第1章 空间向量与立体几何学业质量评估(B卷)-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第一章学业质量评估(B卷) (时间：120分钟满分：150分》 一、选择题（本道共8小题，每小题5分，共40分，在每小题龄 白的四个选项中，只有一项是轩合题日叠求的.) 1.在平行六面体ABCDA,B,CD中，向量AB,AD,BD 是) A.有相同起点的向量 五相等向量 C,共面向量 D不共面向量 2.已知A,B,C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，划下 列条件中，能得到PE平面AC的是() 入0p-O-o+0 OP-O+4o-花 COp-0i+Oi+心 D.亦-A--元 3对于任意空柯向量a一(r),b一（价向A),给出下 列三个命题： ①a/---云，0若-一4-1，则a为单位向 量，6alh=e4+ac+a:a=0, 其中真命题的个数为( Ad 1 C2 D.3 4已知叫非零向量南，物不共线，如果=角十，式=2期十， 中 AD-3一3，那么下列站论正确的是( AA,B,C,D四点共线 &A,B,C,D四点共面 CA,B,C,D四点不共而 D.无法确定 5.若向量a-(1,2,0),b-(一2,0,1)，则(》 A0s(a,b=120 Ba⊥b Ca∥b D.al-b 6已知A(3.3,3》,B〔6.6.6》，0为原点，则0A与0的夹角 是( A0 Ra c多 D.2n -207- 7.如图，在直三棱柱ACA,BG中，AB-AC-AA,-2, A当AC-2A时，B,P,D三点共线 BC=2,点D为BC的中点，则异面直线AD与AC所成的 B当AP上AC时，P1山中 角为(》 C当AC-3A时，D,P∥平面BDC D当A=5AP时.AC⊥平面D1AP 三，填空题（本题关4小题，每小殖5分，共20分.》 12已知正方体ABCD-A,B,CD中， D AE=AC,者花=x瓜+ A B晋 y(丽+AD,则￥- y= 米在空间直角坐标最Ox3性中，平面QAB的法向量为知=(2， 13已在四面体AD中，平面ABD⊥平面CD,△ABD 一2,1)，已知P-1,3,2),则P到平面Q4B的距离等 是边长为2的等边三角形，BD=DC,BD⊥CD,则异面直 于() 线AC与BD所成角的余弦值为 A.4 B2 C.3 0.1 14.有下列命题： 二、选择题（本题鼻3小题，每小题6分，共18分，在每小题始 ①若a与b共线，b与e共线，则a与e共线： 出的选项中，有多项符合题目晏求全部速对的得6分，年 ②若向量a,b,c共面，则它们所在直线也共面： 分选时的得部分分，有选情的得0分。) ③若a与b共线，则存在隆一的实数1，使b=a: 四边形AD是菱形，PA⊥平面ABCD,则下列等式成立 ④若A,B,C三点不共线，O是平面ABC外一点，且丽- 的是(》 A.PA+AB-0 RF风，Bd-O O耐+号O8+号C则点M一定在平面ABC上，且在 C.PA.CD=0 D.,A=0 △AC内部. 1Q.给出下列命题： 其中是真命愿的是 →（填序号》 ①若A,B,C,D是空闻任意四点，则有店++CD+ 四解答题（本是头5小思，共77分，解答应写出文宇说明，过 D可-0：②a一b-a十b是a,b共线的充要条件：③若 明过红成演算步常) .D共线，则AB∥D④对空间任意一点0与不共线的 15(本小题满分13分)已0空间三点A(一2,0,2)，B(一1,1， 三点A,B,C,若亦-x+y形+x心（其中x,eD, 2),C-3,0.0,投a=AB,b=AC 则P,A,B,C四点共面， (1)求a和b的夹角8的余弦值： 其中是假命题的是() (2)若向量如十b与如一2b互相承直，求是的值. A①且② C③ D.④ 1L如图，在长方体ABCDA,BCD中，AB=AD=5 AA一3，点P为线段A:C上的动点，划下列结论正确的 是( —208 16,〔本小题满分15分)如图，D为置惟的 18.(本小题满分17分)在①平面PAB 顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面 平面ABCD,AB⊥AP,②AB⊥PA, 直径，AE一AD.△ABC是底面的内接 PA⊥CD:③C⊥平面PAB,AB⊥ 正三角形，P为DO上一点，PO AP这三个条件中任速一个，补充在 o 下面的问题中并作答 图：在四棱柱PABD中，面ABD是梯形，点E在C (1)证明，PA⊥平面PBC 上，AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=2AP=4BE-4,且 (2)求二面角丹P℃E的余弦值， 《D求证：平面PDE⊥平面PAC (2)求直线PE与平面PAC所成的角的正弦值 17,（本小题满分15分)如图，四枚维SAB CD中，AB∥CD,AD⊥AB,SA⊥[C SBLAC,CD-2AB-2AD-2.SD- 3.SE-2EB. (1证明：sD∥平面AFC: (2)求点A到平面BEC的距离 -209 19,(本小题满分17分)如脑，在三棱柱 ABCA:B,C中，AB⊥AC,顶点A 在：面A议C上的射影恰为点B,且 AB=AC=AB=2. (1)证明，平南AAC⊥平面A,AB: 2)求AA,与BC所成角的大小： (3)若点P为品C的中点，求二面角PABA1的余弦值 =210-设平看MC的漆舟童为"：■(a,,c), wm·Ch-8,2-0 n,m-(w2-,@1u-2+V14-0. 