课时训练(5)空间向量运算的坐标表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

课时训练（五） 空间 A级基础巩固练 1.已知a=(-5,6,1),b=(6,5,0),则a与 b() A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 2.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,一2)，若 (a十b)·(a十b)=2,则k的值等于( A.1 B c号 D司 3.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3, 则向量a与b的夹角为( A B c.$ D.s 4.已知空间三点A(1,0,3),B(-1,1,4),C(2, -1,3),若AP∥BC,且A泸|=√14，则点P 的坐标为( ) A.(4,-2,2) B.(-2,2,4) C.(4,-2,2)或(-2,2,4) D.(-4,2,-2)或(2，-2,4) 5.已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底， {a十b,a一b,c}是空间的另一个基底.若向量 p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3)，则在 基底{a+b,a一b,c}下的坐标为() A.(4,0,3) B.(1,2,3) C.(3,1,3) D.(2,1,3) 6.(多选)已知向量a=(4,一2，一4)，b=(6, 一3,2)，则下列结论不正确的有() A.a十b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.al=6 7.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R, 若如一b与b垂直，则k= 8.若a=(x,2,2),b=(2,一3,5)的夹角为钝 -1 向量运算的坐标表示 角，则实数x的取值范围是 9.已知a=(2,-3,0),b=(k,0,3),(a,b〉= 120°，则k= 10.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1), c=(3,-2,),且a∥b,b⊥c. (1)求向量a,b,c; (2)求向量a十c与向量b十c所成角的余 弦值. 9 B级)综合提升练 11.(多选)在如图所示的几何体ABCDE中， DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=AB= DA=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点，则 下述结论正确的有( D A.DM⊥EB B.BD⊥EC C.DE⊥BM D.EA⊥CD 12.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0), OA+λO序与O范的夹角为120°，则λ的值 为 13.已知空间四点A(2,0,0),B(0,2,1),C(1, 1,1),D(-1,m,n). (1)若AB∥CD,求实数m,n的值； (2)若m十n=1,且直线AB和CD所成角 的余弦值为，求实数m的值. 15 14.如图，在直三棱柱ABCA1BC中，CA= CB=1,∠BCA=90°.棱AA1=2,M,N分 别为A1B1,AA1的中点 (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值： (3)求证：BN⊥平面CMN. 50-C的续标为03， 2.A最找授AB的中坐标为(zy,e), 所以1与2-1y-一2-1 g 2,板窥段AB的中A坐特是（一1，一，2） 3.D国为点（工，，上）兵于原点的对格点生帮为 (一，一y,一》，阶以先A(一30，一4)关于原点的对 称点B的全特是(3,0,4) 4.C空相中的两个点(1,2,3》和4一1,2,3)，y2 轴上的两个皇标相同，x精上的来标相及，故此两成美 于仍平而时物， 5.B由于看足在平所Oz上，所以城坐标，是堂 标不变，镜堡将为Q 6.答案：1.2,0》 解析：在空国直角坐林系中，点 A(1,2.3).达左A(1.2,3》作平面 Qy的垂线AQ,量足Q即为射影，则 是Q的堂标为(1,2,0). 7答秦(-1-- 解析：岁为C府-CC,A+窗 =-配-+号币 --国--6+西 ---号D- -t动-4 所aC-(-1,-号，-1月 8,D根据题意知，高品的坐枪为(4,5,3)，选项 A正确：B的堂林为(4,5,0)，C的坐释为0,5,3》，故在 G美于减B对称的减为(B,5,一3).