十四章 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形内切圆半径、周长、面积关系问题 【解惑】如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 2．已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 3．【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养． 类型二、圆锥侧面展开最短路径 【解惑】如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】圆锥的底面周长=2π×5=10π， 设侧面展开图的圆心角的度数为n． ∴， 解得n=90， 圆锥的侧面展开图，如图所示： ∴最短路程为：=20， 故选D． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 【融会贯通】 1．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为，连接，．线段与的交点为，线段是最短路程． 【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，则线段为所求的最短路程． 设． ， 即． 为弧中点， ，， ， 最短路线长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，扇形的面积和特殊值的三角函数等问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形． 2．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 3．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】详见解析． 【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 类型三、秦九韶与海伦公式 【解惑】我国南宋时期数学家秦九韶（1208年～1268年）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式（为三角形的三边长）．若一个三角形的三边长分别为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点为：代数式求值，化为最简二次根式．把三角形的三边长，，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：这个三角形的三边长分别为2，3，4 将此三角形三边长度代入公式 得： 故选：B． 【融会贯通】 1．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 【答案】 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积是 ， 故答案为： 3．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 【答案】(1)①，，3；②的面积为 (2)的面积为 【分析】本题主要考查平方，绝对值，算术平方根的非负性，秦九韶公式与海伦公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①根据平方，绝对值，算术平方根的非负性得到答案即可； ②选择海伦公式进行计算即可； （2）根据题目给出的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，3； ②； （2）解： ； 类型四、圆的平移、折叠、旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，B两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右平移，当与直线的位置关系是相交时，横坐标为整数的点的个数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质，角的特殊直角三角形的性质，掌握求圆与直线相切的点坐标是解题的关键． 由数形结合，画出圆与直线相切的情形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 当点在、时，圆与直线相切， 当点在、之间移动时，与直线相交， ， ∴ ∵， ∴ ∵与相切， ∴，， ∵， ， ∴ 同理， ∴ 故点在之间移动与直线的位置关系是相交， 点在之间移动横坐标整数点有： 3，4，5，6，7，8，9，共7个． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质和折叠的性质，直径所对的圆周角是90度，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质得到垂直平分，所以，再判断为等边三角形得到，得出，再证明，最后利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理得到的长． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， 将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， 垂直平分， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：C． 2．如图，AB为半径为8的的弦，弧沿弦折叠经过圆心O，点D为弧上一动点，连接交于点C，点P为的中点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，，作交于点G．连接，．首先证明是等边三角形，再证明点在以为直径的圆上运动．得出当、、在同一直线时，长度最小，再求解可得结论． 【详解】解：连接，，，作交于点G．连接，． 由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 是中点， ， 又， 是中点， 即是斜边中线， ， 即点在以为直径的圆上运动． 所以，当、、在同一直线时，长度最小， 此时，，， 的半径是8，即，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． 3．已知，如图，等边，点D是平面内一点（点D不在直线上），连接、．将绕点A按逆时针方向旋转得到，点D的对应点是点E． 设直线与直线交于点G． (1)如图1，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)当点D是线段的中点，根据题意，在图2中画出图形，求的度数； (3)探索与的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，即可得到； （2）根据题意画出图形，证明和是等边三角形，再利用对角线相互平分且相等的四边形是矩形即可得到结论； （3）分两种情况，画出图形，利用圆内接四边形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）解：画出图形，如图， 由旋转的性质知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）解：如图， 是等边三角形， ∴，， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴； 如图，同理和是等边三角形， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 类型五、弦切角、托勒密定理 【解惑】阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务： (1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)转化思想和类比思想 (4) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，则，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，可得，即可； （3）上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； （4）接并延长，交于点，连接，则，证明，即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角， (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD． 求证：______． 