课时训练(11)习题课空间向量在立体几何中的应用-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

课时训练（十一） 习题课2 1.正四面体DABC中，CM=2Mi,点N是棱 BD上的动点，设直线MN与平面ABC所成 角为0，则cos0的最小值为() A2② 3 B号 c号 号 2.如图，已知点A是圆台OO的上底面圆O 上的动点，B,C在下底面圆O上，AO=1, OO=2,BO=3,BC=2√5，则直线AO与平 面OBC所成角的正弦值的最大值为 3.如图，在圆柱中有一内接正六棱柱ABCDEF A1BCD1EF1,圆柱的高为2，底面半径为 1,上、下底面的中心分别为O,O,点K在上 底面的圆周上运动，若直线AC与平面KAF 所成角的正弦值的最小值为m,则 23 A B 4.如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半 个圆柱组合而成，BC1为半个圆柱上底面的 直径，∠ACB=90°，AC=BC=2,点E,F分 别为AC,AB的中点，点D为B1C的中点. 16 三间向量在立体几何中的应用 (1)证明：平面BCD∥平面CEF; (2)若P是线段CF上一个动点，当CC=2 时，求直线A1P与平面BCD所成角的正弦 值的最大值 51 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平 面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AD=2AB= 2BC,AB⊥AD,AB⊥BC,点O为AD的 中点 (1)若点E为CD的中点，求证：BO⊥PE; ()②设四棱锥PABCD的体积为3，点M 为底面四边形ABCD内一点（包括四边形边 上的点)，且直线PM与底面ABCD所成的 角为5，求直线PM与平面PAC所成角的正 弦值的最小值. 0 10 6.如图所示，正方体OABC-O1A1B1C1的棱长 为3，动点M在底面正方形OABC内，且M 与两个定点0，A的距离之比为7 (1)求动点M的轨迹方程； (2)求动点M到平面O1AC的距离的取值范 围.（由(x一a)+(y-b)2=2,则x=rcos0+ a,y=rsin 0+6) 0 52-5(1)证明：如图章PB的中杰F,毫接EF,℃ 国为E,F分利为PA,PB的中点，别EF∥AB,且 E-豆A, 又用为CD∥AB,且CD-AB. 财以EFCD,里EF=CD, 副四进形F为平什日边到， 所ED/CF, 又D文平面PBC,CFC◆面PC.所xEDN年 面PC (2)解：南题意可得，AD=BD-22, 则A+BD=ABF,即AD⊥BD, 取AD的中友M,毫族PM, 四为PA-PD,期PM⊥AD. 又平面PAD上平香ADCD 平面PD门年面AHD=AD, 所以PM红平面A成D 以D为业标原点建立制 腾所章的空间直角染标原，时 D(0,0,0),C(-2v2,00, u2.o.ya》 Dj-,2,02),心-(2区，0， 设年面D的湍肉童为n=(ab., 则nD+e=0 m.DC--2a十2b-o, 伞4-1.副6-1,6--1，年4=1,1，-1)， 由(1》可祥，D成平面P度C, EDC平6PAD,平面PAD门平所PBC-人所以 团1，剩直线上的考向南受罗以灵还-(，0，号) 成P项=AD硬，对N(+30②+)。 丽-+0+a. 夜平面DCN的法肉量为端=（红y2小，时 m·D-(+32)k+(w厚+号-0 m.式-Er+y-0. 伞1=1+2，别y一1+2，=一《动+2)，即m一 a+2,十2，一(3贴+2). 8为二面角PDCN修余然值为号 √( 对ma:m=-子 时以：当十子耳A导时：确取得减大位， 解得五-1线1-一是 志载是直线MN与平面PAB所成岭角最大. 