1.4.2二次函数的应用　课件　2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.4.2二次函数的应用 最大距离 和最大利润 浙教版数学 九年级上 1.求下列二次函数的最大值或最小值: (1) y=x2-4x+7. (2) y=-5x2+8x-1.   【试试】已知x=2t-5,y=10-t,s=xy,求s的最大值或最小值，以及相应t的值 s=xy=(2t-5)(10-t) =-2t2+25t-50 当t=- - S ∵a=-2＜0，∴函数有最大值 最大距离问题 1 如图，B船位于A船正东26 km处，现在A，B两船同时出发，A船以12 km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5 km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 26 km 5t (km) 26-5t (km) 12t (km) 【解析】设经过t(h)后AB两船分别到达A′，B′，两船之间距离为 A′B′= = = . 由此，本题可化归为求169t²-260t+676的最小值. 最大距离问题 1 如图，B船位于A船正东26 km处，现在A，B两船同时出发，A船以12 km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5 km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 26 km 5t (km) 26-5t (km) 12t (km) 解：设经过t(h)时后，A，B 两船分别到达A′，B′处，则 A′B′= = = = (t＞0) . 当13t-10=0，即t=时，(13t-10)2+576有最小值576. 所以当t=时，A′B′= =24 (km). 答：经过时，两船之间的距离最近，最近距离为24 km. 当二次函数在根号下时，在保证函数值非负性的前提下，根据二次函数的性质进行求解即可. 最大利润问题 2 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问：销售价格定位每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 每增加1元 减少80瓶 售价基数 日均销售量基数 “总利润=单件利润×销售量” 【解析】如果能建立起日均毛利润与销售价之间的函数关系，那么就可以根据函数的性质来确定所求答案. 如果设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，根据题意， 知日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]=1 360－80x， 所以 y=(x－9)(1 360－80x). 这样，问题化归为求二次函数何时达到最大值，最大值是多少 最大利润问题 2 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问：销售价格定位每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ “总利润=单件利润×销售量” 当x=13时，(元) 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。 解：设每瓶售价x元，日均毛利润为y元，日均销售量：400-80（x-12）=1360-80x 件 . 得：y=(x-9)(1360-80x)= (10≤x≤14) . ，在10≤x≤14的范围内. . 二次函数的应用 设出变量 列出函数表达式 求解 检验结果是否符合题意 或根据几组已知自变量与因变量的对应值列方程组求出函数表达式中的未知系数. 审题，明确数量关系 写出答案 【练习】某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润多少？ 分析：总利润=每件商品所获利润× 销售数量 解：设每个涨价x元，共获利润 y元， 那么 （1）销售价可以表示为 ； （50+x）元 单件商品利润可以表示为 ； （50+x-40）元 （2）销售量可以表示为 ； (500-10x) 个 共获利润可以表示为 ； (50+x-40)(500-10x)元 y=(50+x-40)(500-10x) =(10+x)(500-10x) =-10x2+400x+5000 =-10(x2-40x+400-400)+5000 =-10(x-20)2+9000 当x=20，每个涨价20元,(元) 【练习】公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？ 1.25米 解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点. 由题意可知A（ 0，1.25）、B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. 设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0), 点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米. A B C O x y 【拓展】当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为(　　) A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2 D x 0 y x 0 y x 0 y a+1=0 a=2 不等式是图像的一部分 $$