专题 24.4 相似三角形的判定 讲义 2025-2026学年沪教版五四制 九年级数学上册

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.4 相似形的判定 知识点1、相似三角形 1.相似三角形的概念：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 3.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数). 4.两个三角形相似比的关系：设△ABC与△A'B'C′的相似比为k,△A'B'C′与△ABC的相似比为k′,则k′=. 5.三角形相似的传递性： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 知识点2、相似三角形的判定 1.利用定义判定相似三角形 要点：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． 2.预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 3.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 5.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 知识点3、直角三角形相似的判定定理 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似 题型01：相似三角形的判定 【例1】（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选B． 【例2】（2024·上海黄浦·统考一模）下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似行的判定，掌握各角相等，各边成比例的图形是相似形是解题的关键． 【详解】解：A． 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似，是真命题； B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一定相似，是因为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题； C． 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； D． 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； 故选A． 题型02：三角形相似条件的辨析 【例3】（2023秋·上海·九年级校考期中）依据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，， 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】A. ∵，，， ∴， ∴， ∴，不符合题意； B. ∵，，，，，， ∴， ∴ 但， ∴不能判断和相似，符合题意； C. ∵，，，，，， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； D. ∵，，，， ∴,， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【例4】（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有　　 A．4组 B．5组 C．6组 D．7组 【分析】题目所给的五组条件分别是边的比和角相等，若选角相等，则任选两组即可；若选边成比例且角相等，则角必须是对应边的夹角；若都选边的比相等，则要证两个三角形的三边都对应成比例；可由此进行判断． 【解答】解：选①②，可得：，由可判定两个三角形相似； 选①④或②⑤，可通过判定两个三角形相似； 若选③④、③⑤或④⑤，可通过判定两个三角形相似； 所以共有6组；故选． 【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似． 【例5】（2024秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（ ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】按照相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键． 【例6】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案． 【解析】解：A．若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意； B．若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意； C．若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意； D．若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法． 【例7】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 题型03：添加一个条件使三角形相似 【例8】（23-24九年级上·青云中学·期中）如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（  ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】图中已知条件是∠ACB=∠BDC=90°，所以根据“两角法”、“两边及其夹角法”进行添加条件即可． 【详解】解：∠ACB=∠BDC=90°， ①若添加，可得∠ABC=∠BCD，可以判定，故①正确； ②若添加BC2=AC∙CD即时，不能判定，故②错误； ③若添加时，可以判定，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用对应角判定相似三角形，指出对应角相等或对应边成比例即可． 【例9】（23-24九年级上·实验东滩校区·期中）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果． 【详解】∵∠DAE＝∠BAC， ∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意， 当时， ∵∠B不一定等于∠AED， ∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意， 当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意， 综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键 【例10】（2024秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在中，点是边上一点，添加一个条件 ，可以使与相似． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，只需要补充另一对角相等即可得到与相似． 【详解】解：∵， ∴当时 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定条件，解题的关键是熟练掌握判定三角形相似的方法． 【例11】（2024秋·上海闵行区·九年级校考期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 即： ①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定； 故答案为：①②③ 【例12】（2024秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】添加“”，理由：设，则，再由勾股定理可得，从而得到，即可． 【详解】解：添加“”，理由： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 题型04：相似三角形的对数 【例13】（2024秋·建平中学九年级期中）如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 【详解】解：∵高BD、CE相交于点F， ∴∠BEC=∠BDC=90°， ∵∠BFE=∠CFD， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA， ∴△FBE∽△ABD， 同理可得△FCD∽△ACE， ∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似. 【例14】（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选C． 【例15】（2024秋·上海·九年级校考期中）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定． 【详解】解：∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质． 【例16】（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴和不相似，故错误； ④正确； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：B． 【例17】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D． 【详解】∵，， ∴，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C正确，不符合题意； 在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 题型05：网格中相似三角形的判定 【例18】（2024·上海金山·统考一模）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 【例19】（2024·上海宝山·统考一模）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴与相似，与相似， 故选：． 【例20】（2022宝山区一模）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设小正方形的边长是1，先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中三角形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理判定即可． 【解答】解：设小正方形的边长是1， 由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝， A．三角形的三边的长度分别为：＝2，2，4， ∵＝，＝，＝， ∴＝＝，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意； B．三角形的三边的长度分别为：2，＝，＝3， ∵＝1，＝，＝， ∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意； C．三角形的三边的长度分别为：＝，＝，3， ∵＝1，＝，＝， ∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意； D．三角形的三边的长度分别为：＝，＝3，＝2， ∵＝1，＝，＝， ∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【例21】（2024秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【分析】△EFG中∠EGF＝135°，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C． 【解答】解：由题意可得，△EFG中∠EGF＝135°，EG＝2，GF＝，EF＝． A、△EFA中，∠AEF＞135°，则△EFA与△EFG不相似，故本选项不符合题意； B、△EFB中，∠BEF＞135°，则△EFB与△EFG不相似，故本选项不符合题意； C、△EFC中，EF＝，CE＝，CF＝5， ∵＝＝＝， ∴△EFG∽△FCE， 即△EFC与△EFG相似，故本选项符合题意； D、△EFD中，90°＜∠DEF＜135°，则△EFD与△EFG不相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键． 