课时训练(10)用空间向量研究距离、夹角问题-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

课时训练（十）用空 A级基础巩固练 1.若直线1的方向向量与平面的法向量的夹角 等于120°，则直线1与平面a所成的角等 于() A.120° B.60° C.30° D.以上均错 2.如图，直三棱柱ABC A A1BC1底面是直角三角 B 形，AB⊥BC,且BC AB=AA1,E,F,G分别为 B AB,CC,AC的中点，则 EF与平面BGF所成角的正弦值为( A R c.2/3 5 D 3.如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱 ABCD-A1BCD1为长方体，AA1=AB= 2AD,点E为C1D1的中点，则平面ABBA1 与平面A1BE的夹角的余弦值为() A.、 3 2 3 D. 4.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个 面都是直角三角形的四面体称为“鳖關”.在 鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD,AB= BC=CD,E为AD的中点，则异面直线BE 与CD所成角的余弦值为() A.0 BS c D. 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1BCD1中， M,N分别为A1B,BB的中点，则异面直线 AM与CN所成角的余弦值是 间向量研究夹角问题 6.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱BB1,CC上，且BE=2EB,CF 2FC1,则平面AEF与平面ABCD的夹角的 正切值等于 7.如图，在三棱锥ABCD 中，已知平面ABD⊥平 面BCD,AC⊥BD,CB= CD=√5，BD=2,E为 B BC的中点. (1)若AD=√2，求直线BD与AE所成角的 余弦值； (2)已知点F在线段AC上，且AF=3AC, 求二面角FDEC的大小. 8.如图，在直三棱柱AB1C1-ABC中，AB⊥ AC,AB=AC=2,A1A=4,D是BC的中点. (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余 弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正 弦值 59 B级)综合提升练 9.如图，在正四面体PABC中，M,N分别是 BC,PC的中点，则AP与平面AMN所成角 的正弦值为( ) A得 c展 DS 10.(多选)在棱长为a的正方体 ABCDAB'CD中，E,F分别是BC,A'D的中 点，下列说法正确的有( A.四边形BEDF是菱形 B直线AC与DE所成角的余弦值是需 C.直线AD与平面B'EDF所成角的正弦 信是受 D.平面B'EDF与平面ABCD所成角的正 弦值是 11.如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD 是菱形，且PA⊥平面 ABCD,PA=AD=AC, 点F为PC的中点，则平 面PBC与平面BDF的夹角的正切值为 () A号 B c. D 12.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成 直二面角，则正确的有( A.AD与BC所成的角为30 B.AC与BD所成的角为90 C.BC与平面ACD所成角的正弦值为 D.平面ABC与平面BCD夹角的正切值是2 13.如图，已知正三棱柱ABC A1BC1的各棱长都相等， B M是侧棱CC1的中点，则 异面直线AB:和BM所成 角的大小是 1 14.在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面a过 点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a) (a>0),如果平面a与平面Oxy的夹角为 45°，则a= 15.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为直 角梯形，CD∥AB, ∠ABC=90°，AB= 2BC=2CD=4,平面PAD⊥平面ABCD, PA=PD=2,E为PA的中点. (1)求证：ED∥平面PBC (2)已知平面PAD与平面PBC的交线为 I,在I上是否存在点N,使二面角PDCN 的余弦值为？