远项B惜误：在装方 体中A山=K=√AD+AM■5=B,片议言边到 ACD为正方形，AC与D是直且平分，即表A美于 皇线D对称的，点为G(0,5,3》,选项C正确：克C天于 平面ABA时林的人为8,5,0的，遗项D正确， 苦案（学音】 解折：南题意知A(w,0.0),B(0,h,0).C(0.0,c) 由童心坐标公式得点G的业标为（骨，宁， 10.答案：{3.-1.6)√46 (如+)·(e十h)=2,裤0a十bP十(+1知 解析：国为南量p在基底a十b,a一h,2}下的坐种 =2,中2张十肤=2，解件=三，故远卫 为(1,2,8D 3.D因为自+D=士十2=3.所以x=1,所以b= 阶风p=《a+b)+24a-b)+32}=34-b+e, 群以肉量P在基成a,b,1下的纶样是(3，一1) 义国为a,b,©}是空间★量的单位玉交基点， 满xa=b=c=l, 国为(@，制E[0],所以日身的免角为至，城选D 且e“b-b·c-e=e-0 4.C设P(x+3,),则=(x一1,3y,g-3), 将p=官=√C3a一+6e 武=(3，-一1，对为泸W武，所以A币=1武 -v√0x十b+e-6a·-12b·e+3e"e 一1=， =丑+ -干十3孤=依 (3就.一2a.一A).即y=-然，解环y=-. 11.答率：(3，-2,2) 解折：a十h=3i一21十2张=(3，一2.2)， 所以P(寂十1，-一2额，一1十3》.又周为一 1以解：如图，垃点D作DELC,金菱为广 TT,所议√（迈）十一么)干一=.解得 1或1=-1，阶议P(4,一2,20发P-2,2,41.t选C 5.C是向量下在基感（日十b,日一，}下的坐林为 (zyx).时p=e十2k+3ee十b)+(a一b)十士 是理得4g+2b+x-(x十y)日+(1一y》b十厦，所2 在△BD中，∠BDC-93,∠DBm30'. x十y=4,.x=3, H=2,待BD=1.C=√5 x一y一2，解挥)一l,所以向量P在基藏{知十一 -3, 背以DE-CDin0-停， e下的生禁是(8,1,3).执丝C 0E-0B-服-00-Dm6o-1-青- 6.0Ca+s=(10,-5,-2),a-b=(-2,1 -6)0·b一22.e-6,所以A.B.C植误 所以AD纳2桥分0，一》 7.答案：7 13解：自为心-心--0可+b) 解析：到为（如一）Ih,群以（细一·b=0,所以 m·&一春P=0.所以k4一1×1+0×2+1×3》一 --「+2+ （+2+召P=0,解得-7 --成-是成-动 8.答案：《一∞。一2) 解桥14·b=2z一2×3+2×5=2：+4.设0，b的 =一效-j-林 所0-(-2，-1，-40 矣年为0.国为自务桃房：导这@s0一启治<血天国 圈动百语-0=府-+) 为0,1h0,所·b<0.中2x十4<0.两以 语-0d-0对=一+2好- <一之又因为但，春不会或构，所以实整x时梨值范医 所x五B-一4,2。-4) 误时训练（五）空间向量运算的坐标表示 9.答案：=35 1.A月为a=(-5,8,1),hm(6.5,0),两以a· 解析：为8·b一2论，a一13，一公+g, 一5×6十4×5十1×0=0所以aLk放速A 2 所x60320= 1D由巴加好a一2，b=22,且s·=0 丽X污所以一一氟 10解：0调为a∥，将以与-号占 解得-2，y=一4， 此时a=2,4,1),b=(-2,-4,-1》 义南h1c,挥bc=0, 故(-2，-4.-1》4(3，-2，x)=-G+8-=0,得 xm2.北时c■(3，-2,2). 2)南1D得a十0-(5,2,3).b十c-1,一6,10.所 以向量显+c与向量b十e斯或角9的金孩值为e3a日 L.AD区A为皇标景衣建立如图所币的堂间走 角堂标系，开没EA=DA=AB=CB=2,别A(0,0, 0m,E(2,0,01,B(0,2,0,C(0,2,1.D0.0,2 M1,1,)扇-(（11，-)-《-，2,0 =《-2,,10.d-《0,-22.D2-〔20，-2) 丽-L,-1,5)i-(-2,00》,b-0-21D L有D丽·EB▣O,人·币=0，从而样DN⊥FB, EA⊥CD.城选An 2答案：-9 解析：图为=(1,0,0).府-(0，-1,1)，所以 +a通=(1，一Aa),斯x(+第)·=A+ a-2,1话+a0i1-+-a+-+2x, G克=及.所双e0wt20'= 2 一又用4.外安用以停 13.解11-(-221--2w-1w1 2件m- 由BNCD样。