22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第 1 页 共 9 页 ❊22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与性质 思维导图 题型精析 一．将一般式化为顶点式 步骤 内容 已知 )0(2  acbxaxy ，将其化为顶点式 khxay  2)( ，则： 第一步（提） cx a bxay  )( 2 第二步（配） c a b a bx a bxay  ) 44 ( 2 2 2 2 2 第三步（整理 1） c a b a bxay  4 ) 2 ( 2 2 第三步（整理 2） a bac a bxa a ac a b a bxay 4 4) 2 ( 4 4 4 ) 2 ( 2 2 2 2  二． y=ax2+bx+c 的图像与性质 y=ax2+bx+c 的图像与性质 已知 )0(2  acbxaxy ，将其化为顶点式为 a bac a bxay 4 4) 2 ( 2 2  ，则： 【性质 1】函数的对称轴为______，顶点坐标为______，最值为______. 【性质 2】当 a>0时， a bx 2  时，函数递______， a bx 2  时，函数递______. 第 2 页 共 9 页 【性质 3】当 a<0时， a bx 2  时，函数递______， a bx 2  时，函数递______. 题型一 将一般式化为顶点式 例 1 把二次函数 22 4 2y x x    化为  2y a x h k   的形式： ． 变 1 用配方法将 23 6y x x  写成  2y a x h k   的形式是 ． 例 2 将二次函数 22 4 8y x x   化为顶点式为 ，对称轴是直线 ． 变 2 抛物线 24 8 3y x x    ，最高点的坐标是 ． 例 3 将二次函数 2 4 3y x x   的图像向右平移 2个单位，再向上平移 1个单位后，解析式为（ ） A．  26 2y x   B．  22 1y x   C．  22 1y x   D．  24y x  变 3 抛物线 122  xxy 向右平移 2个单位后再向下平移 3个单位，此时抛物线的解析式为（ ） A． 2( 1) 3y x   B． 2( 3) 3y x   C． 2( 3) 3y x   D． 2( 1) 3y x   三．函数 y=ax2+bx+c 中的 a、b、c 内容 1.函数 y=ax2+bx+c中的 a决定二次函数的________，当 a>0时，开口_____，当 a<0时，开口_____； 2.函数 y=ax2+bx+c中的 a、b共同决定二次函数的________，且有规律“左____右____”； 3.函数 y=ax2+bx+c中的 a决定二次函数________. 题型二 y=ax2+bx+c 中的 a、b、c 例 1 根据图像填空： （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5） a bac 4 4 2 _____. 变 1 根据图像填空： 第 3 页 共 9 页 （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5） a bac 4 4 2 _____. 变 2 根据图像填空： （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5） a bac 4 4 2 _____. 四．y=ax2+bx+c 的对称轴 对称轴 y=ax2+bx+c的对称轴 1.y=ax2+bx+c的对称轴公式：x=______. 2.若函数 y=ax2+bx+c过（a，m）、（b，m）两点，则函数的对称轴为：x=____. 题型三 y=ax2+bx+c 的对称轴 例 1 求下列二次函数的对称轴： （1）   对称轴132 xxy _______；（2）   对称轴12 2xy _______； （3）   对称轴362 2 xxy _______；（4）   对称轴252 xxy _______. 变 1 求下列二次函数的对称轴： （1）   对称轴322 xxy _______；（2）   对称轴142 2 xxy _______； （3）   对称轴263 2 xxy _______；（4）   对称轴232 xxy _______. 例 2 若 A（-1，7）、B（5，7）是抛物线 y=ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的对称轴是（ ） A．直线 x=1 B．直线 x=2 C．直线 x=3 D．直线 x=4 变 2 已知抛物线 22 4 5( 0)y mx mx m     经过 ( 3, )n 和 ( , )a n 两点，则 a值为 ． 第 4 页 共 9 页 例 3 已知二次函数 2y x bx c＝ ＋ ＋ 中，函数 y与自变量 x的部分对应值如表： x … 1 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 若 1 2( , ) ( 8, )A m y B m y， 两点都在该函数的图象上，当m  时， 1 2y y ． 例 4 下表列出的是一个二次函数的自变量 x与函数 y的几组对应值： x … 5 4 3 2 1 0 … y … 4 0 2 2 0 a … 其中，a的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 变 3 二次函数 2y ax bx c   的自变量 x与函数值 y的部分对应值如表，根据下表回答问题． x  3 2 1 0  y  2 2 0 4  若  1,A m y 、  25,B m y 两点都在该函数图象上，当 1 2y y 时，m的值为 ． 变 4 已知二次函数 2y ax bx c   中 x与 y的部分对应值如表，则 m的值为______． x 3 2 0 1 2 3 5 y 10 3 5 6 m 2 10 五．y=ax2+bx+c 的增减性 内容 y=ax2+bx+c 的增减性 1.当 a>0时， a bx 2  时，函数递______， a bx 2  时，函数递______； 2.当 a<0时， a bx 2  时，函数递______， a bx 2  时，函数递______. 增减性与对称轴 1.当 a>0，离对称轴越远，函数值越_____； 2.当 a<0，离对称轴越远，函数值越_____. 题型四 y=ax2+bx+c 的增减性 例 1 已知函数 162 2  xxy ，则当 x _____时，函数递增，当 x _____时，函数递减. 变 1 函数 522  mxxy ，若当 2x 时，函数递减，求 m的取值范围是______. 例 2 已知点  12,A y ，  21,B y ，  32,C y 都在二次函数 2 2 5( 0)y ax ax a    的图象上，则 1y ， 2y ， 第 5 页 共 9 页 3y 的大小关系用“ ”连接的结果为 ． 变 2 若  14,A y ，  23,B y ，  31,C y 为二次函数 2 4y x x c   的图象上的三点，则 1y ， 2y ， 3y 的大 小关系是 ． 