精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

奋斗中学2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式、一元一次不等式求集合，再由集合的交集运算求集合. 【详解】不等式，所以， 又，所以. 故选：D 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【详解】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 由可得，而由不能推出，如，但没有意义， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 6. 下列说法错误是（　　） A. 函数的图象是一条直线 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 当时，最小值是4 D. 是的充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由定义域即可判断A，根据命题的否定即可求解B，利用不等式即可求解C，举反例即可求解D. 【详解】对于A, 函数的图象是直线上的整数点，故A错误， 对于B, 命题“，都有”的否定是“，使得”,故B正确， 对于C, 当时，，当且仅当时取到最小值4，故C正确， 对于D, 若，则，故充分性成立， 当，取，不满足，故必要性不成立， 因此是的充分不必要条件，D正确， 故选：A 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因函数是减函数，故，即A错误； 对于B，因函数在上为减函数，故，即B错误； 对于C，D，由上分析，可得，故有，即C正确，D错误. 故选：C. 8. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．选对全部答案得6分，选错不得分，部分选对得部分分． 9. 已知函数，则正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的解集为 C. 的图象与的图象关于轴对称 D. 函数是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得， 由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 10. 表示不超过的最大整数，称为高斯函数，高斯函数在数学及工程学等领域有着广泛应用.下列式子的值一定为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，一一求出各选项中的函数值，即可得答案. 【详解】因为，，A正确； ，B错误； 因为，故，则，C正确； 当时，，即不一定为0，D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC，利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B，利用赋值法得到，再依次赋值可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 令，，则， 又，所以，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为， 又令，得， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，则， 即，所以，故C正确； 对于D，令，得， 所以， 所以当时，得，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且任意实数满足，当时，，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与周期性转化求解即可得的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为，所以周期为， 则， 因为当时，， 所以，故. 故答案为：. 13. 已知函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出的范围，结合函数解析式以及指数运算法则、对数恒等式可求得结果. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 14. 已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据充要条件可得是奇函数，根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，是奇函数， 即是奇函数； ， 由，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 回答下列问题： （1）计算：； （2）已知，求； （3）若，且，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算法则以及根式分数指数幂的互化解答，化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时被开方数非负． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ，所以． 【小问3详解】 当，时，． 16. 已知函数的图象经过点，函数的图象经过点. （1）求值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象经过点求出，同理求出即可求解； （2）求出的表达式和，转化原不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点， 所以， 所以，因为函数的图象经过点， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 转化为， 即得出 所以，即不等式的解集为：. 17. 已知幂函数的定义域不为. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【小问1详解】 由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求、； （2）当时， ①若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； ②若、，求的最小值. 【答案】（1），. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）分析可知、是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值； （2）由已知条件得出，①由题意可得，由此可求得实数的取值范围；②将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 由题意可知、是方程的两根，则， 解得，. 【小问2详解】 当时，则，可得，则， 则， ①因为关于的不等式解集为， 则，解得， 因此，实数的取值范围是； ②因为、，则， 当且仅当，即当时，等号成立， 所以当，时，的最小值为. 19. 设函数（且），是定义域为上的奇函数． （1）求的值，并证明当时，函数是上的增函数； （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用可求得，代回验证可知满足题意，进而利用函数单调性的定义证明单调性； （2）由可求得，令，利用二次函数性质可求得结果； （3）假设存在满足条件的正整数，将不等式化为，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，即， 此时，则， 则为奇函数，满足题意，则； ，且， 则， ，，，在上为增函数． 【小问2详解】 ，，即， 或（舍去）， ． 令，由（1）知在上为增函数，， ， 当时，有最大值；当时，有最小值， 的值域为． 【小问3详解】 当时，， 则， 假设存在满足条件的正整数，则， ①当时，不等式恒成立，． ②当时，，则，令， 则，而在上是增函数，． ③当时，，则，令， 则，而在上是减函数，． 综上所述，且不成立，所以不存在． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（　　） A. 函数图象是一条直线 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 当时，最小值是4 D. 是的充分不必要条件 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．选对全部答案得6分，选错不得分，部分选对得部分分． 9. 已知函数，则正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的解集为 C. 的图象与的图象关于轴对称 D. 函数是偶函数 10. 表示不超过的最大整数，称为高斯函数，高斯函数在数学及工程学等领域有着广泛应用.下列式子的值一定为0的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且任意实数满足，当时，，则_______. 13 已知函数，则___________. 14. 已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 回答下列问题： （1）计算：； （2）已知，求； （3）若，且，求代数式的值． 16. 已知函数的图象经过点，函数的图象经过点. （1）求的值； （2）解不等式. 17. 已知幂函数的定义域不为. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求、； （2）当时， ①若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； ②若、，求的最小值. 19. 设函数（且），是定义域为上奇函数． （1）求的值，并证明当时，函数是上的增函数； （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $