23.1图形的旋转讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第23章 旋转 ❊23.1 图形的旋转 思维导图 题型精析 一．旋转 内容 旋转 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素. 题型一 生活中的旋转现象 电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）例1 A．平移，旋转 B．旋转，旋转 C．轴对称，旋转 D．平移，轴对称 【答案】C 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：观察图片可知，第一幅图片和第二幅图片为轴对称变换， 第二幅图片和第三幅图片为旋转变换， 故变换顺序是轴对称，旋转． 故选：C． 下列现象中不属于旋转的是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有_______.（写出序号）变2 【答案】②③ 【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据旋转，平移的定义进行判断即可． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求； ②翻动书页，是旋转，故符合要求； ③方向盘的转动，是旋转，故符合要求； ④传送带的移动，是平移，故不符合要求． 故答案为：②③． 题型二 旋转成图 北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是： ． 故选：D 将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】 解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是， 故选：． 如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可． 【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角， 再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角． 故选C． 观察图，图形②是图形①（　　）得到的.变2 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据旋转，平移的特点解答即可． 【详解】解：根据题意，得先绕C点逆时针旋转再向右平移2个格，得到题意图， 故选：B． 二．旋转的性质 性质 如图所示，将△ABC绕点C旋转60°至△DCE，则： 性质1：△ABC≌△DCE，对应边、对应角相等. 性质2：对应边的旋转角都等于旋转角.如AC与EC、BC与DC、AB与ED的夹角都等于旋转角60°. 性质3：旋转后，会产生等腰三角形. 题型三 旋转的性质 在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　）例1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（　　）变1 A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角 C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC 【答案】D 【分析】利用旋转的性质即可求解 【详解】解：∵△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置， ∴△ABC≌△DEC，点B与点E是对应点，点A与点D是对应点，∠ACD与∠BCE是旋转角， 故选：D． 在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）变2 A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意； C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意． 故选：B． 题型四 根据旋转的性质求角度 如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α（0°<α<55°）得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）例1 A．80° B．85° C．90° D．95° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 如图，将RtABC绕着直角顶点A顺时针旋转90°后得到，则的度数为（ ）例2 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查等腰直角三角形的性质和旋转的性质．根据旋转的性质可得到，从而不难求得的度数． 【详解】解：由题意可得，，，则， 故选：B． 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC，A，B的对应点分别是E，D；若点D恰好落在AB边上，AC与DE相交于点F，∠BCD=40°，且AD=CD，则∠E的度数为______．变1 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转得：，，则，由等腰三角形得到，再由外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=______°．变2 【答案】20 【解析】 【详解】∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=40°． 在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°． ∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°． 如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 题型五 根据旋转求坐标 以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形变换旋转．建立平面直角坐标系，作出旋转后的图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为．    故选：B． 如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形．根据题意画出图形，即可可得结论． 先求出点绕点逆时针旋转后的坐标为，再求向下平移4个单位后的点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，点绕点逆时针旋转，得到点， 向下平移4个单位，得到， 故选：D． 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案． 【详解】解：如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转，得到， 由图中可知，点，将先向右平移3个单位，得坐标为：，再绕原点O逆时针旋转，得到，则点A的对应点的坐标是． 故选：D． 题型六 根据旋转作图 如图，在每个小正方形边长为的正方形网格中，建立了如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点的坐标是．例1 （1）画出关于轴对称的； （2）画出绕原点按顺时针方向旋转得到的，并直接写出点的坐标； （3）在（）、（）的条件下，若点在轴上，且的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，，，； (3)． 【分析】（）画出关于轴的对称点，然后连接即可； （）画出绕原点按顺时针方向旋转的对称点，然后连接即可； （）连接与轴交于点； 本题考查作图-轴对称变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换和旋转变换的性质，正确作出图形． 