变 3 若二次函数  2 0y ax bx c a    的图象经过  13A y ， ，  21B y， ，  32C y ， ，  34D y ， 四点， 则 1y ， 2y ， 3y 的大小关系正确的是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 1 3 2y y y  C． 2 3 1y y y  D． 3 2 1y y y  六．y=ax2+bx+c 的最值 方法 内容 公式法 函数 y=ax2+bx+c的最值是:________. 配方法 将 y=ax2+bx+c配成顶点式，即可求出最值. 对称轴法 求出对称轴，将对称轴带入解析式即可. 题型五 根据增减性求最值 例 1 二次函数 2 1y x x   的最小值为 ． 变 1 二次函数 762  xxy 的最大值为 ． 例 2 已知二次函数 2 2 4y x x   ，当 2 2x   时， y的取值范围是（ ） A． 4 4y   B． 4 4y   C． 5 4y   D． 5 4y   变 2 已知函数 22 4 3y x x   ，当0 3x  时，该函数的最大值是 ． 例 3 已知二次函数 2 2 3y x bx b    （b是常数），当自变量1 5x  时，函数有最大值为 10，则 b  ． 变 3 已知二次函数 2= +4 3y x x  ，当1 x a  时，函数 y的最小值为 2 ，则 a的值为（ ） A． 2 3 3 B．2 C． 2 3 D． 2 3 七．待定系数法求二次函数的解析式 分类 解析式 使用情况 一般式 cbxaxy  2 已知函数所过的三个点 顶点式 khxay  2)( 已知顶点坐标或对称轴及最值 交点式 ))(( 21 xxxxay  已知函数与 x轴的两个交点 第 6 页 共 9 页 题型六 求二次函数的解析式 例 1 已知二次函数的图象经过点 A（-1，0），B（0，-3）和 C（3，12）．求二次函数的解析式并求 出图象的顶点 D的坐标. 例 2 如抛物线 2 2 3 y x bx c    与 x轴交于  1,0A  ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y轴交 于点  0,2C ．求抛物线的解析式； 变 1 已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析 式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 变 2 抛物线 2y x bx c    与直线 2y x  相交于  2,0A  ，  3,B m 两点，与 x轴相交于另一点 C．求 抛物线的解析式． 例 3 若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是_________． 例 4 已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    中的 x和 y满足下表： x  4 3 2 1 0 1 2  y  5 0 3 4 3 m 5  （1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值； （2）求该二次函数的表达式． 第 7 页 共 9 页 变 3 已知二次函数当 x=1时有最大值是-6，其图象经过点（2，-8），求二次函数的解析式． 变 4 二次函数 2 3y ax bx   中的 x、y满足下表： x ⋯ -1 0 1 2 3 ⋯ 2 3y ax bx   ⋯ 0 -3 -4 -3 m ⋯ （1）求这个二次函数的解析式． （2）求m的值． 例 5 在直角坐标系中，抛物线经过点 A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，求抛物线的解析式和顶点 E坐标． 变 5 已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点 C（0， 3），则二次函数的解析式是_________． 变 6 抛物线经过点 (2,0), ( 1,0)A B  ，且与 y轴交于点C．若 2OC  ，则该抛物线解析式为（ ） A． 22  xxy B． 2 2y x x    或 22  xxy C． 22  xxy D． 22  xxy 或 22  xxy 课后强化 1.用配方法求抛物线 2 6 5y x x    的顶点坐标． 2.抛物线 22 4 5y x x   的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 第 8 页 共 9 页 3.将抛物线 2 3y x x   向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为 _________． 4.抛物线 22 3y x mx   的对称轴是直线 2x   ，则 m=______． 5.已知二次函数 2y x ax b   经过两个不同点 ( , )A a m ， ( , )B b m ，则 2a b ______． 6.对于二次函数 y=ax2+bx+c，令 f（x）=ax2+bx+c，则 f（x0）表示当自变量 x=x0时的函数值．若 f（5）=f（-3）， 且 f（-2018）=2020，则 f（2020）=（ ） A．2020 B．2018 C．-2018 D．-2020 7.二次函数 2y ax bx c   图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如下表： x … 5 4 3 2 1 0 1 2 m … y … 7 2  0 5 2 4 9 2 4 5 2 n 7 2  … （1）这个二次函数的顶点坐标为_______，解析式中的 a _______； （2）表中的m  _______， n _______． 8.二次函数 2 4y x bx    经过 ( 2 ， )n 和 (4， )n 两点，则  n的值是（ ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 9.如果三点    1 21, , 2,A y B y 和  36,C y 在抛物线  2 6 4 0y mx mx m    的图象上，那么 1 2 3, ,y y y 的大小关 系是 ．（用“ ”连接） 10.点 )( maA ， ， )2( maB ， ， )1( 11 yP ， ， )3( 22 yP ， ， )5( 33 yP ， 均在二次函数 2y x bx c =- 的图象上，则 1 2 3y y y， ， 的大小关系是 ． 11.已知抛物线 122  xxy ，当 2 4  x 时，则 y的取值范围是_______． 12.若存在实数2 4x  时，使 2 2 5 0x x m    成立，则m的取值范围为（ ） A． 13m B． 5m  C． 4m  D． 13m  13.已知二次函数 2 1y x bx   在 1 2x   时最小值为 3 ，则 b的值为（ ） A．4 B．4或 5 C． 5 D． 4 或 5 14.已知：二次函数 2y x bx c   的图象经过 (2, 3) ( 2,5) 、A B ．求抛物线的解析式； 15.求分别满足下列条件的二次函数解析式： （1）二次函数图像经过 (1,2),(0, 1),(2,3) 三点． （2）二次函数图像的顶点坐标是  2,3 ，并经过点  1, 2 ． 16.抛物线 2y x bx c   上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ 第 9 页 共 9 页 y ⋯ 3 0 -1 0 3 ⋯ 则抛物线的解析式是_________． 17.一个二次函数的图象与抛物线 23y x 的形状相同、开口方向相同，且顶点为 (1,4)，那么这个函数的解析 式是_________． 18.若抛物线 2y ax bx c   的顶点是  2,1A ，且经过点  1 0B , ，则抛物线的函数关系式为（ ） A． 2 4 3y x x   B． 2 4 3y x x    C． 2 4 3y x x    D． 2 4 3y x x    19.一个二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如表： x  3 2 1 0 1 2 n 4  y  15 m 3 0 1 0 3 8  （1）这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______； （2）m的值是_______， n的值是_______； （3）这个二次函数的解析式为_________． 20.已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y轴于 C点，且 BC=5，求该二次函数的解析式． 21.二次函数图象过 A，C，B三点，点 A的坐标为（-1，0），点 B的坐标为（4，0），点 C在 y轴正半 轴上，且 AB＝OC，求二次函数的表达式． ❊22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 思维导图 题型精析 一．将一般式化为顶点式 步骤 内容 已知，将其化为顶点式，则： 第一步（提） 第二步（配） 第三步（整理1） 第三步（整理2） 二． y=ax2+bx+c的图像与性质 y=ax2+bx+c的图像与性质 已知，将其化为顶点式为，则： 【性质1】函数的对称轴为______，顶点坐标为______，最值为______. 【性质2】当a>0时，时，函数递______，时，函数递______. 【性质3】当a<0时，时，函数递______，时，函数递______. 题型一 将一般式化为顶点式 把二次函数化为的形式： ．例1 用配方法将写成的形式是 ．变1 将二次函数化为顶点式为 ，对称轴是直线 ．例2 抛物线，最高点的坐标是 ．变2 将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ）例3 A． B． C． D． 抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（   ）变3 A． B． C． D． 三．函数y=ax2+bx+c中的a、b、c 内容 1.函数y=ax2+bx+c中的a决定二次函数的________，当a>0时，开口_____，当a<0时，开口_____； 2.函数y=ax2+bx+c中的a、b共同决定二次函数的________，且有规律“左____右____”； 3.函数y=ax2+bx+c中的a决定二次函数________. 题型二 y=ax2+bx+c中的a、b、c 根据图像填空：例1 （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5）_____. 根据图像填空：变1 （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5）_____. 根据图像填空：变2 （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5）_____. 四．y=ax2+bx+c的对称轴 对称轴 y=ax2+bx+c的对称轴 1.y=ax2+bx+c的对称轴公式：x=______. 2.若函数y=ax2+bx+c过（a，m）、（b，m）两点，则函数的对称轴为：x=____. 题型三 y=ax2+bx+c的对称轴 求下列二次函数的对称轴：例1 （1）_______；（2）_______； （3）_______；（4）_______. 求下列二次函数的对称轴：变1 （1）_______；（2）_______； （3）_______；（4）_______. 若A（-1，7）、B（5，7）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的对称轴是（　　）例2 A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=3 D．直线x=4 已知抛物线经过和两点，则a值为 ．变2 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：例3 x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 若两点都在该函数的图象上，当 时，． 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：例4 x … 0 … y … 4 0 0 a … 其中，a的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表，根据下表回答问题．变3 若、两点都在该函数图象上，当时，的值为 ． 已知二次函数中x与y的部分对应值如表，则m的值为______．变4 x 0 1 2 3 5 y 5 6 m 2 五．y=ax2+bx+c的增减性 内容 y=ax2+bx+c的增减性 1.当a>0时，时，函数递______，时，函数递______； 2.当a<0时，时，函数递______，时，函数递______. 增减性与对称轴 1.当a>0，离对称轴越远，函数值越_____； 2.当a<0，离对称轴越远，函数值越_____. 题型四 y=ax2+bx+c的增减性 已知函数，则当_____时，函数递增，当_____时，函数递减.例1 函数，若当时，函数递减，求m的取值范围是______.变1 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为 ．例2 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．变2 若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（ ）变3 A． B． C． D． 六．y=ax2+bx+c的最值 方法 内容 公式法 函数y=ax2+bx+c的最值是:________. 配方法 将y=ax2+bx+c配成顶点式，即可求出最值. 对称轴法 求出对称轴，将对称轴带入解析式即可. 题型五 根据增减性求最值 二次函数的最小值为 ．例1 二次函数的最大值为 ．变1 已知二次函数，当时，的取值范围是（   ）例2 A． B． C． D． 