证明： (2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)弦CE的长为21 【分析】（1）过点，作，根据垂径定理和圆周角定理可得，根据切线的性质可得，即可得，进而即可证明； （2）过点作，勾股定理 的长，在中，勾股定理求得，进而即可求得的长． 【详解】（1）求证： 证明：如图，过点作， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， （2）如图，过点作， AB为⊙O的切线，CD⊥AB， 四边形是矩形， ， 在中， 设圆的半径为，则， 在中， 即 解得 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理以及切线的性质是解题的关键． 2．阅读下列材料，完成文后任务： 克罗狄斯·托勒密（约公元年—公元年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． 用数学文字表示为：如图1，已知四边形内接于，则 任务： （1）如图1，当为等边三角形时，与有怎样的数量关系？并说明理由； （2）如图2，已知为直径，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，，，则的面积为_________． 【答案】（1）AC=BC+CD；证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由托勒密定理：及等边三角形的性质即可求得． （2）由勾股定理可求得BD，进而可求CD，再由由托勒密定理：即可求得AC的长． （3）由题意可得四边形ABCD在以BD为直径的圆上，设圆心为O，连接OC、OA，并作OE⊥AC于点E，则的面积即可由求得． 【详解】解：（1） 证：由题意得： 为等边三角形   即． （2）为直径   ．    ． 由托勒密定理可知 ． （3）∵，，， ∴四边形ABCD在以BD为直径的圆上 且BD===6 CD===4 ∵ 代入AB、CD、BC、AD、AC可得 AC= 连接OA、OC，作OE⊥AC交于点E，如图： BD=6，AD=3， ， ∴ ∵OC=3，AC= ∴OE== ∴ ∴ = 【点睛】本题考查了三角形和圆的综合问题，解题的关键是进行等量代换及作出辅助线． 3．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由托勒密定理可直接求解； （2）连接，根据圆周角与弦的关系可得，设，在四边形中，根据托勒密定理有，，建立方程即可求得的长 【详解】（1）由托勒密定理可得： 故答案为： （2）如图，连接， 五边形是正五边形，则, 设， 即 解得（舍去） 【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键． 类型六、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为________________； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程， 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， … （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出再由所给的定义求出的长即可; （2）在上截取，连接，，和，可证明 得到进一步则可证明； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，再求出，由（2）同理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，为切点， ∵是折线段的中点， ． （2）证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 【答案】【问题呈现】；；； 【变式探究】，证明见解析 【实践应用】 的值为或 【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程． 【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论． 【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况的结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线． 【详解】解：【问题呈现】；；；． 【变式探究】． 证明：如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，即； 【实践应用】如图，当点在下方时，过点作于点，连接， 是的直径， ， 的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 解得， ； 如图，当点在上方时，过点作于点， 同理可得，，即，解得， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 2．阅读材料，并完成相应任务． 问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． (1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“”，于是他在CD上截取，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程； (2)如图3，在中，，，若，则AE的长度为_______． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）正确解读题意，证，即可证明； （2）根据（1）的思路即可求解； 【详解】（1）解：在中 ∵点M是的中点 在和中 （2）如图，在BC上截取，连接MB，MA，MD，MC． 在中 ∵ 在和中 ， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查圆的性质、三角形的全等，掌握相关知识，正确解读题意是解本题的关键． 3．请阅读下面材料，并完成相应的任务； 阿基米德折弦定理 阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC． ∵M是的中点， ∴． … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为上一点，，于点E，，连接AD，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）先证明，进而得到，再证明，最后由线段的和差解题； （2）连接CD，由阿基米德折弦定理得，BE=ED+AD，结合题意得到，由勾股定理解得，据此解题． 【详解】证明：（1）是的中点， 在与中， 与中， ； （2）如图3，连接CD 等边三角形ABC中，AB=BC 由阿基米德折弦定理得，BE=ED+AD 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 类型七、新定义圆——几何 【解惑】定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 【答案】(1)或或或（写一个即可）； (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据幸福四边形的定义分情况讨论，将表示为，列式求解即可； （2）根据条件证明，由幸福四边形的定义即可证明结论； （3）①连接，由幸福四边形的性质，证明，由圆周角定理的推论证明结论； ②过E作于点H，在中由勾股定理求出的长． 【详解】（1）∵，，， ∴， 若，则，解得； 若，则，解得（舍去）； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 故答案是：或或或（写出一个即可）； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为幸福四边形； （3）①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为幸福四边形， ∴， 而， ∴， ∵D、G、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴是的直径； ②过E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【融会贯通】 1．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”． (1)如图1，是的弦，作作、，分别交于点，连接交于点E．