课时训练(6)空间点、直线和平面的向量表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

课时训练（六） 空间点 A级》基础巩固练 1.设平面a内两条直线的方向向量分别为a= (1,2,1),b=(一1,1,2)，则下列向量中是平 面α的法向量的是( A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1) C.(1,1,1) D.(1,-1,-1) 2.已知向量a=(2,一3,5)与b=(4,x,y)平行 则x,y的值分别为( ) A.6和一10 B.一6和10 C.一6和-10 D.6和10 3.若AB-λCD+uCE,λ，∈R,则直线AB与 平面CDE的位置关系是() A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 4.已知点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平 面ABC的一个法向量的单位向量是( A.(1,1,1) B. 3√33 33’3 c(信3》 D. 3 5.(多选)如图，在平行六面体ABCD AB1CD1中，点M,P,Q分别为棱AB, CD,BC的中点，若平行六面体的各棱长均 相等，则下列四个结论中正确的是( D A.AM∥DP B.A,M∥B1Q C.AM∥平面DCC1D D.AM∥平面DPQB, 6.已知直线1的一个方向向量为（一7,3,4）， 直线2的一个方向向量为(x,y,8),且1∥ l2,则x= ，y 15 直线和平面的向量表示 7.若A02,),B1,-1,),C(-2,1,8)是平 面a内的三点，设平面a的法向量a=(x,y,之)， 则x:y:之= 8.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1), C(3,7,-5),以O市=(x,-1,3)为方向向量 的直线与平面ABC平行，则x= 9.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平 面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1, OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都 是正三角形.求证：直线BC∥EF. B级》综合提升练 10.在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法 向量，则下列等式不成立的是( ) A.PA·AB=0 B.PA·CD=0 C.PC.BD=0 D.PC.AB=0 11.(多选)已知直线1过点P(1,0,一1)，平行 于向量a=(2,1,1),直线l与点M(1,2,3) 均在平面a上，则下列向量是平面α的法向 量的是( A.(1,-4,2) B.(0,-1,1) c(-41,-2) D.(经，-1,2 12.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在 平面外一点，如果AB=(2,一1，-4)，AD (4,2,0),AP=(一1,2，一1).则下列结论正 确的是() A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.AP是平面ABCD的法向量 D.AP∥BD 13.若平面α的一个法向量为u1=(一3，y,2), 平面3的一个法向量为42=(6，一2,2)，且a ∥B,则y十x= 14.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平 面互相垂直，AB=√2，AF=1,点M在EF 上，且AM∥平面BDE,则点M的坐标 为 15.如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC, AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的 中点，E,F,G分别为PC,PD,CB的中点， 将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面 ABCD.请用向量方法证明AP∥平 面EFG 15 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面 ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD= 90,PA=BC-2AD-1.