已知函数，当时，该函数的最大值是 ．变2 已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．例3 已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ）变3 A． B．2 C． D． 七．待定系数法求二次函数的解析式 分类 解析式 使用情况 一般式 已知函数所过的三个点 顶点式 已知顶点坐标或对称轴及最值 交点式 已知函数与x轴的两个交点 题型六 求二次函数的解析式 已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（0，-3）和C（3，12）．求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标.例1 如抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点．求抛物线的解析式；例2 已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析变1 式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C．求抛物线的解析式．变2 若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是_________．例3 已知二次函数中的x和y满足下表：例4 0 1 2 0 3 4 3 （1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及的值； （2）求该二次函数的表达式． 已知二次函数当x=1时有最大值是-6，其图象经过点（2，-8），求二次函数的解析式．变3 二次函数中的x、y满足下表：变4 x ⋯ -1 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 -3 -4 -3 m ⋯ （1）求这个二次函数的解析式． （2）求的值． 在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，求抛物线的解析式和顶点E坐标．例5 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是_________．变5 抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（ ）变6 A． B．或 C． D．或 课后强化 1.用配方法求抛物线的顶点坐标． 2.抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 3.将抛物线向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 4.抛物线的对称轴是直线，则m=______． 5.已知二次函数经过两个不同点，，则______． 6.对于二次函数y=ax2+bx+c，令f（x）=ax2+bx+c，则f（x0）表示当自变量x=x0时的函数值．若f（5）=f（-3），且f（-2018）=2020，则f（2020）=（　　） A．2020 B．2018 C．-2018 D．-2020 7.二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 m … y … 0 4 4 n … （1）这个二次函数的顶点坐标为_______，解析式中的_______； （2）表中的_______，_______． 8.二次函数经过，和，两点，则的值是（ ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 9.如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是 ．（用“”连接） 10.点，，，，均在二次函数的图象上，则的大小关系是 ． 11.已知抛物线，当时，则y的取值范围是_______． 12.若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13.已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 14.已知：二次函数的图象经过．求抛物线的解析式； 15.求分别满足下列条件的二次函数解析式： （1）二次函数图像经过三点． （2）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点． 16.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 3 0 -1 0 3 ⋯ 则抛物线的解析式是_________． 17.一个二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是_________． 18.若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 19.一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 0 1 2 4 15 3 0 0 3 8 （1）这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______； （2）的值是_______，的值是_______； （3）这个二次函数的解析式为_________． 20.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC=5，求该二次函数的解析式． 21.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半 轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 思维导图 题型精析 一．将一般式化为顶点式 步骤 内容 已知，将其化为顶点式，则： 第一步（提） 第二步（配） 第三步（整理1） 第三步（整理2） 二． y=ax2+bx+c的图像与性质 y=ax2+bx+c的图像与性质 已知，将其化为顶点式为，则： 【性质1】函数的对称轴为______，顶点坐标为______，最值为______. 【性质2】当a>0时，时，函数递______，时，函数递______. 【性质3】当a<0时，时，函数递______，时，函数递______. 题型一 将一般式化为顶点式 把二次函数化为的形式： ．例1 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 用配方法将写成的形式是 ．变1 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解 【详解】解：． 故答案为：． 将二次函数化为顶点式为 ，对称轴是直线 ．例2 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，运用配方法将所给函数解析式化为顶点式，然后确定对称轴即可． 