求证：、是的等垂弦； (2)如图2，的半径为5，、是的等垂弦，与交于点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆心角相等可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论； （2）作，垂足为，作，垂足为，可证矩形为正方形，利用勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图①，连接，     ，， ， ， ， ， ， 同理， ，即， ，， 、是的等垂弦； （2）解：如图②，作，垂足为，作，垂足为， 则，   、是的等垂弦， ，， ，， ∴四边形是矩形， 又， ， ， 矩形为正方形， ， ，， ， 在中，， 即， 解得， 则． 【点睛】本题为与圆有关的新定义问题，综合性较强，根据题意理解等垂弦的定义并结合圆的有关知识是解题的关键，还考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 2．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先根据新定义得出，再根据勾股定理计算即可； （2）①利用直径所对的圆周角为直角，得到，结合角平分线定义证明，推出，，利用弧、弦、圆心角之间的关系推出，设，结合，记交于点，得到，，再根据整理，即可得解； ②由①知，，，结合等腰三角形性质，“近似矩形”定义，即可证得结论． 【详解】（1）∵四边形是 “近似矩形”，，，， ∴， ∴； （2）解：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ，记交于点， ， 设， ， ， ， ， ； ②证明：由①同理可知，，， ， ， 四边形是“近似矩形”． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形性质，正确理解新定义是解题的关键． 3．定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的定义、性质与判定，四点共圆的判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，能结合图形做出适当的辅助线，能推出四点共圆是解题的关键； （1）过点P作于D，交延长线于点E，先确定的最小值为，再利用矩形的判定与性质，勾股定理求解； （2）先利用角平分线的定义和三角形的外角知识推出，再利用角平分线的性质和判定，推出平分，再求解即可； （3）根据为等腰三角形时，分或或讨论，利用，，推出四点共圆，再利用圆周角定理，勾股定理求解，综合可得结果； 【详解】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， ， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 类型八、新定义圆——函数 【解惑】对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角下图形的宽度，记作． (1)如图1，为坐标原点，，，则 ； (2)如图2，在菱形中，，，，已知，求； (3)如图3，，在第一象限且纵坐标为2，是线段延长线上一点，且，则的横坐标为 ，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为 ． 【答案】(1)1 (2) (3)6； 【分析】（1）根据定义可知，，据此求解即可； （2）当经过点D时，，当与相切时，，据此求出即可得到答案； （3）由题易知，再根据两点距离公式代入即可求出F横坐标，的最大值为的最大值，作点E关于x轴对称点，，进而得解． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意可知表示以点O为圆心，r为半径作圆，与线段有交点时，r最大值和最小值的差， 当恰好经过点P时，r有最小值， ∵， ∴， 当恰好经过点Q时，r有最大值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图，连接，过D作轴于点H，过M作于点K， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当与相切于点E时，延长交y轴于点F，过C作于点N，连接、， 同理可得，， ∴， ∵，， ， ∴， 由切线的性质可得， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴F的横坐标为6； 设， ∵，， ∴，， ∴， 作E关于x轴对称点，则，连接 ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，即此时有最大值，最大值为的长 ∴， ∴最大值为， 故答案为：6；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，两点距离计算公式，菱形的性质，轴对称最短路径问题，圆的基本性质等等，正确理解定义是解题的关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． (1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； (3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)的最大值为， 【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解； （2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解； （3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 则平移后经过点，则是弦的“伴随点” 故答案为：； （2）解：的弦，的半径为． ∴是等边三角形， 设 则 ∴在的圆环内 如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于， 则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合）， 由于与轴的夹角为 ∴的横坐标为，的横坐标为， 同理可得的横坐标为，的横坐标为 ∴或 （3）解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦， 线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦， 当经过的的切点时，取得最小值， 当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值， ∵点在上， ∴的最大值为 ∴, ∴的最大值为 ∴， ∵，, 即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号， ∴ 2．在平面直角坐标系中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转得到点，点N为线段的中点（点N不与点重合），则称线段的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为． (1)已知点． ①若点，则为______________； ②若点C为y轴上一动点，则的最小值为______________． (2)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①1．② (2) 【分析】（1）①过点作轴交y轴于点D，证明得，，从而，由中点坐标公式求出的中点N的坐标为，进而可求出； ②设，同理可证，，得出，，从而，求出的中点N的坐标为，由勾股定理得，然后利用二次函数的性质即可求解； （2）由题意可知，点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动，在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点，由旋转的性质得，， ，证明得，，由勾股定理求出，然后在中，利用三角形三边的关系即可求解． 【详解】（1）①过点作轴交y轴于点D，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴的中点N的坐标为， ∴． 故答案为：1； ②设，如图， 同理可证，， ∴，， ∴， ∵，， ∴的中点N的坐标为， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值是，即的最小值为． 