取u一/五，期-0-A-1,所以=五01-1》 由(1知AOL平后A:BC, 所以平面AC的一个法附量为：=，0,0). 因为托二南霜MBCA的大小为等 斯以属n:·南 m·8 ”Vmxm子号 参现样20+2一1=0， 解得=一1生互， 因为ae[0,1], 所以1一中红 故餐丽一中西时，可徒得能二面青 好HCA:的大小为 第一章学业质量评估(B卷) L.C2B3B4B5D羲B7.B8B 集A0,BCD IL ACD 卫1青a94① 15解1(10a=AB=(-1.1.2)-《-2.0,2)=(1 1,00, &-A0-(-8,0,4)-(-2,0,2)=《-1,0,22. 0 所以。与8矣角台的金接值为一得 (2)国为s十-使4,00+(-14,2)-k-1k,20 加-2b=(h.0)-(-2.0,4)=(h+2,k,-D, 所以(k一1止，2)+(k+2,k。一-4)=使一1)+(k+ 2》+-8=0. 野2出+一10=0，所8k-一号龙k-2. 16证明：量D0-4,由题设T得P0-停， AD-AB-a:PA-PB-PC- 因北A+FAF,从而PAP阻 又PA+-AC,放PA⊥FC 所悦PA⊥平面PBC sD-号=气r·,由r=r:杆号 (2)解：以0为走标感点，日 的方向为y仙正方向，正为单 位长，成玉如围所示的空同直角坐 }·要A样解有3 桥暴OE (方法二》建票如周，别D0,0,00.AW2,0,01.2。 向是量可样E0,1,0),A(0, 1,00.00.2,00.5o,0,3),=《-2.-1.30.d -1.0.c).p(o.0) (正，1,00，-0,10m.E-28,÷证-专西 D-(.-}0},-a-1》夜m 出，如)是平面P配的陆前量， m,-0, n,0, 了取m-(-9,1w2).齿1)知心 4 1,:-个面旺片一个法量为 (0.1,)是干面PCB的一个清向支，说m-,则om, (1w2,).共AA到干面BC的距高为d- √++哥 1R解：无选①：：平面PAB⊥平面AD是平面 PAB门年岳议D=AB.PAC平面PAB.A⊥AB, 17.解：(1D在臂校惊SACD 中，连接D交AC于O.连楼 FPA⊥平面ACD活逃图：：PA⊥AB,A⊥CD又 E0AB∥CD.△A0n 焦面BCD为林形AD∥BC,故雨陆AB,CD必相 又AB,CDC平面ACD,.PA⊥平面ABCD.若选 △0器帶=是是 ③，BC⊥平奇PAB,又PAC平奇PAB,,CLPA 中PA⊥C.又PALAB.AB,BC平雨ABD,ABC B,PA平南ABD 元OEC平而AC,且SD过平面AEC,∴.SD∥+ 以上任选一个有可证得：PA⊥平奇ABD 南AB 像题意：以A为原A,以AB,AD,AP所在直线为 (2》点A到平香EEC竹是离中点A到平香SC x轴y轴物建立堂可直角坐禁露，因略 的延离，流为h,由ADLAB科4D⊥五义5ALDC: 则A0,000,B2.0,0》.C2,4,00,DX0,2,0》.E2 84nAD-A,得CD⊥平香84D,解CD⊥SD,由AD 1,0.P0,0,2 (1)证明：向PA1平面A以D,DEC年看AD, 时PA⊥DE,期DE⊥PA CD得AC-1，得A0-号AC-,0+a0 又A✉(2,4,0)，Df=(2,-1,00 =A,AC⊥BD,又SB⊥AC,sanBD=B,G DE.A0-2×2+4×-1)+0×0-o, ⊥平面SBD,则AC L SD,ACLSD,CD15D.CDn DLAC.:DELAC AC-C,,D庭面ABD,D是三黄维SAC的高. 又PA,ACE4面PAC,PAnAC-A (方法一)5B=√57)+mD=2.√3，C ,DE⊥平面PAC,文DEC平奇PDE,t平面 PDE⊥平香PAC 25B7 《2)由1)可得单面PAC的一个法向量为证 Mnx=厚-名8·e·m∠S (2,-1,0). xP-(2,1,-2, E与平面AC所或的角的玉毯使为 血m庞囊：震动号 19,解：(1)A:日1平香AC, AB⊥AC 又AB⊥AC,AB门ABB,AC⊥平面LAB A0C平面A:AC,,年香AAC⊥平面LA (2)以A点为是标原点，建立国所÷的堂同直角 生称系. 附A0.0,00,C20,0),B(0.2,0),A(0,2,2), 马0,4,2，C22,2,-0,2,2),-C (2,-2,00 A面·C m,成“·西“x 故AM身批睛点的身约大小是寻 (3)P为B的中A,P1,3,2 没平香PAB的一个法向量为m1■《r+y:), ·=0-03. 。,语=o,语=0.20 令-1，则m一（一20,1）， 而平岳AB4的一个法为量为n1=1,0,0). 内困可知二面角PAA,为纪角，放二面商 PABA:的余*值是5 第二章学业质量评估(A卷) 1,D设直底的顿外具为a,则an坐■一1， 药为0<，尉以a=克 些边n 2A撞克〔4,0)关于直直士十y一10=0的时释点 +0-0， 为b),副 4 苦龙及卡光线所在直线过点《10,6)，方程为￥一