专题22.6 二次函数的图象与性质（5）（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题22.6 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的转化。 2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象，并能够根据基本性质和图象解决相应题目。 3. 掌握二次函数一般是的图象与系数之间的关系并熟练解决问题。 4. 掌握待定系数法求函数解析式的方法，并能够熟练的求二次函数解析式。 5. 掌握函数的平移规律，并能够熟练解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1） 二次函数的图象与性质； （2） 二次函数的图象与系数的关系； （3）待定系数法求函数解析式； 2. 难点 （1）二次函数图象上的点的特征； （2）待定系数法求函数解析式； （3）二次函数图象与系数的关系； （4）二次函数的最值问题。 知识点01 二次函数的三种形式 1. 二次函数的三种形式： （1） 一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 （2） 顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 （3） 两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 以及 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称。 （4） 二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： ＝ →第一步：提 ； ＝ →第二步：配方：配 的一半的平方； ＝ →第三步：写成 形式； ＝ →第四步：写成 形式。 【即学即练1】 1．抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【即学即练2】 2．二次函数y＝（x﹣5）（x+7）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝6 【即学即练3】 3．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a、m、n为常数，m≠n，a＜0），若m+n＜0，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即学即练4】 4．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 知识点02 二次函数的图象与性质（一般式） 1. 二次函数的一般式的图象与性质： 把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下： 开口方向 开口大小 的绝对值越大，开口越 的绝对值越小，开口越 顶点坐标 对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 最值 函数轴最 值 这个值是 。 函数轴最 值 这个值是 。 与y轴交点坐标 【即学即练1】 5．已知函数y＝﹣x2+4x﹣3． （1）该函数图象的开口方向是　 　 ； （2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【即学即练2】 6．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 【即学即练3】 7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（5，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【即学即练4】 8．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 知识点03 二次函数的图象与系数的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由 决定，，开口向 ，，开口向 。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为 。若同号，则 0，二次函数的对称轴在轴的 ；若异号，则 0，二次函数的对称轴在轴的 。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则 。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则 。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为 。 4. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 的实数根根的判别式 0。 与轴有 个交点有2个相等的实数根根的判别式 0。 与轴没有交点 实数根根的判别 0。 拓展：在二次函数中： 是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。 是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。 是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。 【即学即练1】 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 【即学即练1】 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 … 求该二次函数的表达式． 【即学即练2】 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），顶点坐标为（﹣1，﹣2）． （1）求这个函数的解析式； （2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上． 【即学即练3】 13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）求此函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）已知点在此抛物线上，求m的值． 知识点05 1. 函数平移规律： 函数分为 平移和 平移； 左右平移在 上进行加减，规律为 ；上下平移在 上进行加减，规律为 。 【即学即练1】 14．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3） 题型01 的基本性质 【典例1】求下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标． （1） y＝x2﹣4x﹣3 （2）y＝﹣3x2﹣4x+2． 【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【变式2】已知抛物线y＝x2﹣4x+5，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口方向向上 B．当x＜2时，y随x的增大而增大 C．抛物线的对称轴为直线x＝2 D．抛物线与y轴交点坐标为（0，5） 题型02 的图象 【典例1】已知一次函数yx+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型03 图象上的点的坐标特征 【典例1】若A（3，y1）、、C（﹣3，y3）是抛物线y＝2x2﹣4x+c上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【变式1】点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＝y3 C．