课时训练（十一】习题课空间向量 极修验可知，当=一是封二西肩的个国角为桃 在立体几何中的应用 角，不合题意，骨去， L.B取C中点O,连是O, 遂DABC的枝装为2， 所误A=一1，剩PN的为后， 16解：由是意如，AP,AB。 二D在成面ABC内的提形G为△ABC的中a AOLBC. AD有两金直.以A为生标原表 AD,AB,AP所在直民分到为三 以O为坐标原成，以，恋正才向为x轴：y轴 精y物，轴，建是空河直角卖标 作DG的年行线作为精 系，如图所承 可建立加国所示空间直角生 别A[0,0,0》,B(0.2.0),C(2.2.01.Dk1,0,0, 标， P00,2),M0,1,1 (1AM=(0,1,10.PD=1,0,-2).D=(-1: 2,0) 停o,, 灵平面PD的法舟童n=红，J,g), 动-停-1,2 x=2, b一中二所 -一y- y=- 由延意如平面AC的一个法向量m=(0,0,1) 氧生=1，则上一2,3=-1，所以程=(2，一1,1)是平 或N(x4y),BN=Ad(01) 面D的一个法向量， 对为不雨，n=0,背以入M1m r-. -. 又A过平面FCD,臂就AM平面FD (2》由周意万0=人1C=1(1,2,0).0≤1 -25 速楼AN,图为A市■(1,0,0》，斯以A交■D+ D=(1,0,0+1,2,0=1+a2以，0以 年N停.1- 所函-衣-商-(1+1，五.0》-(0,1,1》 《1+0,2-1,-10. -停号- 复平面PB的一个法为量为m=(1,0,0) 臂以a(M.m》=- 1+1 +初+(-)干示 血g-ea,a: 1+A 2。 a-五平秀>0， 流直线MN与平所PAB所成的角为， V+(停-+√w-者+哥 制m-1osN,m1-m一a污 0时，in0-,0os- 25 十A 61+-121+0+10 当0<l时，in0 s一是时(+a, 0<my, m--m爬[}小 略上所速：四：日的最小值为 故选且 2省案0 解析：选接0C,注C点作 CH+直下O的是装线于走 H,以O为垒标原太，走立空间1 直角坐杆系如因所示： 6aw 在三角形OBC中，莉为 04-3,00-3,C-2B. 2×3×25 粥朋-C·m-25×号-号 嘴GHc-肝-√20受-4， 0H-a-0B-} tac-寸，5.o）00,0.0.00.,3.B 3,0.01 是表A(m,期，2》，w:w∈[一1,1口.由0A=1,可得 w2十-1， -(是草，o小-(-30a 爱平而OBC的法向量m-(y, m=0。 【-ar+2经-0. 章y5,期x-2:-3, 故平岳倒C的漆有童m=(25,3). 又-(n,n,2, 昆直线A0身年舌0，C所点角为0.e[0,受] ·对 则m9=w威.w)1-m 2w√/5w十6 12十5n+6 32×V++4 310 国为m,n∈[-1,1打，且m+-1, 改令wmse,w■in零eE(0,2, 时2m十5w十6■，5ina+2aw度+6=3n(a+ p+mg-9e(-哥哥》 又a∈0,2xl,所ana+g)∈[-1,1l 所以2na十+6e[3,9.脚2m+Wm十6∈[3,92， 所以in0的藏大值为、3=10 310 10 客：9 玉苦案若 解断：章AB的中点M,以O为垒 标原点，羽的方向为王仙岭王方向建 土安周直角坐格系，如周所帝，则0， -10.a9.o小.c0.1,0, K(cos&sim,20,6[0,2=). 时-（停o小，=(mn+1,2 设平面KAF的法肉量为■x,y,),则 防有-停t号y-o求n-叶如叶 1》+2x=0, 了取m-(2,一23.w5m0一m48十3)，累为 -(-是小 所以直气AC海平面KAF斯点角的正做值为 48 5x16+Wmg一-什3 √6+[20-》+可 当m(一)=1时，直战AC与年南KAF阶点 角的三镇值取得最小佳 4 时m 4 √5+(2h3y√2+4.3 16 又E[0,1门.