【详解】（1）如图，关于轴的对称点， ∴即为所求； （2）如图，绕原点按顺时针方向旋转的对称点， ∴即为所求，； （3）如图，连接与轴交于点， ∴点即为所求，． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． 例2 （1）按下列要求作图： ①将向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到； ②将绕点逆时针旋转90°，得到； （2）在（1）②中，求点在旋转过程中所经过的路径长． 【答案】(1)①答案见详解；②答案见详解 (2) 【分析】本题主要考查了图形平移变换和旋转变换的作图，图形平移和旋转的性质，弧长的计算，利用平移和旋转的性质作出正确的图形是解答本题的关键． （1）①利用点平移的坐标规律，分别写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点连线即得； ②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点、、的对应点、、，连线即得； （2）由图形的旋转过程可知，旋转中心为点，旋转角为，即点的所经过的路径是一段弧，利用弧长公式计算即可得到答案． 【详解】（1）①如图所示，就是平移后的三角形； ②如图所示，就是旋转后的三角形； （2）如图，在旋转过程中，点所经过的路径是以点为圆心，长为半径的一段弧，的长为． 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．变1 （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形： （1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可； （2）设交y轴于点D，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：设交y轴于点D，则点， ， ∵的面积是面积的倍， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，．变2 （1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，在所给图的坐标系中画出平移后的； （2）将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的，并直接写出的坐标； （3）求出点旋转到点的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；点的坐标为 (3)点旋转到点的路径长为 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求，的坐标(-2，1)； （3）解：∵， ∴点旋转到点的路径长=． 题型七 旋转中的规律问题 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．例2    【答案】 【分析】根据题意，发现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1， ∴AB＝2，BC＝， ∴将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环， ∵2020÷3＝673…1， ∴AP2020＝673（2＋＋1）＋2＝2021＋673， 故答案为：2021＋673. 已知：如图，等边三角形的边长为边在轴正半轴上，现将等边三角形绕点逆时针旋转，每次旋转则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找到等边三角形OAB的中心点，再根据等边三角形的三线合一可得出E，OE=2，最后根据规律即可求解． 【详解】 解：过点B作BD⊥OA于D，过点O作OF⊥AB于F，BD与OF相交于点E，则点E是等边三角形的中心． ∵等边三角形OAB的边长为 ∴OD=，∠AOF= ∴DE= ∴E，OE=2 依题意可知：OE每次逆时针旋转，那么每6次又回到原位置． ∴ 故选：D 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段．．．．．．如此下去，得到线段为正整数)，则点的坐标为 ．变2 【答案】 【分析】先根据伸长的变化规律求出OP2019的长度，再根据每8次变化为一个循环组，求出点P2019是第几组第几次的变化，然后确定出所在的位置即可解决问题． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， ， ， ···， 则 ∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8， ∴每8次变化为一个循环组， 2019÷8＝252…3， 点是第组的第次变换对应的点，在轴的负半轴上 点的坐标为 故答案为 课后强化 1.下列说法中，正确的是（ ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题考查用数学知识解决问题，理解旋转定义、平移定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移现象，原说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2.如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了寻转的性质，根据旋转下判断即可． 【详解】 根据题意，旋转变化后的图片应是， 故选：B． 3.如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（ ） A．将甲绕点顺时针旋转 B．将乙绕点逆时针旋转 C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转 D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 4.在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 5.如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角等于（ ）    A． B． C．15° D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转的性质可得，继而根据可得． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转某个角度得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 6.如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（ ） A．70° B．40° C．50° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角、平行线的性质．旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：B． 7.如图，将先向左平移个单位，再绕原点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、坐标与图形变化平移，结合平移的性质、旋转的性质先画出图形，即可得答案． 【详解】解：由图可得，点的对应点的坐标为． 故选：C． 8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．    （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标_______； （2）画出绕点顺时针旋转后的，求出点旋转到所经过的路径长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】（1）根据轴对称的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，然后由所作图形可得点的坐标； （2）根据旋转的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，利用勾股定理求出，然后根据弧长公式计算点旋转到所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图所，点的坐标为；    故答案为：； （2）如图所示， 由勾股定理得：， ∴点旋转到所经过的路径长为：． 9.将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）      A．6 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【分析】由题意结合图形判断出每次变换后，骰子朝上一面的点数，即可得出结论． 【详解】解：由题意结合图形可知：完成1次变换后，骰子朝上一面的点数为5； 完成2次变换后，骰子朝上一面的点数为6； 完成3次变换后，骰子朝上一面的点数为3； 完成4次变换后，骰子朝上一面的点数为5． 故选B． 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B 11.如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ． 【答案】（22017，-22017） 【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2017的坐标位置，进而得出答案． 【详解】∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1， ∴AB=OA=1， ∴B（1，1）， 将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO， 再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律， ∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16）， ∵2017÷4=504…1， ∴点B2017与B1同在一个象限内， ∵-4=-22，8=23，16=24， ∴点B2017（22017，-22017）． 故答案为（22017，-22017）． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 12 页 第 23章 旋转 ❊23.1 图形的旋转 思维导图 题型精析 一．旋转 内容 旋转 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的 三要素. 题型一 生活中的旋转现象 例 1 电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下 列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ） 第 2 页 共 12 页 A．平移，旋转 B．旋转，旋转 C．轴对称，旋转 D．平移，轴对称 变 1 下列现象中不属于旋转的是（ ） A． B． C． D． 变 2 有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属 于旋转的有_______.（写出序号） 题型二 旋转成图 例 1 北京冬奥会将于 2022年 2月 4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”， 将图片按顺时针方向旋转 90°后得到的图片是（ ） A． B． C． D． 第 3 页 共 12 页 例 2 将如图图形绕点O顺时针旋转90，得到的图形是（ ） A． B． C． D． 变 1 如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折 180°后，再将翻折后的正方形绕它的右 下顶点按顺时针方向旋转 90°，所得到的图形是（ ） A． B． C． D． 变 2 观察图，图形②是图形①（ ）得到的. A．先向右平移 3个格，再绕 C点逆时针旋转 90 B．先绕 C点逆时针旋转90，再向右平移 2个格 C．先向右平移 2个格，再绕 B点逆时针旋转90 D．先绕 A点顺时针旋转90，再向右平移 3个格 二．旋转的性质 性质 如图所示，将△ABC绕点 C旋转 60°至△DCE，则： 性质 1：△ABC≌△DCE，对应边、对应角相等. 性质 2：对应边的旋转角都等于旋转角.如 AC与 EC、BC与 DC、AB与 ED的 夹角都等于旋转角 60°. 性质 3：旋转后，会产生等腰三角形. 题型三 旋转的性质 第 4 页 共 12 页 例 1 在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心 所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上 述四种说法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变 1 如图，△ABC绕点 C旋转，点 B转到点 E的位置，则下列说法正确的是（ ） A．点 B与点 D是对应点 B．∠BCD等于旋转角 C．点 A与点 E是对应点 D．△ABC≌△DEC 变 2 在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 题型四 根据旋转的性质求角度 例 1 如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α（0°<α<55°）得到△ADE，DE交 AC于 F．当 α=40°时，点 D恰好落在 BC上，此时∠AFE等于（ ） A．80° B．85° C．90° D．95° 例 2 如图，将 RtABC绕着直角顶点 A顺时针旋转 90°后得到 CBA  ，则 ACC  的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 第 5 页 共 12 页 变 1 如图，将△ABC绕点 C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC，A，B的对应点分别是 E，D；若点 D恰好落在 AB边上，AC与 DE相交于点 F，∠BCD=40°，且 AD=CD，则∠E的度数为______． 变 2 如图，把 Rt△ABC绕点 A逆时针旋转 40°，得到 Rt△AB′C′，点 C′恰好落在边 AB上，连接 BB′， 则∠BB′C′=______°． 变 3 如图，将 ABC 绕点 C顺时针旋转 得到 CBA  ．当点 B落在 BA的延长线上时，恰好 A B AC ∥ ， 若 140  ，则 BAC 的度数为（ ） A． 20 B．40 C．60 D．80 题型五 根据旋转求坐标 例 1 以原点为中心，将点 (4,5)P 按逆时针方向旋转90，得到的点 Q的坐标为（ ） A． ( )4,5 B． ( 5,4) C． (4, 5) D． (5, 4) 例 2 如图，将线段 AB先绕原点O按逆时针方向旋转90，再向下平移 4个单位，得到线段 A B ，则点 A的对应点 A的坐标是（ ） 第 6 页 共 12 页 A．  1, 6 B．  1,6 C．  1, 2 D．  1, 2  变 1 在平面直角坐标系中，点A的坐标为  3,2 ，将线段OA绕着点O逆时针旋转90得线段OA，则点 A的坐标为（ ） A．  3,2 B．  2,3 C．  3, 2 D．  