y1＝y3＞y2 D．y1＝y2＞y3 【变式2】已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 【变式3】若A（，y1）、B（，y2）、C（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是　 　 （用“＜”连接）． 题型04 的图象的平移 【典例1】二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 　 ． 【变式1】抛物线y＝3x2﹣6x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y＝3x2+bx+c，则b，c的值为（　　） A．b＝6，c＝﹣1 B．b＝﹣18，c＝23 C．b＝6，c＝﹣5 D．b＝﹣18，c＝29 【变式2】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且过点A（0，5）． （1）求该抛物线的解析式． （2）若该抛物线向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移12个单位后再次经过点A，求m的值． 题型05 的图象与系数的关系 【典例1】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 b＜0 c＞0 B．a＜0 b＜0 c＞0 C．a＜0 b＞0 c＜0 D．a＜0 b＞0 c＞0 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＜0； ②4a﹣2b+c＞0； ③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）； ④4ac﹣b2＜0； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤ 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③9a+3b+c＜0； ④4ac﹣b2＜0； ⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）． A．3 B．2 C．1 D．0 题型06 二次函数的最值问题 【典例1】二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值为 　 ． 【变式1】已知：抛物线y＝x2﹣6x+c的最小值为1，那么c的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2 【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　） A．3 B．﹣3或 C．3或 D．﹣3或 题型07 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式． 【变式1】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围． 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 m … y … ﹣19 ﹣12 ﹣7 ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 n ﹣19 … （1）这个二次函数的表达式为 　 　 ，顶点坐标是 　 　 ； （2）表中的m＝　 　 ，n＝ ： （3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜﹣1，则y1　 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）； （4）写出这个函数的一条性质． 【变式3】若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 （1）求这个二次函数的表达式： （2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点P（m，yP），Q（n，yQ）， ①已知yP＝yQ，当x＝m+n时，求y的值； ②当n＝4时，yP＜yQ，求m的取值范围． 1．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0） 2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+10 B．y＝（x﹣4）2﹣22 C．y＝（x+4）2﹣22 D．y＝（x+4）2+10 3．抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如表，关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 4．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2 5．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣5 ﹣3 0 2 4 … y … 12 0 ﹣3 5 21 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．点（﹣4，5）在该函数图象上 C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小 D．函数的最小值为﹣3 7．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜3．则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6 C．m＞6 D．m＜4或m＞6 8．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 10．二次函数y＝ax2﹣6ax+2的图象上有A（a，y1），B（5，y2）两点．下列选项正确的是（　　） A．当a＜0时，y1＜y2 B．当0＜a＜1时，y1＜y2 C．当1＜a＜2时，y1＞y2 D．当a＞2时，y1＞y2 11．已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y（x+1）2﹣2的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为 　 　 ． 12．若点A（﹣2，y1），B（m，y2）在抛物线y＝x2+2x+2上，且y1＞y2，则m的取值范围是　 　 ． 13．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　 　 ． 14．已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含端点）只有一个交点，那么a的取值范围是　 　 ． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＞0； ②若点（﹣1，y1），均在二次函数图象上，则y1＜y2； ③﹣2a+c＜0； ④对于任意实数m，总有． 其中正确的结论是： ． 16．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0）和（3，0）． （1）求a，b的值． （2）求抛物线向左平移2个单位后的函数解析式． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上． （1）当m＝n时，求b的值； （2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围． 18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若抛物线上有一动点P（x，y），当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m﹣n的值； 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围． 20．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象上． （1）当t＝2时，求抛物线对称轴的表达式； （2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答： ①当这个函数的最小值为0时，求t的值； ②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.6 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的转化。 2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象，并能够根据基本性质和图象解决相应题目。 3. 掌握二次函数一般是的图象与系数之间的关系并熟练解决问题。 4. 掌握待定系数法求函数解析式的方法，并能够熟练的求二次函数解析式。 5. 掌握函数的平移规律，并能够熟练解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1） 二次函数的图象与性质； （2） 二次函数的图象与系数的关系； （3）待定系数法求函数解析式； 2. 难点 （1）二次函数图象上的点的特征； （2）待定系数法求函数解析式； （3）二次函数图象与系数的关系； （4）二次函数的最值问题。 知识点01 二次函数的三种形式 1. 二次函数的三种形式： （1） 一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 （2） 顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 （3） 两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称轴 对称。 （4） 二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： ＝ →第一步：提 二次项系数 ； ＝ →第二步：配方：配 一次项系数 的一半的平方； ＝ →第三步：写成 完全平方 形式； ＝ →第四步：写成 顶点式 形式。 【即学即练1】 1．抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【答案】A 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5， ∴抛物线顶点为（1，5）， 故选：A． 【即学即练2】 2．二次函数y＝（x﹣5）（x+7）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝6 【答案】A 【解答】解：二次函数图象与x轴的交点为（5，0），（﹣7，0）， ∴对称轴为直线， 故选：A． 【即学即练3】 3．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a、m、n为常数，m≠n，a＜0），若m+n＜0，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：∵y＝a（x﹣m）（x﹣n）， 令a（x﹣m）（x﹣n）＝0， ∴x1＝m，x2＝n， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵a＜0， ∴抛物线的开口向下， ∴抛物线的顶点在第二象限， 故选：B． 【即学即练4】 4．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 【答案】D 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， ∴二次函数为y＝x2﹣2x+4化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3． 故选：D． 知识点02 二次函数的图象与性质（一般式） 1. 二次函数的一般式的图象与性质： 把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下： 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数轴最 小 值 这个值是 。 函数轴最 大 值 这个值是 。 与y轴交点坐标 （0，c） （0，c） 【即学即练1】 5．已知函数y＝﹣x2+4x﹣3． （1）该函数图象的开口方向是　向下　 ； （2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）向下； （2）函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，1）； （3）当x＜2时，y随x的增大而增大． 【解答】解：（1）∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下； 故答案为：向下； （2）∵a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3， ∴，， ∴函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，1）， （3）∵开口向下， ∴当x＜2时，y随x的增大而增大． 【即学即练2】 6．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 【答案】D 【解答】解：由条件可知图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 令x＝0，即y＝3， ∴图象交于y轴的正半轴，故选项B正确，不符合题意； ，所以对称轴在y轴的左侧，故选项C正确，不符合题意； 令﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，故与x轴的交点（1，0），（﹣3，0），又知道与y轴的交点坐标为（0，3），图象一定经过第一象限，选项D错误，符合题意； 故选：D． 【即学即练3】 7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（5，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【即学即练4】 8．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【答案】A 【解答】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 知识点03 二次函数的图象与系数的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由 决定，，开口向 上 ，，开口向 下 。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为 。