故答案为：； （2）∵， ∴点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动， 将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动， 在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点， ∵由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 取的中点N，连接，则， ∴， 在中， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，圆的性质，勾股定理，二次函数的性质，难度较大，属中考压轴题，数形结合是解答本题的关键． 3．在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②，； (2)，． 【分析】（1）①如图所示，通过题中关联点的定义，分别分析点、、即可判断；②根据题意分析可得，以点为圆心，半径为作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、，设点的坐标为，则，即，解得，进而求出点的纵坐标，考虑轴对称的性质，可得点与点关于轴对称，即可求出点、的坐标； （2）通过分析可得线段与圆相切，设线段与圆相切于点，连接，设线段上的“关联点”为点，当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为，，第一种情况，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，第二种情况，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，即可确定t的取值范围． 【详解】（1）解：①由点可得，所在直线的解析式为， 直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点不是弦的“关联点”； 故答案为：，； ②点是弦的“关联点”，直线经过点， ， ， ， 如图所示，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、， 设点的坐标为，则， 即， 解得， ， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）如图所示，在直角坐标系中作出点，，连接， 根据题意得，， ， ， 即等于圆的半径， ，即， 线段与圆相切， 设线段与圆相切于点，连接， 线段上存在弦的“关联点”，设此“关联点”为点，点为线段上的动点， 当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为， 设， ， 第一种情况，如图所示，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， ， 记的长为， ； 第二种情况，如图所示，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， 记的长为， ； 综上所述，，． 【点睛】本题是新定义综合题，考查了最值问题、圆的定义、切线的性质、直角坐标系中两点坐标、勾股定理、锐角三角函数的应用等知识点，解题的关键是通过题干，熟练掌握新定义“关联点”的内涵，同时运用“分类讨论”、“数形结合”的思想画图，根据动点的轨迹确定的取值范围，通过勾股定理找到与之间的关系，进而确定的取值范围． 类型九、动圆相切求t 【解惑】如图1，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于； (2)如图2，若是的外接圆，连接，交于点N，当时，求t的值． 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题考查矩形中的动点问题，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程的实际应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用分割法    ，列出一元二次方程进行求解即可； （2）过D作，交的延长线于点G，连接，证明，得到，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）． 答：运动秒后的面积为； （2）解：如图，过D作，交的延长线于点G，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍），． 故． 【融会贯通】 1．如图1所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，过点．与轴、轴分别交于、两点，为弧的中点．连接并延长交轴于点，连接并延长，使得，连接． (1)求点的坐标； (2)连接、，判断四边形的形状并说明理由； (3)点从点出发以每秒个长度单位的速度沿折线段运动，同时点也从点出发以相同的速度沿射线运动，当点到达点两点同时停止，设运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)如图2，若点为中点，为直线上一点，将线段绕旋转某一角度得到的线段，线段是否能是的弦，若能请求出点的坐标，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) (4)能， 【分析】（1）连接，交于点，连接，先确定为直径，在通过计算求出，即可判定为等边三角形，再判定为等边三角形，即可求解； （2）利用等边三角形和垂直判定，结合，即可判定； （3）分两种情况：当在上时和当在上时，分别计算即可； （4）先判断当点在轴上方时不存在；再画出当点在轴下方时的图形，过点作于点，过点作轴于点，连接，判定，在中和中，利用列式求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点，连接， ∵， ∴为直径， ∵为弧的中点． ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵为直径， ∴， 即， ∴四边形是菱形； （3）解：①当在上时，如图，过点作于， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在上时，如图，过点作于， 由题意得：， ， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为； （4）解：线段能是的弦，理由如下： ①当点在轴上方时，如图： 若点在上，则点不可能在上，故不存在； ②当点在轴下方时，如图： 过点作于点，过点作轴于点，连接， ∵在上， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 在中，， 即， 则， 解得：， 即， ∵， ∴，， ∴点和点重合， ∴． 【点睛】本题是考查圆的综合题型，涉及垂径定理，圆周角的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含直角三角形的性质，动点图形的函数解析式等，熟练掌握这些性质和判定，并可以根据题意作出适当辅助线和辅助图是解题的关键． 2．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动，、两点在分别到达、两点时就停止移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题： (1)如图，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图，以为圆心，为半径作在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边或边所在的直线相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1或4 (2)存在，0或 【分析】(1)由题意可知PA=t，BQ=2t，从而得到PB=5−t，BQ=2t，然后根据△PQB的面积为4cm2列方程求解即可； (2)当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC=QP，然后依据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为秒时，，， ，． 的面积等于， ． ． 解得：，． 答：当为秒或秒时，的面积等于； （2）解：(Ⅰ)由题意可知圆与、不相切． Ⅱ如图所示：当时，点与点重合时，点与点重合． ， ， ， 为圆的切线； Ⅲ当正好与四边形的边相切时，如图所示． 由题意可知：，，． 在中，由勾股定理可知：，即． 解得：，舍去． 综上所述可知当或时，与四边形的一边相切． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的判定和性质，三角形的面积公式、勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 3．