一1-l, -2 (2)设直直AB和CD片成的年为0，到有e9曰 B.COL 十m十 xm示寸 又为m十划一1，所以知一3士2√夏. 14解：(1知圆所8，建意空间直角全纸系口 像型意得B0,1,0),N1,o,1) ÷,本1=1-0+《0-1)+1-0p8, 蓝程BN的表为. (2)由(1)中建是的火餐得A,(1,0,2).C(0.0。 0》,B(0,1.2) a-1,-12》.g-0,120 ·C第-1×0+（一1D×1+2×2-8 又：1-6，C返|-， 风道-殷器- 效A,名考BC时减角的参独植为恩 (3)证明：南1)中建是的坐排系得G(0,0,2): N1,01.M号2 i=(侵30）.CN=1.0,-n.B的=a -1.,“m.的-号×1+×(-D+ox1-0 C衣，a前-1×1+0×(-1)+-1》x10. ∴C帝⊥.C及1，∴BN⊥GM BN⊥.GN, 又CMnCN-C,CMC年面CMN,CNCE 平面CMN, 六BN⊥平面GMN 课时训练六)空间点、直线和平面的向量表示 L.B平面。的法肉量应态海a,b都垂直，检整如 选且 2B阳与N平行心壹-手号解得x6 3=10 3DA西AD+至，，D3先面， 二蓝汽AB与平面CDE的位里美悬是平行减在骨 面内. 4B设平香AC的法内量为m=y语 0,-1,1D,C=《-1,1.00 解件x=y= 周为单位向量的税为1，所以共有德项B正确 &ACD母为A府-AA+-Ai+是ai, 由已知年E(3,0,0),F(0,0,B), D卢-D+D币-+2市，斯以商D户， -是oco,-是》 中AM/D P,城A正确： 所成-(-要0）-《-，0w. 南规面平行岭利完定理军如，AM∥平面 四为过-2配，卫4住EF,斯以C∥E职 DCCD,AM∥平面DPQB,就C,D正： I0D中题意wPA⊥平面A议D,所级PA与千 周为PQ与DB,平行但不湘等，所以回胜形 面内的重线AB,D每查直，故A.B正塘： DQ服为郴形，即DP与B:Q不平行，从香AM与 四为菱形的时角线互相备直，确以对年线DL甲 B:Q不平行，故B不L晚 而PAC,所以PCLBD,故C正确 (答案：一146 著P℃⊥AB,则AC⊥AB,在菱形中不成立，故 照桥：44舌青-草 lCDP丽=(0,2,0，直线1平行于南量a.设 .x--14,y= 7.答案：2：31（-4) 。是中香。的法向量：则出必须清无。，丽= 把 解折迹-1一一)-(-么--) 代入验证，选潭A、C,D都满足，只有选项B不溪风， 12.ABC AB.AP-0.AD.AP-0. 周为a·A亦-0,0·a心-0， ABAP.AD⊥AP.故A.B正确 天与D不平行， P是平西ACD的微有是，状C正聘。 -2a-一子=0，m-音 d-AD-8-(23,0AP=(-1.2,-D. 励为A产不年行，战D情视 所这正yg号yy(一青-23《- 13答窝：一3 黑答案：一4 解析：金g,∴1 解折：1语=《-2,2，-20，C=《-1.6,-80 =(-3y.2).≠0 可得平面AC的一个清向量a=(2,了.5) 南m…妒-0，得2红一7+15-0.解拜x=一4 解得y-1一一4， 臭证阴：过点F作QLAD,交AD于点Q,连 ∴)十一一 楼QE u普离：停 南平雨AHED⊥平面CFD,平面ABFD门平面 ACFD=AD.FQC年面ACD,待FQ⊥平面AHED. 解析：如图，授AC与D相攻于点O,连接O迟. 目为△0DF,△C0DE是正三角形，所以Q为D片中 点.所以Q10D.双Q为原点，正，，h才向分 剩为士精y物，江物的王方肉，建之空间直角生标意， 如西背本。 两为MA平面BDE,RAMC平面ACEF,年西 ACEF∩平有BDE-CE,所AM/EO 又O是玉才形AD前角武的文，点，IL ACEF是 所以M为线段EF的中A 在实同直角象标系中，E0,0,1,F(2②，1). 得元杰山的丝标为停厚小 5解：这D为原点，以，D心，亦的为向分利为玉 轴y轴：轴的至方向，建立空网直角集标原D红= 则P(0,0,2),C(0.2.00.G1,2,0),E0,1,1) F0,0,1,A(20,0, 晴xAP=(-2,0.2,EF=(0.-1,0).0=(1 1.-1). 经平新EFG的法向量为目=《上，y,堂， e·E3=0, w.E0=0 十y-sm0 ”称=1，影=1，于麦n=1,0,是 平画FG的一个法向量 8为m·-1×(-2十0×0十1×2-0. 背xmL:又过平面EFG 所成AP∥平面EFG 16.解：存在，当E为PD的中点时，CE∥平面 PAB.以A为愿克，AB,AD,AP所在直气分到为r轴 y精、后桶，建之堂间直角坐林系，如图所示， 期P0.0,1),C1,1,00,D0,2.00 Pi-0,2,-10.