若同号，则 ＜ 0，二次函数的对称轴在轴的 左边 ；若异号，则 ＞ 0，二次函数的对称轴在轴的 右边 。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则 0 。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则 0 。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为 （0，c） 。 4. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 不相等 的实数根根的判别式 ＞ 0。 与轴有 1 个交点有2个相等的实数根根的判别式 = 0。 与轴没有交点 没有 实数根根的判别 ＜ 0。 拓展：在二次函数中： 是自变量为 1 的函数值，是自变量为 ﹣1 的函数值。 是自变量为 2 的函数值，是自变量为 ﹣2 的函数值。 是自变量为 3 的函数值，是自变量为 ﹣3 的函数值。 【即学即练1】 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②错误； ③∵抛物线过点（1，0）， ∴y＝a+b+c＝0， ∵b＝2a， ∴y＝3a+c＝0，故③正确； ④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c， ∴x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， 即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确； ⑤抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确； 故选：D． 【即学即练2】 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确； ③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴2a+b＝0，③正确； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∵c＜0， ∴c（a﹣b+c）＜0， 即ac﹣bc+c2＜0，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 【即学即练1】 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 … 求该二次函数的表达式． 【答案】y＝x2+2x﹣3． 【解答】解：将（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得c＝﹣3， ∴y＝ax2+bx﹣3， 将点（2，5），（﹣1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3得， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3． 【即学即练2】 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），顶点坐标为（﹣1，﹣2）． （1）求这个函数的解析式； （2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣1； （2）（3，14）在此函数图象上． 【解答】解：（1）由题意得，对称轴， 将点（﹣1，﹣2）代入函数得y＝a﹣b+c＝﹣2， 将点（1，2）代入函数得a+b+c＝2， 解得a＝1，b＝2，c＝﹣1． ∴这个函数的解析式为y＝x2+2x﹣1． （2）当x＝3时，y＝32+2×3﹣1＝14． ∴（3，14）在此函数图象上． 【即学即练3】 13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）求此函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）已知点在此抛物线上，求m的值． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3； （2）开口方向向上，顶点坐标（2，﹣1），对称轴x＝2； （3）或． 【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入到y＝ax2+bx+c中，得： ， 解得：， ∴y＝x2﹣4x+3； （2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，且a＝1＞0， ∴开口方向：向上， 顶点坐标：（2，﹣1）， 对称轴：x＝2， 综上：开口方向向上，顶点坐标：（2，﹣1），对称轴：x＝2； （3）将点代入y＝x2﹣4x+3中， 得，整理得4m2﹣16m+3＝0， 解得或． 知识点05 1. 函数平移规律： 函数分为 左右 平移和 上下 平移； 左右平移在 自变量 上进行加减，规律为 左加右减 ；上下平移在 函数解析式整体 上进行加减，规律为 上加下减 。 【即学即练1】 14．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3） 【答案】B 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣1）2+4﹣2，即y＝﹣x2+2， 把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2，得y＝﹣2， ∴选项A不符合题意． 把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2，得y＝1， ∴抛物线经过点（﹣1，1），选项B符合题意． 把x＝0代入y＝﹣x2+2，得y＝2， ∴选项C不符合题意． 把x＝1代入y＝﹣x2+2得y＝1， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 题型01 的基本性质 【典例1】求下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标． （1）y＝x2﹣4x﹣3 （2）y＝﹣3x2﹣4x+2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a＝1，开口方向向上； 原二次函数经变形得：y＝（x﹣2）2﹣7， 故顶点为（2，﹣7），对称轴是直线x＝2； （2）a＝﹣3，开口方向向下； x， 故顶点为（，），对称轴是直线x． 【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：抛物线a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线x＝2，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当x＝2时，y取最小值，最小值为﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，因此当x＜2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】已知抛物线y＝x2﹣4x+5，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口方向向上 B．当x＜2时，y随x的增大而增大 C．抛物线的对称轴为直线x＝2 D．