在矩形中，cm，cm，点P从点A出发，沿边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5？ (2)如图2，当t＝秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)1秒或5秒 (2)直角三角形，理由见解析 (3)①存在，或；② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积＝5列方程求解即可； （2）由，可求得，，，，由勾股定理可证明，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形； （3）①当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与相切；当正好与四边形的边相切时，由圆的性质可知，然后依据勾股定理列方程求解即可； ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）∵当运动时间为t秒时，，， ∴，， ∵的面积等于5， ∴， ∴＝5， 解得：，， 答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5； （2）的形状是直角三角形． 理由：∵当秒时，，， ，， 在中，由勾股定理可知：, 同理：在和中由勾股定理可得：，, ∵， ∴， 所以的形状是直角三角形； （3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与、不相切， （Ⅱ）如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合， ∵， ∴， ∴， ∴为圆Q的切线； （Ⅲ）当正好与四边形的边相切时，如图2所示， 由题意可知：，，， 在中，由勾股定理可知：，即， 解得：，（舍去）， 综上所述可知当或时，与四边形的一边相切； ②（Ⅰ）当时，如图1所示：与四边形两个公共点； （Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点， 由题意可知：，，，， 由勾股定理可知：，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴当时，与四边形有三个公共点． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、勾股定理以及勾股定理的逆定理，根据题意画出图形，求得与四边形有两个公共点时t的值，从而确定出与四边形有三个公共点时t的取值范围是解题的关键． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，取圆与网格线的交点，连接相交于点；取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点；连接并延长，与圆分别相交于点；连接相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （I）根据网格，运用勾股定理即可求解； （II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（I）； （II）如图， 取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心； 取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点， ∴点是弦的中点， ∴； 连接相交于点，如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则点即为所求． 【融会贯通】 1．图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． (1)操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． (2)探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查圆与网格作图，勾股定理与网格，求弧长； （1）步骤一：在图1、图2、图3中连接，则中点即为圆心O． 步骤二：取圆心右边4格的格点，则，，此时，即为的切线． 步骤三：图2中，连接，根据和竖直方向距离2格得到与中间横线的交点即为线段中点，连接并延长与交点即为，根据垂径定理可得F是的中点． （2）①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ，根据F是的中点得到，再求出半径，即可求出的长度； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接，先证明为等腰直角三角形，再在中求出，最后在中求出． 【详解】（1）解：圆心O，切线，使F是的中点，如图所示： （2）解：①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵半径， ∴的长度为； ②连接，则、、三点共线，设与交于点，连接， 由图可得，，，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得； （2）取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点．即可推得． 本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．勾股定理的应用． 【详解】（1）解：在方格中找到以为斜边的直角三角形， 用勾股定理求解为：， （2）解：如图，取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点． 3．如图是由小正方形组成的网络，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点为格点，经过点，点、为与横格线的交点，仅用无刻度的直尺在绘定网格中完成画图任务． (1)如图1，先将点绕点旋转得到点，再将线段绕点旋转得到线段； (2)如图2，在上画点（点异于点），；并过点作的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）因为将点绕点旋转得到点，所以连接，并延长交于于一点，即为点，同理得点E，连接，即可作答． （2）由矩形的性质得是的中点，先找出圆心的位置，作出的垂直平分线，连接并延长交圆上于一点，即点C，连接，则的垂直平分线与的交点即为（结合网格得出，得出是圆的直径），因为网格特征得，故，因为是直径，，则，得得，结合是直径，得出，把与的交点记为，连接并延长交于一点，即为点P，结合网格特征证明，则，运用证明，得，因为，，即运用三角形内角和性质得，即，推出，因为为半径，则是的切线，即可作答． 【详解】（1）解：线段如图所示： （2）解：点，过点作的切线，如图所示： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形内切圆半径、周长、面积关系问题 【解惑】如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【融会贯通】 1．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 2．已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 3．【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 类型二、圆锥侧面展开最短路径 【解惑】如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是(  ) A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 3．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 类型三、秦九韶与海伦公式 【解惑】我国南宋时期数学家秦九韶（1208年～1268年）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式（为三角形的三边长）．若一个三角形的三边长分别为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 3．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 类型四、圆的平移、折叠、旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，B两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右平移，当与直线的位置关系是相交时，横坐标为整数的点的个数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【融会贯通】 1．