【详解】解：， ∴二次函数化为顶点式为，对称轴是直线， 故答案为：；． 抛物线，最高点的坐标是 ．变2 【答案】 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ）例3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意， ∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴ 故选：D． 抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（   ）变3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移的“左加右减，上加下减”法则． 将原抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标；根据平移方向和距离，计算平移后抛物线的顶点坐标；依据新顶点坐标写出平移后的抛物线解析式，对比选项得出答案． 【详解】解：原抛物线可化为顶点式：其顶点坐标为．向右平移2个单位后，顶点的横坐标变为，纵坐标不变，此时顶点坐标为．再向下平移3个单位后，顶点的纵坐标变为，此时新抛物线的顶点坐标为．则平移后抛物线的解析式为． 故选：A． 三．函数y=ax2+bx+c中的a、b、c 内容 1.函数y=ax2+bx+c中的a决定二次函数的________，当a>0时，开口_____，当a<0时，开口_____； 2.函数y=ax2+bx+c中的a、b共同决定二次函数的________，且有规律“左____右____”； 3.函数y=ax2+bx+c中的a决定二次函数________. 题型二 y=ax2+bx+c中的a、b、c 根据图像填空：例1 （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5）_____. 【答案】>0，>0，<0，>0，<0 根据图像填空：变1 （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5）_____. 【答案】<0；>0；>0；>0；>0 根据图像填空：变2 （1）a_____；（2）b_____；（3）c_____；（4）△=b2-4ac_____；（5）_____. 【答案】>0；<0；<0；>0；<0 四．y=ax2+bx+c的对称轴 对称轴 y=ax2+bx+c的对称轴 1.y=ax2+bx+c的对称轴公式：x=______. 2.若函数y=ax2+bx+c过（a，m）、（b，m）两点，则函数的对称轴为：x=____. 题型三 y=ax2+bx+c的对称轴 求下列二次函数的对称轴：例1 （1）_______；（2）_______； （3）_______；（4）_______. 求下列二次函数的对称轴：变1 （1）_______；（2）_______； （3）_______；（4）_______. 若A（-1，7）、B（5，7）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的对称轴是（　　）例2 A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=3 D．直线x=4 【答案】 【解答】解：∵A（﹣1，7）、B（5，7）关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为直线x=2， 故选：B． 已知抛物线经过和两点，则a值为 ．变2 【答案】5 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线经过和两点可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：∵抛物线经过和两点 ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． 故答案为：5． 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：例3 x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 若两点都在该函数的图象上，当 时，． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数对称的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据表中的对应值得到和时函数值相等，则得到抛物线的解析式为直线，由于，所以是抛物线上的对称点，则，然后解方程即可． 【详解】解：时，时，， 抛物线的对称轴为直线， ，且，两点都在该函数的图象上， 解得． 故答案为： 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：例4 x … 0 … y … 4 0 0 a … 其中，a的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4． 【详解】解：∵时，；时，， ∴该二次函数的对称轴为， ∴当时，y的值和当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，， ∴a的值为4． 故选A． 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表，根据下表回答问题．变3 若、两点都在该函数图象上，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，根据可得，即可求解． 【详解】解：根据表格可得抛物线的对称轴为直线， ∵、两点都在该函数图象上， ∴关于对称， ∴ 解得：， 故答案为：． 已知二次函数中x与y的部分对应值如表，则m的值为______．变4 x 0 1 2 3 5 y 5 6 m 2 【答案】5 【分析】当时，或5，根据抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，故和时，对应的函数值相等． 【详解】解：根据抛物线的对称性，观察表格可知， 抛物线的对称轴为， ∴和时，，即； 故答案为：5． 五．y=ax2+bx+c的增减性 内容 y=ax2+bx+c的增减性 1.当a>0时，时，函数递______，时，函数递______； 2.当a<0时，时，函数递______，时，函数递______. 增减性与对称轴 1.当a>0，离对称轴越远，函数值越_____； 2.当a<0，离对称轴越远，函数值越_____. 题型四 y=ax2+bx+c的增减性 已知函数，则当_____时，函数递增，当_____时，函数递减.例1 【答案】； 函数，若当时，函数递减，求m的取值范围是______.变1 【答案】 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为 ．例2 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，利用对称性求出的对称点为，再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解： 对称轴 ∴的对称点为 ∵ ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：． 