抛物线与y轴交点坐标为（0，5） 【答案】B 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+5中，a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1得，抛物线的对称轴为直线x＝2，故C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，因此当x＞2时，y随x的增大而增大，因此B选项错误，符合题意； 由y＝x2﹣4x+5可知抛物线与y轴交点坐标为（0，5），故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 题型02 的图象 【典例1】已知一次函数yx+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：观察函数图象可知：0、c＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x0，与y轴的交点在y轴正正半轴． 故选：C． 【变式1】一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确； B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【变式2】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意； 故选：D． 【变式3】二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1， ∴对称轴为直线x， ∵一次函数y＝2ax+b， ∴当y＝0，则x， ∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点， 故A、B、C不合题意， D、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确； 故选：D． 题型03 图象上的点的坐标特征 【典例1】若A（3，y1）、、C（﹣3，y3）是抛物线y＝2x2﹣4x+c上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【答案】C 【解答】解：由题知， 抛物线的对称轴为直线x＝1． 又3﹣1＝2，1﹣（）＝1，1﹣（﹣3）＝4， 且4＞12， 又抛物线开口向上， 所以y3＞y2＞y1． 故选：C． 【变式1】点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＝y3 C．y1＝y3＞y2 D．y1＝y2＞y3 【答案】B 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1， A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1）， ∵2＜4， ∴y2＞y1＝y3， 故选：B． 【变式2】已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 【答案】B 【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x， ∴当x时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而12， ∴y3＜y1＜y2． 故选：B． 【变式3】若A（，y1）、B（，y2）、C（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是　y3＜y1＜y2　 （用“＜”连接）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x2，抛物线开口向下， 当B（，y2）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大， 所以y3＜y1＜y2． 故答案为y3＜y1＜y2． 题型04 的图象的平移 【典例1】二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 　y＝x2+2x　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式为：y＝（x﹣1+2）2﹣4+3，即y＝x2+2x． 故答案为：y＝x2+2x． 【变式1】抛物线y＝3x2﹣6x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y＝3x2+bx+c，则b，c的值为（　　） A．b＝6，c＝﹣1 B．b＝﹣18，c＝23 C．b＝6，c＝﹣5 D．b＝﹣18，c＝29 【答案】A 【解答】解：由y＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x+1﹣1）﹣3， ＝3[（x﹣1）2﹣1]﹣3， ＝3（x﹣1）2﹣6， ∵抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位， ∴所得图象的解析式为y＝3（x﹣1+2）2﹣6+2， 即y＝3x2+6x﹣1， ∴b＝6，c＝﹣1， 故选：A． 【变式2】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且过点A（0，5）． （1）求该抛物线的解析式． （2）若该抛物线向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移12个单位后再次经过点A，求m的值． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5； （2）m的值为2． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2， ∴2， 解得b＝4， ∵抛物线过点（0，5）， ∴c＝5， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移12个单位后得抛物线y＝﹣（x﹣2﹣m）2+9+12， ∵经过点A， ∴5＝﹣（﹣2﹣m）2+21， 解得m＝2或m＝﹣6， ∵m＞0， ∴m的值为2． 题型05 的图象与系数的关系 【典例1】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 b＜0 c＞0 B．a＜0 b＜0 c＞0 C．a＜0 b＞0 c＜0 D．a＜0 b＞0 c＞0 【答案】D 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0； 又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴x0， ∴b＞0， 而抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0． 故选：D． 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＜0； ②4a﹣2b+c＞0； ③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）； ④4ac﹣b2＜0； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：由图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故①错误． 因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， 所以x＝﹣2时与x＝0时的函数值相等． 又由图象可知， x＝0时，函数值大于0． 所以x＝﹣2时，函数值也大于0． 即4a﹣2b+c＞0． 故②正确． 