22.1.1二次函数讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数 ❊22.1.1 二次函数 思维导图 题型精析 一．二次函数的定义 内容 二次函数的概念 形如的函数，叫做二次函数. 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. a是二次项系数，b一次项系数，c常数项. 题型一 二次函数的定义 下列关于的函数中，是二次函数的是（   ）例1 A． B． C． D． 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ）变1 A． B． C． D． 若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ．例2 如果是二次函数，则的值为 ．变2 二．二次函数的一般形式 内容 二次函数的一般式 也叫做二次函数的一般形式（即按照x的降幂排列）. 题型二 二次函数的一般形式 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）．例1 A．，， B．，， C．，， D．，， 二次函数的一次项系数是 ．变1 把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．变2 题型三 列二次函数关系式 下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　)例1 A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ．例2 一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．变1 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ．变2 课后强化 1.下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2.已知是二次函数，则实数 ． 3.二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 4.若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5.某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足．求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式.（不要求写的取值范围） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 3 页 第 22 章 二次函数 ❊22.1.1 二次函数 思维导图 题型精析 一．二次函数的定义 内容 二次函数的概念 形如 )0(2  acbxaxy 的函数，叫做二次函数. 其中 a 是二次项系数，b 是一 次项系数，c 是常数项. a 是二次项系数，b 一次项系数，c 常数项. 题型一 二次函数的定义 例 1 下列 y 关于 x 的函数中，是二次函数的是（ ） A． 2 1 2 y x B． 22 2y x  C． 2 1y x  D．  2 22y x x   变 1 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A． 5 1y x  B． 2y ax bx c   C．  2 1y x x  D． 2 13y x x   例 2 若函数   2 2 m my m x   是关于 x 的二次函数，则 m 的值为 ． 变 2 如果   13 3ky k x x    是二次函数，则 k 的值为 ． 第 2 页 共 3 页 二．二次函数的一般形式 内容 二次函数的一般式 )0(2  acbxaxy 也叫做二次函数的一般形式（即按照 x 的降幂排列）. 题型二 二次函数的一般形式 例 1 二次函数 22 1y x  的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）． A． 2，0， 1 B． 2， 2， 1 C． 2， 2，1 D． 2，0，1 变 1 二次函数    2 5 2y x x   的一次项系数是 ． 变 2 把 y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 题型三 列二次函数关系式 例 1 下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是( ) A．两直角边的和为12的直角三角形，面积 y 与斜边 x 的关系 B．周长为12的长方形，长 y 与宽 x 的关系 C．面积为12的长方形，周长 y 与长 x 的关系 D．面积为12的长方形，长 y 与宽 x 的关系 例 2 某超市有一种商品，进价为 2元，据市场调查，销售单价是 13元时，平均每天的销售量是 50件， 而销售单价每降低 1元，平均每天就可以多售出 10件．若设降价后售价为 x 元，每天利润为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系为 ． 变 1 一个边长为 10厘米的正方形，如果它的边长减少 x 厘米  0 10x  ，则正方形的面积随之减少 y 平方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是 ． 变 2 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双 肩包每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元 /个）有如下关系： 60y x   （30 60x  ，且 x 为整数）．设 这种双肩包每天的销售利润为w元．则w与 x 之间的函数关系式为w  ． 课后强化 1.下列函数是二次函数的是（ ） A． xy 3 B． 2y ax bx c   C． 2 1y x  D．  23 1y x  2.已知   11 3 4my m x x    是二次函数，则实数m  ． 3.二次函数 2 2 3y x x  的一次项系数是（ ） A．1 B．2 C． 2 D．5 第 3 页 共 3 页 4.若正方形的边长为 6，边长增加 x ，面积增加 y ，则 y 关于 x 的函数关系式为（ ） A．  26y x  B． 2 36y x  C． 2 12y x x  D． 2 6y x x  5.某商品进价为 40元/件，经市场调查发现，其售价 x （元/件）与日销量 y （件）满足 2 200y x   ．求日 销售利润W （元）与 x （元/件）的函数关系式.（不要求写 x 的取值范围） 第22章 二次函数 ❊22.1.1 二次函数 思维导图 题型精析 一．二次函数的定义 内容 二次函数的概念 形如的函数，叫做二次函数. 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. a是二次项系数，b一次项系数，c常数项. 题型一 二次函数的定义 下列关于的函数中，是二次函数的是（   ）例1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ．例2 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：1． 如果是二次函数，则的值为 ．变2 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 二．二次函数的一般形式 内容 二次函数的一般式 也叫做二次函数的一般形式（即按照x的降幂排列）. 题型二 二次函数的一般形式 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）．例1 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 二次函数的一次项系数是 ．变1 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．变2 【答案】1 【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 题型三 列二次函数关系式 下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　)例1 A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为：，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ．例2 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．变1 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ．变2 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 课后强化 1.下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意； B．当时，不是二次函数，不符合题意； C．不是整式，不符合题意； D．满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 2.已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 3.二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的一次项系数是． 故选：C． 4.若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 5.某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足．求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式.（不要求写的取值范围） 【答案】 【分析】根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； 【详解】解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$