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．变2 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题关键．先求出二次函数的对称轴是是直线，根据对称性可得当时的函数值与当时的函数值相等，即为，再根据二次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等，即为， ∵二次函数中的， ∴当时，随的增大而减小， 又∵，，为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数的图象经过，求出对称轴，再根据函数图象判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， 二次函数对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， ，，的大小关系为， 故选：B． 六．y=ax2+bx+c的最值 方法 内容 公式法 函数y=ax2+bx+c的最值是:________. 配方法 将y=ax2+bx+c配成顶点式，即可求出最值. 对称轴法 求出对称轴，将对称轴带入解析式即可. 题型五 根据增减性求最值 二次函数的最小值为 ．例1 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 二次函数的最大值为 ．变1 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，将解析式配方，进而求得函数的最大值． 【详解】解：二次函数 ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为 故答案为：． 已知二次函数，当时，的取值范围是（   ）例2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 已知函数，当时，该函数的最大值是 ．变2 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．将二次函数进行配方，利用二次函数的图像和性质确定最大值． 【详解】解：， ， 当时，该函数有最大值，最大值是， 故答案为：． 已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．例3 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ）变3 A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，再根据当时，函数y的最小值为即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数的开口向下，函数的对称轴为直线， ∴越远离对称轴的所对应的函数值越小， 把代入得， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∵当时，函数y的最小值为， ∴在函数上 ∴， 解得或（舍去）． 故选：D． 七．待定系数法求二次函数的解析式 分类 解析式 使用情况 一般式 已知函数所过的三个点 顶点式 已知顶点坐标或对称轴及最值 交点式 已知函数与x轴的两个交点 题型六 求二次函数的解析式 已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（0，-3）和C（3，12）．求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标.例1 【分析】设一般式为y＝ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可； 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入， 得，解得：， ∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3， ∵y＝2x2﹣x﹣3， ∴顶点D的坐标为（，）； 如抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点．求抛物线的解析式；例2 【答案】 【分析】待定系数法求出函数解析式即可； 【详解】解：把，代入，得： ，解得：， ∴； 已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析变1 式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标． 【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得 ， 解得． 则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5； 由y＝2x2﹣3x+5＝2（x）2可知，抛物线对称轴为直线x，顶点坐标为（，）． 抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C．求抛物线的解析式．变2 【答案】 【分析】由点B在直线上，则可求得点B的坐标；再用待定系数法求解即可； 【详解】解：由题意知，点B在直线上， ∴， 即； 把点A、B的坐标代入中，得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； 若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是_________．例3 【答案】 【详解】解：设二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， 则二次函数解析式为， 故答案为：． 已知二次函数中的x和y满足下表：例4 0 1 2 0 3 4 3 （1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及的值； （2）求该二次函数的表达式． 【分析】（1）由于，；，，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定的值； （2）设顶点式，然后把代入求出的值，从而得到抛物线解析式． 【解答】解：（1）抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线， 和所对应的函数值相等， ； （2）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 该二次函数的解析式为， 即． 已知二次函数当x=1时有最大值是-6，其图象经过点（2，-8），求二次函数的解析式．变3 【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可． 