因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1， 所以当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c． 则当x＝m（m为任意实数）时，总有a﹣b+c≥am2+bm+c， 即a﹣b≥m（am+b）． 故③错误． 因为抛物线与x轴有两个交点， 所以b2﹣4ac＞0， 即4ac﹣b2＜0． 故④正确． 故选：B． 【变式2】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤ 【答案】D 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②错误，不符合题意； ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确，符合题意； ⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③9a+3b+c＜0； ④4ac﹣b2＜0； ⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，所以②正确； ∵x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0，所以③正确． ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴函数的最大值为a+b+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数）， 即a+b≥m（am+b），所以⑤正确． 故选：C． 题型06 二次函数的最值问题 【典例1】二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值为 　36　 ． 【答案】36． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴在﹣5≤x≤3的取值范围内，当x＝﹣5时，有最大值为：y＝36， 故答案为36． 【变式1】已知：抛物线y＝x2﹣6x+c的最小值为1，那么c的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解答】解：因为二次函数y＝x2﹣6x+c的最小值为1， 所以1， 解得c＝10． 故选：A． 【变式2】已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2 【答案】C 【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2， ∴1≤m≤2． 故选：C． 【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　） A．3 B．﹣3或 C．3或 D．﹣3或 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2， 解得：m＝3； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2， 解得：m； 故选：C． 题型07 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意设y＝a（x+1）2﹣3， 将（0，﹣5）代入得：a﹣3＝﹣5， 解得：a＝﹣2， 则抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5． 故抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5． 【变式1】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）yx2﹣x﹣4； （2）0＜x＜2． 【解答】解：（1）由题意设y＝a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，﹣4）代入得﹣4＝﹣8a， ∴a， ∴y（x+2）（x﹣4）， ∴二次函数的解析式为yx2﹣x﹣4； （2）在yx2﹣x﹣4中，令y＝﹣4得：﹣4x2﹣x﹣4， 解得x＝0或x＝2； ∴当y＜﹣4时，x的取值范围是0＜x＜2． 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 m … y … ﹣19 ﹣12 ﹣7 ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 n ﹣19 … （1）这个二次函数的表达式为 　y＝﹣x2﹣2x﹣4　 ，顶点坐标是 　（﹣1，﹣3）　 ； （2）表中的m＝　3　 ，n＝　﹣12　 ： （3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜﹣1，则y1　＜　 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）； （4）写出这个函数的一条性质． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x﹣4，（﹣1，﹣3）； （2）m＝3；n＝﹣12； （3）＜； （4）x＞﹣1时，y随x的增大而减小，x＜﹣1 时，y随x的增大而增大； 或函数图象关于直线x＝﹣1轴对称等，答案不唯一 【解答】解：（1）将（﹣2，﹣4）、（﹣1，﹣3）、（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c， 可得：， 解得：， ∴y＝﹣x2﹣2x﹣4＝﹣（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣4，（﹣1，﹣3）； （2）根据函数解析式：y＝﹣x2﹣2x﹣4， 当x＝2时，n＝﹣12， 当y＝﹣19时，﹣19＝﹣x2﹣2x﹣4， 解得：m＝3或﹣5（舍）， ∴m＝3 故答案为：m＝3；n＝﹣12； （3）根据y＝﹣x2﹣2x﹣4， ∴a＝﹣1＜0， ∴开口向下， ∵对称轴x＝﹣1， 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2， 故答案为：＜； （4）x＞﹣1时，y随x的增大而减小，x＜﹣1 时，y随x的增大而增大； 或函数图象关于直线x＝﹣1轴对称等，答案不唯一． 【变式3】若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 （1）求这个二次函数的表达式： （2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点P（m，yP），Q（n，yQ）， ①已知yP＝yQ，当x＝m+n时，求y的值； ②当n＝4时，yP＜yQ，求m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）①3；②m＞4或m＜﹣2． 【解答】解：（1）∵x＝﹣1，y＝0；x＝3，y＝0， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∵x＝0，y＝3， ∴a×（0+1）×（0﹣3）＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵当x＝m和x＝n时函数y的值相等， 而抛物线的对称轴为直线x1， ∴m+n＝2， 当x＝m+n时，y＝﹣（2+1）（2﹣3）＝3． ②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴Q（4，yQ）关于对称轴的对称点为（﹣2，yQ）， ∵yP＜yQ， ∴m的取值范围是m＞4或m＜﹣2． 1．