若存在，请求出PN的长： 若不存在，请说明理由。 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底 面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，PA= AB=BC=2,AD=1,M是棱PB的中点. (1)求证：AM∥平面PCD. (2)设点N是线段CD上一动点，且DN= λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最 大时，求入的值. 50a-w-0,+y=0◆- 所 1m+i-0,w3x-x=0. 4y--得。 r(红，一店 瓷并面直线AC,PB之间的题离为d, 删d,m。-2园 √++ 19 (2)量在侧面PAB内乔在一点N(e,0,e),线 NEL平面PACG 如o,2 斯a-(-a是1-小 Nt.-0, 片以，=0， 2(1-e)=0, 开-+片-0 -1 简aN停0.小 所以AN到直线AB的斯鼻为√G干下-1，点N 到直成P的乐离为，（得+付-华 课时练（十）用空间向量研究夹角问题 L,C是直线1与平面▣所盛的角为9，相m0 m%1201-7.0r90.∴0-30 2A根括题意，建立如避前示的空网直坐标 6,议BC-AB=AA:-2, 则E0,100,F2.0,12,0,0.21.G11,20, 斯以E乎-(2，-11， G-0.-1,-1》,BG=(11.0 5答案：号 灵平而BGF的法的量为一（江y, wm--y-0 解析：依题奢，建土空间直角 取m=(1,-1,21, :BGm+yo. 皇标系Dxy,女周稀录，到A(们 设EF与平面BGF脱成的角为9： ,0,M1,lC(o.1,0) 期血les(Ef,m-5。-点】 6x/66 M(11.). 3C度D=1,时A(1,0,2,B(1,2.0),所议 -(0专1C-(1.0,) ABw(0.2,-2). 8为E为CD的中点，所这E0,1,. 由于w(A2.C)= 将以A重-(-1.1,01.量w=(工，5，x)是千首 × ABE的法肉童， 南AE·四一0，而B·w0,可得平西ABE的一 AM与CN所藏角的金孩：为oa,C1-子 个法向量为国一(1，】，10 6答案号 义DA⊥平面A4A,斯以D=1,O,0》是平奇 ABBA:的一个涂向量 解新：建立空司直角坐标原D性，如图所众. 以mm-高-言-9 设正方体的棱长为1，刚平面 ABCD的个表向量为"1一(0， 经所水失角为尔影mg一osm,成一 0,10. 授平面AEF的染句量为 中平面ABA势平面AB距央原的食弦值为 1-(,3,8 因为A10.o.E1.1号)Ff0,1,) 4D由期可加，AB⊥平香以D, 所a证-o,1》-(-10, BC-CD.R BCI CD. 所以△BD为等装直角玉 由南·=0·0.了得平香4EF的一个 法南量是：《1，一1,3)， 角形， 所议过B传即的是就 目以B为生禁原表， 与年香BC的失舟为，则6eag■a8n,m)■ 建立如图所本的空间直角坐标系， 过点C种CH⊥D.意是为H,易拜△CH为等 经直角三角形，径AB-段C=CD一2， 7,解1(1束D的中克0，连接AO,C0, 别CH=BH2, 因为BCD一5,0为b的中燕， C22.0).D(0.2v2.0).E(0,2,1),B0,0. 所以OLBD 00. 又W为AC⊥HD,C0门AC=C,DACC平 片x证=0区，1》.b=(-2w2,0. 面AOC, 成-需：哥成导 所以DL平香AOC 所以DLA 又图为平雨ABD⊥平面EBCD, 所以济面直线E与CD失角时余孩值为 所以AO⊥平面BC, 所x0BD,0两两金直， 分利以0想，OC,0A所在直 线为x仙，于，：仙建立实间直 角坐特系，女围所市。 周为O为BD的中&，陈就 AB-AD-2, 又日为BD=2,斯以A=1: 所2A(0,0.1)B1,0,0》,D(-1.0,0),C0,2, m,E号0小 影50-《-80.m.7-(传-1 一成一惑恶 -2x月 00×,√位】++-伊 3 所以直线即身AE所点角的合被值为行 (2)连热DF,DE,F,如国 所帝， 所以D-1.0,0.C0,2,00 2000cm 量减A(0,0r》,红，y) 则7F-(红一c)0-(0,2,-c 国为AF-专4C,所x-C 中-0-}0,2，-山 解释Fo,号景 ㎡-.