【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6， 把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8， 解得a＝﹣2． 所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6． 二次函数中的x、y满足下表：变4 x ⋯ -1 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 -3 -4 -3 m ⋯ （1）求这个二次函数的解析式． （2）求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解． （2）根据二次函数的对称性即可求解． （1） 解：根据表格可知对称轴为直线，且时，即顶点为， 设解析式为，当时，， 即， 解得， ∴这个二次函数的解析式为：， 即 （2） 解：∵对称轴为直线， ∴当与时的函数值相等， ∴ 在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，求抛物线的解析式和顶点E坐标．例5 【答案】；E（3，-） 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，然后把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)， ∴可设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点E的坐标为（3，-）． 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是_________．变5 【答案】y=x2-4x+3 【分析】把点A、B、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b、c的值，即可得解． 【详解】解：将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入函数解析式得， ， 解得：， 所以二次函数的解析式为y=x2-4x+3， 故答案为：y=x2-4x+3． 抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（ ）变6 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A、B两点坐标设出抛物线解析式为，代入C点坐标即可求解． 【详解】设抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2） ①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得 解得 ∴抛物线解析式为，即 ②当抛物线和y轴交点的为（0，-2）时， 解得 ∴抛物线解析式为，即 故选D． 课后强化 1.用配方法求抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题考查配方法求抛物线的顶点坐标，熟练掌握配方法求抛物线的顶点坐标是解题的关键． 将配方，再根据抛物线的顶点坐标公式求解即可． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标是． 2.抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 直线 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．将解析式化为顶点式，根据二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：直线；． 3.将抛物线向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【分析】先化为顶点式，然后根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度得， 故答案为：． 4.抛物线的对称轴是直线，则m=______． 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称轴公式可进行求解． 【详解】解：由抛物线的对称轴是直线，可知：， ∴； 故答案为8． 5.已知二次函数经过两个不同点，，则______． 【答案】0 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：二次函数经过两个不同点，， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∴ 故答案为：0． 6.对于二次函数y=ax2+bx+c，令f（x）=ax2+bx+c，则f（x0）表示当自变量x=x0时的函数值．若f（5）=f（-3），且f（-2018）=2020，则f（2020）=（　　） A．2020 B．2018 C．-2018 D．-2020 【答案】A 【分析】 根据f（5）=f（﹣3）求得函数对称轴，然后利用对称轴即可求解． 【详解】 ∵f（5）=f（﹣3） ∴函数对称轴为直线，即直线 ∴，解得 ∴f（2020）=f（﹣2018）=2020 故选A． 7.二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 m … y … 0 4 4 n … （1）这个二次函数的顶点坐标为_______，解析式中的_______； （2）表中的_______，_______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用抛物线的对称性可判断顶点，再利用待定系数法求出a值即可； （2）利用抛物线的对称性，得到对称点，可得结果； 【详解】（1）解：∵二次函数图像经过点，，， ∴二次函数的顶点坐标为，将坐标代入中， 得，解得：， ∴， 故答案为：，； （2）∵抛物线对称轴为直线， 抛物线经过，， ∴， ∵抛物线经过，， ∴， 故答案为：3，0． 8.二次函数经过，和，两点，则的值是（ ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，和，两点， 可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故选：A． 9.如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于对称轴直线的对称点是， ， ， 故答案为：． 10.点，，，，均在二次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而减小， ∵均在二次函数的图象上， ∴关于对称轴的对称点也在二次函数的图象上， ∴． 故答案为：． 11.已知抛物线，当时，则y的取值范围是_______． 【答案】 【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，再根据函数的性质求出y的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小； ∵， ∴当时，函数取得最大值：， 当时，函数取得最小值：， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 12.