问：在棱PD上是 否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存 在，求出点E的位置；若不存在，请说明 理由 52-14解：(1知圆所8，建意空间直角全纸系口 像型意得B0,1,0),N1,o,1) ÷,本1=1-0+《0-1)+1-0p8, 蓝程BN的表为. (2)由(1)中建是的火餐得A,(1,0,2).C(0.0。 0》,B(0,1.2) a-1,-12》.g-0,120 ·C第-1×0+（一1D×1+2×2-8 又：1-6，C返|-， 风道-殷器- 效A,名考BC时减角的参独植为恩 (3)证明：南1)中建是的坐排系得G(0,0,2): N1,01.M号2 i=(侵30）.CN=1.0,-n.B的=a -1.,“m.的-号×1+×(-D+ox1-0 C衣，a前-1×1+0×(-1)+-1》x10. ∴C帝⊥.C及1，∴BN⊥GM BN⊥.GN, 又CMnCN-C,CMC年面CMN,CNCE 平面CMN, 六BN⊥平面GMN 课时训练六)空间点、直线和平面的向量表示 L.B平面。的法肉量应态海a,b都垂直，检整如 选且 2B阳与N平行心壹-手号解得x6 3=10 3DA西AD+至，，D3先面， 二蓝汽AB与平面CDE的位里美悬是平行减在骨 面内. 4B设平香AC的法内量为m=y语 0,-1,1D,C=《-1,1.00 解件x=y= 周为单位向量的税为1，所以共有德项B正确 &ACD母为A府-AA+-Ai+是ai, 由已知年E(3,0,0),F(0,0,B), D卢-D+D币-+2市，斯以商D户， -是oco,-是》 中AM/D P,城A正确： 所成-(-要0）-《-，0w. 南规面平行岭利完定理军如，AM∥平面 四为过-2配，卫4住EF,斯以C∥E职 DCCD,AM∥平面DPQB,就C,D正： I0D中题意wPA⊥平面A议D,所级PA与千 周为PQ与DB,平行但不湘等，所以回胜形 面内的重线AB,D每查直，故A.B正塘： DQ服为郴形，即DP与B:Q不平行，从香AM与 四为菱形的时角线互相备直，确以对年线DL甲 B:Q不平行，故B不L晚 而PAC,所以PCLBD,故C正确 (答案：一146 著P℃⊥AB,则AC⊥AB,在菱形中不成立，故 照桥：44舌青-草 lCDP丽=(0,2,0，直线1平行于南量a.设 .x--14,y= 7.答案：2：31（-4) 。是中香。的法向量：则出必须清无。，丽= 把 解折迹-1一一)-(-么--) 代入验证，选潭A、C,D都满足，只有选项B不溪风， 12.ABC AB.AP-0.AD.AP-0. 周为a·A亦-0,0·a心-0， ABAP.AD⊥AP.故A.B正确 天与D不平行， P是平西ACD的微有是，状C正聘。 -2a-一子=0，m-音 d-AD-8-(23,0AP=(-1.2,-D. 励为A产不年行，战D情视 所这正yg号yy(一青-23《- 13答窝：一3 黑答案：一4 解析：金g,∴1 解折：1语=《-2,2，-20，C=《-1.6,-80 =(-3y.2).≠0 可得平面AC的一个清向量a=(2,了.5) 南m…妒-0，得2红一7+15-0.解拜x=一4 解得y-1一一4， 臭证阴：过点F作QLAD,交AD于点Q,连 ∴)十一一 楼QE u普离：停 南平雨AHED⊥平面CFD,平面ABFD门平面 ACFD=AD.FQC年面ACD,待FQ⊥平面AHED. 解析：如图，授AC与D相攻于点O,连接O迟. 目为△0DF,△C0DE是正三角形，所以Q为D片中 点.所以Q10D.双Q为原点，正，，h才向分 剩为士精y物，江物的王方肉，建之空间直角生标意， 如西背本。 两为MA平面BDE,RAMC平面ACEF,年西 ACEF∩平有BDE-CE,所AM/EO 又O是玉才形AD前角武的文，点，IL ACEF是 所以M为线段EF的中A 在实同直角象标系中，E0,0,1,F(2②，1). 得元杰山的丝标为停厚小 5解：这D为原点，以，D心，亦的为向分利为玉 轴y轴：轴的至方向，建立空网直角集标原D红= 则P(0,0,2),C(0.2.00.G1,2,0),E0,1,1) F0,0,1,A(20,0, 晴xAP=(-2,0.2,EF=(0.-1,0).0=(1 1.-1). 经平新EFG的法向量为目=《上，y,堂， e·E3=0, w.E0=0 十y-sm0 ”称=1，影=1，于麦n=1,0,是 平画FG的一个法向量 8为m·-1×(-2十0×0十1×2-0. 背xmL:又过平面EFG 所成AP∥平面EFG 16.解：存在，当E为PD的中点时，CE∥平面 PAB.