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，AB为半径为8的的弦，弧沿弦折叠经过圆心O，点D为弧上一动点，连接交于点C，点P为的中点，则最小值为 ． 3．已知，如图，等边，点D是平面内一点（点D不在直线上），连接、．将绕点A按逆时针方向旋转得到，点D的对应点是点E． 设直线与直线交于点G． (1)如图1，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)当点D是线段的中点，根据题意，在图2中画出图形，求的度数； (3)探索与的数量关系，直接写出结论． 类型五、弦切角、托勒密定理 【解惑】阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务： (1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【融会贯通】 1．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角， (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD． 求证：______． 证明： (2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的长． 2．阅读下列材料，完成文后任务： 克罗狄斯·托勒密（约公元年—公元年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． 用数学文字表示为：如图1，已知四边形内接于，则 任务： （1）如图1，当为等边三角形时，与有怎样的数量关系？并说明理由； （2）如图2，已知为直径，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，，，则的面积为_________． 3．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 类型六、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为________________； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程， 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， … （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【融会贯通】 1．某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 2．阅读材料，并完成相应任务． 问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． (1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“”，于是他在CD上截取，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程； (2)如图3，在中，，，若，则AE的长度为_______． 3．请阅读下面材料，并完成相应的任务； 阿基米德折弦定理 阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC． ∵M是的中点， ∴． … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为上一点，，于点E，，连接AD，则的周长是______． 类型七、新定义圆——几何 【解惑】定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 【融会贯通】 1．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”． (1)如图1，是的弦，作作、，分别交于点，连接交于点E．求证：、是的等垂弦； (2)如图2，的半径为5，、是的等垂弦，与交于点，，求的长． 2．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 3．定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 类型八、新定义圆——函数 【解惑】对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角下图形的宽度，记作． (1)如图1，为坐标原点，，，则 ； (2)如图2，在菱形中，，，，已知，求； (3)如图3，，在第一象限且纵坐标为2，是线段延长线上一点，且，则的横坐标为 ，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为 ． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． (1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； (3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转得到点，点N为线段的中点（点N不与点重合），则称线段的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为． (1)已知点． ①若点，则为______________； ②若点C为y轴上一动点，则的最小值为______________． (2)若，直接写出的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 类型九、动圆相切求t 【解惑】如图1，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于； (2)如图2，若是的外接圆，连接，交于点N，当时，求t的值． 【融会贯通】 1．如图1所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，过点．与轴、轴分别交于、两点，为弧的中点．连接并延长交轴于点，连接并延长，使得，连接． (1)求点的坐标； (2)连接、，判断四边形的形状并说明理由； (3)点从点出发以每秒个长度单位的速度沿折线段运动，同时点也从点出发以相同的速度沿射线运动，当点到达点两点同时停止，设运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)如图2，若点为中点，为直线上一点，将线段绕旋转某一角度得到的线段，线段是否能是的弦，若能请求出点的坐标，若不能请说明理由． 2．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动，、两点在分别到达、两点时就停止移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题： (1)如图，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图，以为圆心，为半径作在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边或边所在的直线相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 3．在矩形中，cm，cm，点P从点A出发，沿边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5？ (2)如图2，当t＝秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【融会贯通】 1．图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． (1)操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． (2)探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 3．如图是由小正方形组成的网络，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点为格点，经过点，点、为与横格线的交点，仅用无刻度的直尺在绘定网格中完成画图任务． (1)如图1，先将点绕点旋转得到点，再将线段绕点旋转得到线段； (2)如图2，在上画点（点异于点），；并过点作的切线． 6 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