导)成-（侵1,0 爱平面FDE的法南量为香■（功，）： ,证=受+为=0， …㎡-6+是+号%-o 年为=一3%=0， 得=2.一3,00. 又目为平面DEC的一个法★量一0,0，e). 最二香角FDEC的平面角为6， Ha9own0-8-o, T知平面DEC⊥平而FDE, 所以二面角FDEC的大小为受 8解：以A为原礼，建立空同重角坐棘系Ay,如 图所承， 则A{0,0,01,B(2.0.01,C0,2 02,D1-1,00,A0.0,40,C(0,2.40. 10里为b-(2,0,-40,C市 〔1，-1，-4)，所这AB,CD Ai.c心 C20×1810 说来面直线AB与CD所成传角为8，则os0- si.1-小 所以异面直线A,B考C,D所点角竹食弦性 严 (2)授平勇A沉C的法内量为一(，y,),利 南+d=0,"1=0 四为7Dm《1.1.0),7(0,2.40,骑xx十y 0,3y+2-0.所x可章n1=2。-2,10. 取平面AHA的一个法向量为：=0,1,0)，设平 面ADC与平面AHA的类角为 2 景所以白复 因克，平而AC与干后A品A的美年的三然使为 9,C取△A的中心0为坐标 原点，件与C平行的是战为x精建立 如图所零的实间真角坐标原， 设AM=3, 则C=23,0M=1. 0P=22, 4(0,-2.0》.P0,0.2w2).-V3.1,02, N-9EMo1.0.00.0o. 所0-（号号），0-01.0， =(0.2.2) 直战AD与平面班F所成角的正就值适9，C得流 爱干西AN的济向量为n-r,3y,, 所g0N-2. 平面ACD的一个法食量为丽=0,0,1》，0s精 n·g=0, 国考年面B'DF与平面AD阶成的角为就角： 5y=0, 所以平面BEDF与平面ABD所成属的金孩丝 令3，附1-2V臣， 为晋片限然值为酒，D1电 时议平面AMN的一个法向量为题■(2v互，0，)， 1D藏AC与D交于离 灵AP与平香AMN所成的角为9 D,是接0原.以0为原点B,0C 所议如·破度 O原所在直线众利为士仙，y精， 物建立堂同直角来标原其如 10.D以A为皇标原，点： 分别以AB.AD.A4'所在直族为x PA-AD-AC-1,期BD-√，所以OX0,0,0) 陆，少粘，物建玉空司直角皇标 系，如调所市。 停o.).Fto.0.}cfo号ora,-y 到A(0,0,0),ka.0,00,C(a e-0》,D0,a,00, 马如心-(O,专0）为平面BDF的一个法向毫 A(0,0a,Bfa,0e,D(0,au,Ea,号，0 T得平面PBC的一个法向量为w=(1w原，). Fo,是 所以ma心= 设平面PC与平面BD下的尧年为8， E-(0.%.-e).F6-(o.-).BE-FB. 所议国遵到形D下是平行回遵到，由玉方体知 署6m-o,1-厚 DE-DP,图充臂造形BEDF为菱形，A玉魂 期以加29m=号 7 花-d,-,证-(e一号0 m℃，-4· 所以干再PC与学西BF的矣商岭匹物值为 12CD女周，五方形ACD 沿对角线BD新成直二奔角，取BD 中0，选是40,00. 则以O为原点，汇所在直气为 录平面'EDF的法向堂为n■(xy,), T轴，)所在直线为y轴OM所在 e·至-， 是找方？做，建立空同建角坐标系 0C-1,A(0,0.10,B(0,-1.0),C1,0,0): p0,1,0,d-0,1-1D.-(1.10, 敢y=2,耐z=1x=1,中n=1,2,1), 11 是D=0a.0 1m脑-需离-衣 设直线AD寿平一BDF片成的角为9， 所以弄台直成AD与C所成的角为0'，数A不 到arw而之号 正桶： aAC-(3,0,-1D,B0-0.2,0》, 装为C,励-0，阶以AC⊥D,戴B正确： 经平面ACD片一个法向量为1一(，， t,0=n-=0, 1-1，得■1,11)， t…AD-n一一0， B=1.1,0), 是C每平面ACD所成角为0，利m9 o成--导caa 平面CD的一个液自量m=(0,0,1D,月A=(0.1: 1),2-1.1,0, 浸手西ABC的确向量m=+J为，》， m武-为+-0. m,一十为- 数=1得m■(1，一11)+ 双平香ABC当平面CD的先角为9 所以向-9以m长区。 所候平面AC每平面CD的夹角的兵初值是 y2,政D延州， 13.