2, 3 变 2 如图，将 ABC 先向右平移 3个单位，再绕原点 O逆时针旋转90，得到 CBA  ，则点 A的对 应点 A的坐标是（ ） A． ( 3,0) B． ( 3, 2) C． (1, 3) D． ( 3,1) 题型六 根据旋转作图 例 1 如图，在每个小正方形边长为1的正方形网格中，建立了如图所示的平面直角坐标系， ABC 的 三个顶点的坐标是      2,4 , 4,1 , 1,2A B C   ． （1）画出 ABC 关于 y轴对称的 1 1 1A BC△ ； 第 7 页 共 12 页 （2）画出 ABC 绕原点O按顺时针方向旋转180得到的 222 CBA ，并直接写出点 2 2 2, ,A B C 的坐标； （3）在（1）、（ 2）的条件下，若点 P在 x轴上，且 12 PBPC  的值最小，请直接写出 P点的坐标． 例 2 如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC 的三个顶点坐标分别为  11A ，，  4 0B ， ，  4 4C ， ． （1）按下列要求作图： ①将 ABC 向左平移 4个单位，再向上平移 1个单位得到 1 1 1A BC△ ； ②将 ABC 绕点 B逆时针旋转 90°，得到 222 CBA ； （2）在（1）②中，求点C在旋转过程中所经过的路径长． 变 1 如图，在平面直角坐标系中 xOy，已知△ABC三个顶点的坐标分别为 A 1,3 ，B −1,1 ，C −2,2 ． （1）画出△ABC绕原点 O顺时针旋转 90°得到的△A1B1C1； （2）在 y轴上取点 P，使△ABP的面积是△ABC面积的 2 3 倍，求点 P的坐标． 第 8 页 共 12 页 变 2 如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 (1, 2)B ， (5,3)C ． （1）将 ABC 平移，使得点 A的对应点 1A的坐标为 ( 3, 4) ，在所给图的坐标系中画出平移后的 1 1 1A BC△ ； （2）将 1 1 1A BC△ 绕点 1C 逆时针旋转 90°，画出旋转后的 2 2 1A B C△ ，并直接写出 2A 的坐标； （3）求出点 1A旋转到点 2A 的路径长． 题型七 旋转中的规律问题 例 1 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图 1，风 力发电机有三个底端重合、两两成120角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为 x轴建立平面直 角坐标系（如图 2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为  5,5A ，在一段时间内，叶片每秒 绕原点 O顺时针转动90，则第2024秒时，点A的对应点 2024A 的坐标为（ ） 第 9 页 共 12 页 A．  5,5 B．  5, 5 C．  5, 5  D．  5,5 例 2 如图 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且 AC在直线 l上，将△ABC绕点 A顺时 针旋转到①，可得到点 P1，此时 AP1＝2；将位置①的三角形绕点 P1顺时针旋转到位置②，可得到点 P2，此 时 AP2＝2+ 3；将位置②的三角形绕点 P2顺时针旋转到位置③，可得到点 P3，此时 AP3＝3+ 3；…按此规 律继续旋转，直到点 P2020为止，则 AP2020等于 ． 变 1 已知：如图，等边三角形OAB的边长为 2 3,边OA在 x轴正半轴上，现将等边三角形OAB绕点O 逆时针旋转，每次旋转 60 , 则第 2020次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ） A．  3,1 B．  0, 1 C．  3, 1  D．  0, 2 变 2 如图，在直角坐标系中，已知点 0P 的坐标为  2, 2 ，将线段 0OP 按逆时针方向旋转 45，再将其 长度伸长为 0OP的 2倍，得到线段 1OP；又将线段 1OP按逆时针方向旋转 45，长度伸长为 1OP的 2倍，得到 线段 2OP ．．．．．．如此下去，得到线段 3 4, ,.., (nOP OP OP n 为正整数)，则点 2019P 的坐标为 ． 第 10 页 共 12 页 课后强化 1.下列说法中，正确的是（ ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 2.如图为芜湖市轨道交通 Logo，将其按顺时针方向旋转90后得到的图片是（ ） A． B． C． D． 3.如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（ ） A．将甲绕点O顺时针旋转90 B．将乙绕点O逆时针旋转90 C．将甲绕着 AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90 D．将甲先向下平移至点O和 F 重合，再绕点 F 逆时针旋转90 4.在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 5.如图，把 ABC 绕点C顺时针旋转某个角度 得到 CBA  ， 30A  ， 1 50  ，则旋转角 BCB 等于 （ ） A．30 B．25 C．15° D． 20 第 11 页 共 12 页 6.如图所示，在 ABC 中， 70CAB  ，在同一平面内，将 ABC 绕点A逆时针旋转到 AB C △ 的位置，使 CC AB∥ ，则 BAB 度数为（ ） A．70° B．40° C．50° D．80° 7.如图，将 ABC 先向左平移1个单位，再绕原点O逆时针旋转90，得到 CBA  ，则点A的对应点 A的坐 标是（ ） A．  3,4 B．  3, 4 C．  3,3 D．  3, 3 8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， ABC 的三个顶 点坐标分别为      4,6 , 5,2 , 2,1A B C ． （1）画出 ABC 关于 y轴对称的 1 1 1A BC△ ，直接写出点 1A的坐标_______； （2）画出 ABC 绕点O顺时针旋转90后的 222 CBA ，求出点C旋转到 2C 所经过的路径长． 第 12 页 共 12 页 9.将正方体骰子（相对面上的点数 1和 6、2和 5、3和 4）放置于水平桌面上，如图 1.在图 2中，将骰子向 右翻滚 90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图 1所示的状态， 那么按上述规则连续完成 4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） A．6 B．5 C．3 D．1 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点 A，B分别在 y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点 C，D在 第一象限，已知 OA=OB=1，BC=2 2，将矩形 ABCD绕点 O逆时针旋转，每次旋转 90°，则第 2025次旋转 结束时，点 C的坐标是（ ） A． 3,2 B． −2,3 C． −3,−2 D． −3,2 11.如图,在平面直角坐标系 xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在 x轴上，且AO=1, 将 Rt△AOB绕原点 O顺时针旋转 90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形 A1OB1;将 Rt△A1OB1 绕原点 O顺时针转 90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形 A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角 形 A2017OB2017，则点 B2017的坐标 ． 第23章 旋转 ❊23.1 图形的旋转 思维导图 题型精析 一．旋转 内容 旋转 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素. 题型一 生活中的旋转现象 电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）例1 A．平移，旋转 B．旋转，旋转 C．