题型06：求解符合相似条件的情况的个数 【例22】（2024·上海金山·统考一模）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当时，只要满足，都能满足题意；当时，得到，则，再由，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当时， ∴， ∴只要满足，都能满足题意；    如图所示，当时， ∵直线把分成面积相等的两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是． 故答案为：    【例23】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分与为对应边和与为对应边，两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【解析】解：是直角三角形， 以点D，C，O为顶点的三角形也是直角三角形， 点D在x轴上， ， 、、， ， 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 综上，这样的直线有4条， 故答案为：4． 【例24】（2024秋·位育中学九年级期中）如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似 【分析】由，，：，即：：，利用勾股定理即可求得与的长，然后设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似，则可得，，，再分别从当时，∽与当时，∽，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：，，：，即：：， 设，， 则， 即， 解得：， ，， ， 设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似， 则，，， 是公共角， ①当，即时，∽， 解得：， ②当，即时，∽， 解得：， 过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键． 题型07：相似三角形的证明 【例25】（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形与相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明即可得到 （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 【例26】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1） （2） ， ， 【例27】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 【例28】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知四边形中，过点作、，分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据，可得，根据．证明，进而可以解决问题； （2）由，可得，所以，再由，可得，由，得，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵，即：， ∴， ∴， ∴， 即：； （2）证明∵， ∴， 则：， ∴， 由（1）知：， 又∵ ∴ 则：， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形，且 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，得到． 题型08：综合压轴 【例29】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点的对称点落在对角线上和落在对角线上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点的对称点落在对角线上时， 由折叠可得，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点的对称点落在对角线上时，设与相交于点， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 综上，长为或， 故答案为：或． 【例30】（2025·上海杨浦·一模）已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】延长交于点，连接，由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，由折叠的性质可得，，，由等边对等角可得，利用邻补角互补可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，由点是边的中点可得，进而可得，利用可证得，于是可得，进而可得，则，，即，，，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 将沿翻折，点落到点处， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，两直线平行内错角相等，折叠的性质，等边对等角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，等角对等边，线段中点的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【例31】（2024秋复兴高中附中校考期中）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，x的值为 4或20. 【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE； （2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式． 【详解】(1)证明：∵AD∥BC, ∴∠PAF=∠AEB. ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE. (2) 若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB. 如图，连接PE,DE, ∴PE∥AB. ∴四边形ABEP为矩形. ∴PA=EB=4，即x=4. 如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB. ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF. ∴PE=PA. ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点. ∵AE=， ∴EF=AE=. ∵， ∴PE=20，即x=20. ∴满足条件的x的值为4或20. 【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 【例32】（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【例33】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2) (3)当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）连接 ， 四边形是平行四边形，    ， ， ， ； （2），， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， （3） 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 一、选择题 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形相似的判定，根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，，，，， ∴， ∴， ∴；故B不符合题意； 如图，    ∵，， ∴， ∴即， ∴；故C不符合题意； ∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似． 故选D． 2．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ACD∽△ADE， ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∵∠B=∠DCE， ∴△CDE∽△BCD， 故共4对， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 4．（2025·上海崇明·一模）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 5．（2024秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为， 第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似； 第2个图形中，三边长分别为，，， ∵， 则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似； 第3个图形中，三边长分别为，，， ∵， 则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似； 第4个图形中，三边长分别为，，， ∵， 则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似； 故选：B． 6．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（    ）．    A．5 B． C．或4 D．5或 【答案】D 【分析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到或，设BF=x，则CF=10-x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案． 【详解】解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，    ∴BF=B′F， 设BF=x，则CF=10-x， ∵当△B′FC∽△ABC， , ∵AB=8，BC=10， ∴，解得：x=， 即：BF=， 当△FB′C∽△ABC，， ， 解得：x=5， 故BF=5或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，以及图形的折叠问题，解此题的关键是设BF=x，根据相似三角形的性质列出比例式． 2、 填空题 7．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 ． 【答案】 【分析】根据题目中三角形的边长计算出两个相似三角形的相似比,则第三边可利用三边对应成比例进行计算. 【详解】由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:, 故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 【答案】4 【分析】根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC， ∴ 又 又 ， 又 与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个 故答案为：4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解题的关键． 9．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，，请你再添加一个条件______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角或对应边成比例即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴当或或或时两三角形相似． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 10．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，分别列出比例式求解即可 【详解】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t， ∴AD＝6﹣t， ∵∠A＝∠A， ∴分两种情况： ①当时，＝ 即＝，解得：t＝； ②当时，＝ 即＝，解得：t＝； 综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似． 