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0） 【答案】A 【解答】解：在抛物线y＝x2﹣2x+1中， 当x＝0时，y＝1， ∴抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（0，1）， 故选：A． 2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+10 B．y＝（x﹣4）2﹣22 C．y＝（x+4）2﹣22 D．y＝（x+4）2+10 【答案】B 【解答】解：y＝x2﹣8x﹣6＝x2﹣8x+16﹣16﹣6＝（x﹣4）2﹣22， 故选：B． 3．抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如表，关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 【答案】C 【解答】解：由表格可得， 该抛物线的对称轴为直线x1，故选项B错误，不符合题意； 该抛物线图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 当x＞3时，y随x的增大而增大，故选项C正确，符合题意； 图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0），故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 4．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2 【答案】C 【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，它的顶点坐标是（1，2）． 将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）， 所以新抛物线的解析式是：y＝（x+1）2+3． 故选：C． 5．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0， 由①a，c同号，排除D选项． 由②可得b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点，故排除A选项． 由③可知：当x＝﹣1时，y＜0，排除B选项． 故满足条件的图象可能是C， 故选：C． 6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣5 ﹣3 0 2 4 … y … 12 0 ﹣3 5 21 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．点（﹣4，5）在该函数图象上 C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小 D．函数的最小值为﹣3 【答案】B 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 将（﹣3，0）、（0，﹣3）、（2，5）代入得：， 解得， 所以解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， 则抛物线开口向上， 当x＝﹣4时，y＝5，即（﹣4，5）在该函数图象上， 当x＜﹣1时，y的值随x的值增大而减小，函数的最小值为﹣4， 故选：B． 7．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜3．则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6 C．m＞6 D．m＜4或m＞6 【答案】B 【解答】解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）关于对称轴对称， ∴， ∴m﹣1＝t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， ∵抛物线与y轴交点为（0，3），抛物线对称轴为直线x＝t， ∴此交点关于对称轴的对称点为（2m﹣2，3）， a＜3，b＜3且t＞0， 4＜2m﹣2， 解得m＞3， 当A，B都在对称轴左边时， ∵a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， ∴m＞6， 当A，B分别在对称轴两侧时， ∵a＜b， ∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得m＜4， ∴3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 故选：B． 8．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项A不符合题意； 选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B符合题意； 选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线中﹣ab＞0，故选项C不符合题意； 选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意； 故选：B． 9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4， 解得：m＝5； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4， 解得：m； 故选：C． 10．二次函数y＝ax2﹣6ax+2的图象上有A（a，y1），B（5，y2）两点．下列选项正确的是（　　） A．当a＜0时，y1＜y2 B．当0＜a＜1时，y1＜y2 C．当1＜a＜2时，y1＞y2 D．当a＞2时，y1＞y2 【答案】A 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣6ax+2的对称轴为直线x＝3． ∵A（a，y1），B（5，y2）， ∴，y2＝﹣8a+2． ∴， 分析表达式a（a﹣2）（a﹣4）的符号： 当a＜0， a、a﹣2、a﹣4均为负，乘积为负，故y1＜y2，故选项A正确． 当0＜a＜2， a＞0，a﹣2＜0，a﹣4＜0，乘积为正，故y1＞y2，故选项B、C错误． 当2＜a＜4， a＞0，a﹣2＞0，a﹣4＜0，乘积为负，故y1＜y2， 当a＞4， a、a﹣2、a﹣4均为正，乘积为正，故y1＞y2，但选项D包含2＜a＜4区间，故选项D错误． 故选：A． 11．已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y（x+1）2﹣2的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为 　y＝2（x+1）2﹣2，y＝﹣2（x+1）2﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同， ∴a＝±2， 设抛物线的顶点式为y＝±2（x﹣h）2+k， 由y（x+1）2﹣2可知顶点（﹣1，﹣2） ∴此抛物线顶点坐标是（﹣1，﹣2）， ∴抛物线的顶点式为y＝±2（x+1）2﹣2． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣2，y＝﹣2（x+1）2﹣2． 12．若点A（﹣2，y1），B（m，y2）在抛物线y＝x2+2x+2上，且y1＞y2，则m的取值范围是　﹣2＜m＜0　 ． 【答案】﹣2＜m＜0． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，1）， 画出示意图如下： 当x＝﹣2时，y1＝0， ∴y2＜0， 由图象可知：若y1＞y2，则m的取值范围是﹣2＜m＜0， 故答案为：﹣2＜m＜0． 