轴对称，旋转 D．平移，轴对称 下列现象中不属于旋转的是（ ）变1 A． B． C． D． 有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有_______.（写出序号）变2 题型二 旋转成图 北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）例1 A． B． C． D． 将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（ ）例2 A． B． C． D． 如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　）变1 A． B． C． D． 观察图，图形②是图形①（　　）得到的.变2 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 二．旋转的性质 性质 如图所示，将△ABC绕点C旋转60°至△DCE，则： 性质1：△ABC≌△DCE，对应边、对应角相等. 性质2：对应边的旋转角都等于旋转角.如AC与EC、BC与DC、AB与ED的夹角都等于旋转角60°. 性质3：旋转后，会产生等腰三角形. 题型三 旋转的性质 在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　）例1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（　　）变1 A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角 C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC 在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）变2 A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 题型四 根据旋转的性质求角度 如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α（0°<α<55°）得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）例1 A．80° B．85° C．90° D．95° 如图，将RtABC绕着直角顶点A顺时针旋转90°后得到，则的度数为（ ）例2 A．30° B．45° C．60° D．90° 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC，A，B的对应点分别是E，D；若点D恰好落在AB边上，AC与DE相交于点F，∠BCD=40°，且AD=CD，则∠E的度数为______．变1 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=______°．变2 如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（ ）变3 A． B． C． D． 题型五 根据旋转求坐标 以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（ ）例1 A． B． C． D． 如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）例2 A． B． C． D． 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）变1 A． B． C． D． 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）变2 A． B． C． D． 题型六 根据旋转作图 如图，在每个小正方形边长为的正方形网格中，建立了如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点的坐标是．例1 （1）画出关于轴对称的； （2）画出绕原点按顺时针方向旋转得到的，并直接写出点的坐标； （3）在（）、（）的条件下，若点在轴上，且的值最小，请直接写出点的坐标． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． 例2 （1）按下列要求作图： ①将向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到； ②将绕点逆时针旋转90°，得到； （2）在（1）②中，求点在旋转过程中所经过的路径长． 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．变1 （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，．变2 （1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，在所给图的坐标系中画出平移后的； （2）将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的，并直接写出的坐标； （3）求出点旋转到点的路径长． 题型七 旋转中的规律问题 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）例1 A． B． C． D． 如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．例2    已知：如图，等边三角形的边长为边在轴正半轴上，现将等边三角形绕点逆时针旋转，每次旋转则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）变1 A． B． C． D． 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段．．．．．．如此下去，得到线段为正整数)，则点的坐标为 ．变2 课后强化 1.下列说法中，正确的是（ ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 2.如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ） A． B． C． D． 3.如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（ ） A．将甲绕点顺时针旋转 B．将乙绕点逆时针旋转 C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转 D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转 4.在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 5.如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角等于（ ）    A． B． C．15° D． 6.如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（ ） A．70° B．40° C．50° D．80° 7.如图，将先向左平移个单位，再绕原点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．    （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标_______； （2）画出绕点顺时针旋转后的，求出点旋转到所经过的路径长． 9.将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）      A．6 B．5 C．3 D．1 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 11.如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$