故答案为：或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题 11．（2025·上海普陀·一模）已知：如图，梯形中，，为对角线，． (1)求证：； (2)E为的中点，作，交边于点F，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）先证明，可得，再由可得，结合，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即：， ∴ ∴ 12．（2025·上海崇明·一模）如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边： （1）先证明得到，再由三角形中线的定义得到，据此可证明结论； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，导角证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 又是边上中线， ， ， 又， ； （2）证明：，   ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 13．（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明，得到，，又因为，所以，然后证明，得到，即可得证； （2）延长、交于点，由已知条件得，又，所以，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即； （2）解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即． 14．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)6或. 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、分情况讨论是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，设，则，则，解得x的值，即可得到答案； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，，（经检验都是原方程的解，且都符合题意）， ∴的长为或 （3）如果， ∵， ∴， ∵E， ∴， ∴， ∴； 如果， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为6或. 15．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，，，平分．    (1)求的长； (2)求的值； (3)点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 【答案】(1)16 (2) (3)或. 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，证明，得出，代入数据计算即可得出答案； （2）作，垂足为，由角平分线的性质定理得出，证明得出，由勾股定理得出，代入数据计算出，即可得解； （3）先求出，由得出，再分两种情况：，，利用相似三角形的性质分解求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， ， ， ， ， （2）解：作，垂足为，   平分，，， ， ， ， ， ， 又，，， ， ， ； （3）解：，，， ， ，， ， ， ， 如果，则， ， ； 如果，则， ， ； 的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.4 相似形的判定 知识点1、相似三角形 1.相似三角形的概念：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 3.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数). 4.两个三角形相似比的关系：设△ABC与△A'B'C′的相似比为k,△A'B'C′与△ABC的相似比为k′,则k′=. 5.三角形相似的传递性： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 知识点2、相似三角形的判定 1.利用定义判定相似三角形 要点：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． 2.预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 3.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 5.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 知识点3、直角三角形相似的判定定理 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似 题型01：相似三角形的判定 【例1】（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【例2】（2024·上海黄浦·统考一模）下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 题型02：三角形相似条件的辨析 【例3】（2023秋·上海·九年级校考期中）依据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，， 【例4】（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有　　 A．4组 B．5组 C．6组 D．7组 【例5】（2024秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（ ） A． B．是的平分线 C． D． 【例6】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 【例7】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 题型03：添加一个条件使三角形相似 【例8】（23-24九年级上·青云中学·期中）如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（  ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例9】（23-24九年级上·实验东滩校区·期中）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【例10】（2024秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在中，点是边上一点，添加一个条件 ，可以使与相似． 【例11】（2024秋·上海闵行区·九年级校考期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 【例12】（2024秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 题型04：相似三角形的对数 【例13】（2024秋·建平中学九年级期中）如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例14】（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例15】（2024秋·上海·九年级校考期中）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（    ） A． B． C． D． 【例16】（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【例17】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 题型05：网格中相似三角形的判定 【例18】（2024·上海金山·统考一模）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例19】（2024·上海宝山·统考一模）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【例20】（2022宝山区一模）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【例21】（2024秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 题型06：求解符合相似条件的情况的个数 【例22】（2024·上海金山·统考一模）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ．    【例23】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 【例24】（2024秋·位育中学九年级期中）如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 题型07：相似三角形的证明 【例25】（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【例26】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【例27】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【例28】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知四边形中，过点作、，分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)求证：． 题型09：综合压轴 【例29】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【例30】（2025·上海杨浦·一模）已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 【例31】（2024秋复兴高中附中校考期中）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 【例32】（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【例33】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 一、选择题 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 2．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·上海崇明·一模）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（    ）．    A．5 B． C．或4 D．5或 2、 填空题 7．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 ． 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 9．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，，请你再添加一个条件______，使得． 10．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似． 三、解答题 11．（2025·上海普陀·一模）已知：如图，梯形中，，为对角线，． (1)求证：； (2)E为的中点，作，交边于点F，求证：． 12．（2025·上海崇明·一模）如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 13．（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 14．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 15．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，，，平分．    (1)求的长； (2)求的值； (3)点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$