以A为愿克，AB,AD,AP所在直气分到为r轴 y精、后桶，建之堂间直角坐林系，如图所示， 期P0.0,1),C1,1,00,D0,2.00 Pi-0,2,-10. 设点E的空粉为(0，y,),副 f=0y=-1).Ck=(-1y1, kE在PD上，P5P6 学-写0 D-(0,2,0)是平面PAB的一个法向量 ,CE∥平香PAB.CE⊥Ad. (-1y-1,x)·(0,2,0)-2(y-10-0 点一L代入D得一 0,l,是)适PD的中本， 二在棱PD上存我流E,凡当E为PD中流时 CE年面PA以 课时训练（七》空间中直线，平面的平行 L.D因为金·M=一了+4一1=0，粉以e⊥.斯 1成▣我Cm 工A苦为一号一子，所试又直线6， 不重合，阶议1e平异 3,D选撞A.B.C都能推出Ia或C:不能 璃文一定是。 4.B=(-3.-1,3),0-(2,0,-2) 币-1,1，-10.--8C市.54心不共线 六酒币，且点C不在直我AB上，AB∥D,故 达且 5.B想据题意建土空间直角业标系如图： 月 正方体的枚长为2，则A62,2,2),A1(2,2,0)。 C0,0,2,2,0,20,M2,1,1),N1,1,20: MN=(-1,0,1. 又平面点CC的一个法为量为。■(0,1,0) ,MN·n=-1X0+0×1+1X0=0,M1n 又'MN过平面BBC,CMN∥平西BBCC 6.D对于A,与直线平行的任意心零肉量每是 直线的方南☆量，A不玉：对于B:与平面香直的直线 的方向向量海是平奇的法舟量，病句量方向不生一，则 w-(号0,3) 平雪的羊丝法向量包不唯一，B不正情：时于C,两平面 的法向量平行，即这两平香可以◆直于间一直找，期两 设平面ABD的法向量为n一(2，y,), 平西平什C正确，对于D,若两直我平行，则它打岭方 fn·D网-x十-0， 肉向受平行，与巴知两直线的疗向向量不学行子盾，即 n·形-r十y-0 两直线平行是替的，两直线不单行，D正纯 取-1，剩y-1=-1,所年面ABD的 3.A超对千A,易加a=一，将以4：A玉 个法向量为和一1,1，一1). 哺：对于B,8==法，所以，B三精：时于C,D,由 函m-(侵0，）+4，-1，-1D-0,所a 于口每不是线，所以不能判新4，CD不正确. 衣L总， 米答案：一3 又MN过平面A,D,所以MN∥平面ABD, 解析：I∥平香ABC存在实教J,使a= 1L证明：这请正方体的校长为1，以D为厚成建生 :A应+yAC 加周所示的空间直角坐标泰，则 x-10,-10.0-0,1,-1》 (2.m,10-x(1,0,-1)十y(0,1,-1D=(z,3 2-x 士—y),my。w=一3 答案：5 A(1,0.o),(1,1,1D,(0,0,1).B(1,1,0),D 解析：设平南AC的米向量为n(u,,),则 (0,0,00.C0.1,1D m+源=0， a十k-2-0,① 于是=0,1,1，D官=(1t0.D萌=1.1： m+BC-0,十+2-0，② 0.=(0.1.10 0十@得，2十动-0， 设平面ABD的清南量为一(·，)， ◆-8则-36-子m-(小，-4，-》 影m·矿-+-0， DE∥平面ABC.六E,m=0,∴3x十（一3》X m·8-n十当-0 《-20+6x(是)-0.r=5, ◆判一1，则=一1，a--1,得=(=11， -10. 1n定形：知圈，以D考悉点，04.DC,DD箭在直 设平面BDC的法南量为：一(，功，面)， 线分用力士轴，3格、：禁建立空间直角坐格意， D 则·劢-+为- m·-外十-位 个为-1，则一一1，一一1，T得=(1， =1). 所以期一用，所以用∥，故平面ABD∥平 侵被玉方体的校长为1， 而BDC 期D0,0.01,A1,01D.0.l,0).M0.1} 2B利为PA⊥平雨ABCD,AB,ADC平雨 AD骑以PALAB.PAAD. 又焦面AD是正才形.前以A日⊥AD,刚PA, 于是D所-(1,0,1，D形-《1,1.0， A出，AD两两垂直， 以满A为坐标原点丽D.的方向分利为 火：物的玉才肉连立空同直角坐标幕。 则01,1，，C2,2,0),0,1,2),F(1,0,20, 所Ef-(1,-1,0),BC-《81,-2. 录平香(EF的米舟量为m=(Jy: 球·牌x一y=0 D,m-z+y红-6 ◆x-2,得m-《2.2,3》, 设G0,0a》,=《-1.一1u,周为 OG8平面CEF,所心·m一0， 即-1×2-1×计知-0.解得- 故速品 3C或A为坐韩厚点，A市，D,币正方☆为x y:他，可建立如图所空同直角坐林系， tAD=ae>0),副A(0,0,0》,P(0,0,a),C(a, ,0,0号，号）F登0，受) 所x-(告，一受0）-0,0，，元-(a ,-,-(a,受-月 设平香F℃的法向量一，y,):