13．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1． 又∵﹣1≤x≤4，抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最大值，最大值y＝9+k﹣1＝8+k． 又此时y的最大值为9， ∴8+k＝9． ∴k＝1． 故答案为：1． 14．已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含端点）只有一个交点，那么a的取值范围是　a＞2或a＜﹣1　 ． 【答案】a＞2或a＜﹣1． 【解答】解：当x＝﹣1，y＝1+2a+a+1＝3a+2， 当x＝2时，y＝4﹣4a+a+1＝5﹣3a， 当交点在与线段AB（不含端点）之间时，当3a+2＞﹣1时，5﹣3a＜﹣1， 解得a＞2； 当3a+2＜﹣1时，5﹣3a＞﹣1， 解得a＜﹣1， 综上，a＞2或a＜﹣1， 故答案为：a＞2或a＜﹣1． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＞0； ②若点（﹣1，y1），均在二次函数图象上，则y1＜y2； ③﹣2a+c＜0； ④对于任意实数m，总有． 其中正确的结论是：　②③　 ． 【答案】②③． 【解答】解：由条件可知， ∴b＜0， ∴abc＜0，故①不正确； 由条件可知抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点（﹣1，y1）离对称轴更近， ∴y1＜y2，故②正确； ∵x＝1时，y＝a+b+c＜0， 又∵， ∴﹣3a＝b， ∴a+b+c＝﹣2a+c＜0，故③正确； ∵④am2+bm＝am2﹣3am，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为：②③． 16．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0）和（3，0）． （1）求a，b的值． （2）求抛物线向左平移2个单位后的函数解析式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 即y＝ax2﹣2ax﹣3a， 所以﹣3a＝﹣3，解得a＝1， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）y＝（x﹣1）2﹣4， 抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），把（1，﹣4）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣4），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上． （1）当m＝n时，求b的值； （2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围． 【答案】（1）b的值为﹣1； （2）． 【解答】解：（1）将点（﹣1，m）和点（2，n）代入函数解析式得， m＝﹣b﹣2，n＝2b+1． 又m＝n， 则﹣b﹣2＝2b+1， 解得b＝﹣1． 故b的值为﹣1． （2）由（1）知，b＝﹣1， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣3． 此抛物线的对称轴为直线x，且开口向上， 抛物线的顶点坐标为（，）． 当x＝﹣3时，y＝9；当x＝2时，y＝﹣1， 所以当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是． 18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若抛物线上有一动点P（x，y），当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m﹣n的值； 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）； （2）9． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得a+2a﹣3＝0， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵点P（x，y）到y轴的距离不大于2， ∴﹣2≤x≤2， ∵x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5；x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3；x＝1时，y有最小值﹣4， ∴当﹣2≤x≤2时，﹣4≤y≤5， 即n＝﹣4，m＝5， ∴m﹣n＝5﹣（﹣4）＝9． 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2﹣2bx得0＝4﹣4b， 解得b＝1， ∴y＝x2﹣2x． （2）∵y＝x2﹣2bx， ∴抛物线对称轴为直线xb． （3）∵y＝x2﹣2bx， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b， ∵b﹣（b﹣1）＜b+2﹣b， ∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离， ∴y2＞y1， ∵y1•y2＜0， ∴y2＞0，y1＜0， 将（b﹣1，y1）代入y＝x2﹣2bx得y1＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝﹣b2+1＜0， 解得b＜﹣1或b＞1， 将（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx得y2＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝﹣b2+4＞0， ∴﹣2＜b＜2， ∴﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2满足题意． 20．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象上． （1）当t＝2时，求抛物线对称轴的表达式； （2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答： ①当这个函数的最小值为0时，求t的值； ②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）x＝1； （2）①t； ②2或t＞5． 【解答】解：（1）当t＝2时，有A（2，2）， 把A代入y＝ax2+bx+2中可得：2＝4a+2b+2， 即b＝﹣2a， ∴抛物线的对称轴为x； （2）①∵函数经过点B（5﹣t，0），且函数的最小值为0， ∴B为抛物线的顶点，且函数图象开口向上， ∴该函数的对称轴为x＝5﹣t， 取x＝0，得y＝2， ∴该抛物线经过（0，2）， 又∵（t，2）和（0，2）在该抛物线上， ∴， 解得t； ②当0≤x≤1时，y随x的增大而增大， 当a＜0时，抛物线开口向下，则当x时，y随x的增大而增大， ∴1，即t≥2， 又∵（5﹣t，0）在抛物线上， ∴5﹣t＜0或5﹣t＞t，即t＞5或t， ∴2或t＞5， 当a＞0时，抛物线开口向上，则当x时，y随x的增大而增大， 所以0，即t≤0， 又∵（5﹣t，0）在抛物线上， ∴t＜5﹣t＜0，无解， 综上所述，2或t＞5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$