时人-景血9的装大值为2 执客发为：登者 所以直线A:P与平而BCD所成角的压孩值的景 4解：(1》连楼GD,由点D 大位功2酒 为G的中人，BC为半个目起 (满二)在直三棱旅AC 上良面的直径∠G热= A:BC中，CC⊥点GABC 南∠AB-0”,AC-BC- 因为FC焦面A改，所以 2,∠C4A=45CD2, C⊥EF. 别∠DC乐-∠CBA,义A,B,D.C回k共 山(1)如EFBC,C⊥ 面，所以A:品∥CD, AC,双EF⊥AC, 南回进形A,ABB,为重三棱拉的倒斋如AB: 又ACnT=C,AC,C平雨A4,CC, AB,年A:品∥FB,则C:D∥FB, 所以EF⊥平面AA,CC 南F为AB的中AAC--2挥FB2-CD 因为EFC平面EC, 背误网政形PBDC为平行网政形，利BD∥FC, 用以平西P℃⊥平香AAGG日 美BDC平雨CD,FC在平面BCD,雨FC∥平 止A作AH⊥C交C于H, 6BCD, 因为平面EC∩平面ACC-GE,所就AH 和为E,F分剂为AC,AB岭中，表.所以EF∥C, 平面GF 又EP亡平面CD,CC平奇CD,所就EF平 又平面CD∥平面CEF, 面ECD, 副重汽A:P与平面D所或角中为直气AP与 为EFC平面CEF,℃C年面CEF,所以平 面BCD∥平面GEF 平面C,EF所成角∠A,PH, (2)《法一》就， 国为R△CECoR△AHC,且正方到ACCA 》为一越堂同正变基赢，建 的造长为2， 立加图所交的空圳直角定标原 2 Dxy8.时E(1,0,0),F(1,1. 所a-是A-合 4 D0,CG(0,0,21,4(2,0.20. 所以EF=0.1,0), 又mAPH-得inA.PH性 《-1.0,2)AF=(-1.1,-2).F=《-1,-1.20 最大 量j-a--k.-A2以1长[o,1. 则AP最小，在△A下C中AF-FC=而， 剩A产-下+p-(-a-1,-A+1,边-) AG=2, 由平面BCD∥平奇CEF加直我A:P与平面 CD所成角即为直线AP与平面CEF所成角， 址A作AP⊥GF变FC,于P,南琴面和可李盘 设平面CEF的法有量为题一y), AP-厚此时如APH-2 取=1，得x-2 所以直直A:P与平面倒D斯成角的正社值的果 刚平面CE下的一个法南量为m■(2.0,1为 大楼为 没直线A:P与平面C:F点年为9，则 5.《1)证期：加图，建接0B, in-lo.- OC.OE OP,AC. 国为PA=PD,D为AD的中 6+ 点，所POLAD, 义平雨PAD⊥平雨AD,平面PAD门平面AB CD-AD,OC平面PAD, 所缓代L平香AHCD,所以P)L改？ 图为E,O分剂为CD,AD的中点，所以OEAC, 青还W边形A0为正方形，所以AC⊥，则 BO1EO. 又O门E0-D,PO.EOC年岳OE,所误OL 平面E, 又PEC平看E,所xEO⊥PE (2)解：由(1)知FDL平商A议D,口边形A0 为其方形，则PO⊥CC,CC⊥OD,PO10,以O为原 成(CD(P两在直战分利为x轴，y精物 建立如图所t的堂闻直角坐标系 t0C=0A=0p-,则号·a+2ad= 解得a一√， 国为OL平而ACD,所以直线PM专焦雨AB GD两成的角为∠P0,利∠k)=5 所P0器-点，到0-1 所网克M竹轨连是以O为国：，1为丰授，在底面 A仪CD内的半周基： 形可夜嫩mn,0[登] 出0,0w5),A(0.一5.0)，C8,0.0》,得 (ssmg.-(8/s,0,A-05w8. 登平岳PAC的法向量为n-《:y,x). n·A-0,3x十N5y-0 nAP-0.y+/3x-0 伞x=1,利3 -1,m1, 所2平面PAC岭一个清向量为n-1.一1.1. 论直成M与平面PAC所成角为， 血g-11一：照 28 2 25 6,解：1)以O为卖特原.表.Q4,C所在直线分别 为工厅轴进生平岳直角安标原，知圈， 设MK+,y(0,301. 贤 化得得2+y242x8-0, 昨(x+1)+=4(0x61,065 (2)以O为生标原是，Q4,0C,00所在直线分到 为工小y:赫建亲平雨直角坐称6，如国 则A(3,0,0》,C(0,3,0),0(0,0,3). 