若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．通过将不等式恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，进而求解参数的取值范围；关键通过二次函数的对称轴公式，以及根据二次项系数的正负判断函数图象的开口方向和单调性． 【详解】解：∵存在实数时，使成立 ∴移项，得， 即：要大于函数，，在上的最大值， ∵，，， ∴对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值，在对称轴右侧函数单调递增， ∴当时，函数取得最大值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最大值， ∴的取值范围是． ∴当时，函数取得最小值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最小值， ∴的取值范围是， 综上，若存在实数时，使成立，则的取值范围为． 故选：B． 13.已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 14.已知：二次函数的图象经过．求抛物线的解析式； 【答案】； 【分析】用待定系数法求函数的解析式即可； 【详解】解：将、代入， ， 解得， ； 15.求分别满足下列条件的二次函数解析式： （1）二次函数图像经过三点． （2）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设二次函数的解析式为，将点代入求得的值即可求解． （1） 解：设二次函数的解析式为，将代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2） 设二次函数的解析式为，将点代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为． 16.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 3 0 -1 0 3 ⋯ 则抛物线的解析式是_________． 【答案】 【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，得： 将代入到，得： ∴ ∴ 故答案为：． 17.一个二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是_________． 【分析】根据二次函数性质形状及开口方向相同即的值一样，设出解析式，根据顶点为，即可得到答案． 【解答】解：二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同， ， 设二次函数的解析式为， 顶点为， ，， 这个函数的解析式是， 故答案为：． 18.若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0）， ∴设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1， 把B点的坐标代入得：0=a（1-2）2+1， 解得：a=-1， 即抛物线的函数关系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3． 故选：B． 19.一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 0 1 2 4 15 3 0 0 3 8 （1）这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______； （2）的值是_______，的值是_______； （3）这个二次函数的解析式为_________． 【分析】（1）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解； （2）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解； （3）待定系数法求解析式即可求解． 【解答】解：（1）根据二次函数图象的对称性，可知，当时与时，函数值相等， 对称轴为直线， 当时，， 即顶点坐标为， 故答案为：，； （2）对称轴为直线， 时，或， ， 解得：， 当与时，函数值相等， ， 故答案为：8，3； （3）顶点坐标为， 设该二次函数解析式为， 将，代入得， 解得：， 二次函数解析式为：， 故答案为：． 20.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC=5，求该二次函数的解析式． 【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式． 【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4）， ∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5， ∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， 当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a， 所以此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x+3； 当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a， 所以此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x﹣3， 所以该二次函数的解析式为yx2x+3或yx2x﹣3． 21.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半 轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式． 【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得． 【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0） ∴AO＝1，OB＝4， AB＝AO+OB＝1+4＝5， ∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5）， 设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵二次函数图象过A，C，B三点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为yx2x+5． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$