答案：9 解桥：设正三棱使的棱衣为2 周为A成-B明--B+号层， 所以A,=(丽-)·(+2B武) 0+g一2一0-0，所L 所以异面直线AB与BM的先商为心 14答案号 解折：平所Qy的一个涤向量为n=(0,0,1) 没平而a的法向量为M=《,,±)，别 -3+4y=0. 有-3cta-0r 中3=4y=m,爵以可章u=(号，芹 由新多得引四s表，)引= 5(1)证明：如图章PB的中杰F,毫接EF,℃ 国为E,F分利为PA,PB的中点，别EF∥AB,且 E-豆A, 又用为CD∥AB,且CD-AB. 财以EFCD,里EF=CD, 副四进形F为平什日边到， 所ED/CF, 又D文平面PBC,CFC◆面PC.所xEDN年 面PC (2)解：南题意可得，AD=BD-22, 则A+BD=ABF,即AD⊥BD, 取AD的中友M,毫族PM, 四为PA-PD,期PM⊥AD. 又平面PAD上平香ADCD 平面PD门年面AHD=AD, 所以PM红平面A成D 以D为业标原点建立制 腾所章的空间直角染标原，时 D(0,0,0),C(-2v2,00, u2.o.ya》 Dj-,2,02),心-(2区，0， 设年面D的湍肉童为n=(ab., 则nD+e=0 m.DC--2a十2b-o, 伞4-1.副6-1,6--1，年4=1,1，-1)， 由(1》可祥，D成平面P度C, EDC平6PAD,平面PAD门平所PBC-人所以 团1，剩直线上的考向南受罗以灵还-(，0，号) 成P项=AD硬，对N(+30②+)。 丽-+0+a. 夜平面DCN的法肉量为端=（红y2小，时 m·D-(+32)k+(w厚+号-0 m.式-Er+y-0. 伞1=1+2，别y一1+2，=一《动+2)，即m一 a+2,十2，一(3贴+2). 8为二面角PDCN修余然值为号 √( 对ma:m=-子 时以：当十子耳A导时：确取得减大位， 解得五-1线1-一是 志载是直线MN与平面PAB所成岭角最大. 课时训练（十一】习题课空间向量 极修验可知，当=一是封二西肩的个国角为桃 在立体几何中的应用 角，不合题意，骨去， L.B取C中点O,连是O, 遂DABC的枝装为2， 所误A=一1，剩PN的为后， 16解：由是意如，AP,AB。 二D在成面ABC内的提形G为△ABC的中a AOLBC. AD有两金直.以A为生标原表 AD,AB,AP所在直民分到为三 以O为坐标原成，以，恋正才向为x轴：y轴 精y物，轴，建是空河直角卖标 作DG的年行线作为精 系，如图所承 可建立加国所示空间直角生 别A[0,0,0》,B(0.2.0),C(2.2.01.Dk1,0,0, 标， P00,2),M0,1,1 (1AM=(0,1,10.PD=1,0,-2).D=(-1: 2,0) 停o,, 灵平面PD的法舟童n=红，J,g), 动-停-1,2 x=2, b一中二所 -一y- y=- 由延意如平面AC的一个法向量m=(0,0,1) 氧生=1，则上一2,3=-1，所以程=(2，一1,1)是平 或N(x4y),BN=Ad(01) 面D的一个法向量， 对为不雨，n=0,背以入M1m r-. -. 又A过平面FCD,臂就AM平面FD (2》由周意万0=人1C=1(1,2,0).0≤1 -25 速楼AN,图为A市■(1,0,0》，斯以A交■D+ D=(1,0,0+1,2,0=1+a2以，0以 年N停.1- 所函-衣-商-(1+1，五.0》-(0,1,1》 《1+0,2-1,-10. -停号- 复平面PB的一个法为量为m=(1,0,0) 臂以a(M.m》=- 1+1 +初+(-)干示 血g-ea,a: 1+A 2。 a-五平秀>0， 流直线MN与平所PAB所成的角为， V+(停-+√w-者+哥 制m-1osN,m1-m一a污 0时，in0-,0os- 25 十A 61+-121+0+10 当0<l时，in0 s一是时(+a, 0<my, m--m爬[}小 略上所速：四：日的最小值为 故选且 2省案0 解析：选接0C,注C点作 CH+直下O的是装线于走 H,以O为垒标原太，走立空间1 直角坐杆系如因所示： 6aw 在三角形OBC中，莉为 04-3,00-3,C-2B. 2×3×25 粥朋-C·m-25×号-号 嘴GHc-肝-√20受-4， 0H-a-0B-} tac-寸，5.o）00,0.0.00.,3.B 3,0.01 是表A(m,期，2》，w:w∈[一1,1口.由0A=1,可得 w2十-1， -(是草，o小-(-30a 爱平而OBC的法向量m-(y, m=0。 【-ar+2经-0. 章y5,期x-2:-3, 故平岳倒C的漆有童m=(25,3). 又-(n,n,2,