所以A心=(-3.3,0》，A=(-3,0.33 论年面0C的法南量n=〈工5，》 伞x=1,则y-1,x 1,故n=(1,1,1), 由1}可爱Ma:6,0),其中(a+11F+7-40 61.0/3). 则A南=《a-3.6,01. 设M到平面OAC的意真为d 时d=,-世-±d3-e+位， 3 由(1)可◆a+1=2msd.6=2in0,其中0写 4+6-2ms0叶2m1-2v2sim(9+t）-l, 四为平<+<得所以号6(+}1 年1无4+6名22-1.所以45-2运 1二 8,答案：2 解析：如图4一2，女=0，片有盎龙线落在医中所 k45=26小 ←且置时才特合题感，故0∈[0,2 课时训练（十二）模斜角与解率 1B根燕得A表示的斜率会人得一二1 武直线！的新率是的最大值为2 1AD由于桶斜角为票的重残浸有科取，数A 9,答案：4一o.一5)U1,十o)【-5-5,D 锯误： 解纸：盘板林尾分桃商时，桥华一册>0，所 帽科角为行的直线的斜华为一石，而城斜角为程 得w<一5我m>1:备领外角为直商时，两点横垒标相 的克的料奉为，益B锥使： 等，脚2m十3=m一2，解得四=一5：督候斜角为烧角 任何一条直线都有唯一的一个领斜角，故C耳确： 时，斜年n-0,解得一行m<1, 十5 苏两夏残的领解商相子，郑等千三：则它们的斜率 1n解：母为一-1， 年不存在，放D雄误。 所以的领解角为5二， 支A因为A-8,3,B3,-2,C号m)三高共 又购为41，山山山的领新角之比为112：34 所以如一高宁 晚这四条直气的桶韩角分剂为225,5， 67.5,90 4D黑为克(1的幅斜角为a,则a∈[0，E: 11A当x=0时，直线/金直于x物，直线（的领 由一1kC5,择一1 Ctan g3 0-12m 将以ae[o吾]U[x小 5C茂直线I的林奉为，别太=，3太=原× 胃点斯以直政1的模针角为细 【一一2时，平号成立，嫁上阶堰，直履（的领鳞扇的取值 反AD对于A,事直武与x种修直，直汽的相 花周为[臣] 斜角为的，斜车不存在，故A精误：计于品直此领斜 位B巴秉泰姬设这0(@，0和克A红，z)》 角的桌值花国是「©，)，放B正确：对于C,一条直线的 头单为m如a,此直底的相斜角不一文为。，如y一x的斜 的直我的新率，除以我们可以城于a,.已几 平为m牙，它的领斜角为音，放C替运：时于D,督一 州意义为3个外率，作函量f(x)=w(x十1)的周象 各直线竹细斜角为a时，它的外率为：气不香友，过 如图所示 D辑误故4AC 1.苦：25 解析：由千直线1连(-1，-1)，(2，)两点：克 12,在1上，能解得6-20e &+1 国为>>>0，在画量里象上找到对足点a, fa),(h,f)),-)》,将这三点与坐桥愿点扣连， 可得c以>a 13,解：闲为直线的领新角a不是锐属， 所议g-矿或。-9的成金是纯角。 当x=0时，1十1=24，拜=1： 当a=0时，1一=3，年=一2： 当：是纯角时，直线的外奉小于@ 解挥一2<1. 然上所逃，实载的取值范国冷「一2,1门 14解：(1》方读一：周所示， 利 由于成M(x:y)满足最式 2r十y=8,L2<x3,可物成 My)在线投A上移动，并L可T2了寸 由A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),(3,2), 由于之的无钢意义是直民O制竹斜单： 里kmr2,a一导 云可水特的覆大值为2，最小值为号 方楼二”一+8心-是名 爱-兰-是-.期f)在[2，]上米调 遥浅 当r-2时fan-,鑫2-3时f-寻 装子特最大微与最小维分制为2，号 阳为当-带共无新务文姓 y),N一1.一1》两克的直线的斜单 经品数y一一2x+8在士氏[2,3]的图袋的龙、右 点分别为A(2,4083,2). 一骨如-号 “岩的取维龙满为[导，引 课时练（十三）两条直线平行和垂直的制定 1C当m=0时：直气AB与直线CD的外率均