课时训练(2)空间向量的数量积运算-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

课时训练（二） 空心 A级)基础巩固练 1.在三棱锥ABCD中，AB= AC=AD=2,∠BAD=90°， ∠BAC=60°，则AB·CD等 B 于( A.-2 B.2 C.-23 D.23 2.已知空间向量a,b,c满足a十b十c=0,a= 2,|b=3,|c=4,则a与b的夹角为( ) A.309 B.45° C.60° D.以上都不对 3.四棱柱ABCD-A1B1CD1的底面ABCD是 边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠CCB= ∠CCD=∠BCD=60°，则线段AC的长度 是( A.√6 B34 C.3 D.√11 2 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1, ∠ACD=135°，将△ABC沿对角线AC折起， 使AB⊥CD,则点B,D间的距离为( A.2 B.√2 C.√2-1 D.√2+1 5.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平 面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下 列各组向量中，数量积一定为零的有( A.PC与Bd B.DA与Pi C.PD与AB D.PA与C市 6.已知空间向量a,b,a=3√2，|b|=5,m= a十b,n=a十b,〈a,b》=135°，若m⊥n,则入 的值为 1 司向量的数量积运算 7.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA=CB=1, A ∠BCA=90°，AA=2,则 cos(BAI,CB>= 8.如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB=4,AD=3,AA1=5, ∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则 体对角线AC的长度等于 D 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 菱形，侧棱PA⊥底面ABCD,证明： PC⊥BD. 3 B级)综合提升练 10.已知正三棱锥PABC的底面ABC的边长 为2，M是空间中任意一点，则MA·(MB+ MC)的最小值为( A名 B.-1 2 11.（多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M 是线段AC上的动点，则下列结论正确的 有() A异面直线AM,BD所成的角为 B.异面直线CM,AB所成的角可为 C.异面直线CM,BD所成的角为 D.异面直线CM,BB所成的角可为受 12.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD 的上底面A1BCD1的中心为O,则AO· AC的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 13.如图，在正四面体ABCD中，E是BC的中 点，那么() A.AE.BC<AE.CD B.AE.BC=AE.CD C.AE.BCAE.CD D.A它.BC与A立.CD不能比较大小 14.设向量a,b,c满足a十b十c=0,(a一b)⊥c, aLb,若a=1,则a2+lb2+c2= 15.在长方体ABCD-A1B1C1D中，AB=AD= 1,AA,=2,点P为底面ABCD上一点，则 PA·PC的最小值为 16.如图，在正四面体ABCD中，M,N分别为 棱BC,AB的中点，设A克=a,AC=b, AD=c. (1)用a,b,c分别表示向量DM,C: (2)求异面直线DM与CN所成角的余 弦值 4课时训练（二）空可向量的数量积运算 LA为CD-市-C,所以B·D-B· C--.心-正，配-0-2×2Xas60 2.D由a十b+e-0,得a十b-一c, 两动平方，得。+a+十m2, 因为s=2,=3,e=4, 所这4十2×2×30sg,b》十9-16， 将年aa6一子，收连n 3D如图.AC-A+心+ 心---6-B. 所L心-对++重+ 2面i市时+zm时+ 2Cd3cm切-4+1+1+2×2×1×3+2×2× 1×号+2×1×3×号=11 所以C=√T. 4D由通图如，0-C+C0-4点， 向量C车向量5的是角为45，向量记与向量 入原的夫角为135， B一心+CD-AB时-A心+C心+A+ 2心，市-2记，-2b,店-"+++ 2×1×1×mm45-2×1×1×mm135-0=3+22= w2+1, 所以0厚+1。 5.D国为PAL平面ABD, 里DC平面AD,所双PA⊥ CD,状P以.Cb-,国为AD⊥AB, PA⊥AD,且PA门AB-A,所以 ADL千面PAR图为PBE平面PAB,所以AD⊥PR 对.B-0.周理，P心，B-0,A.C心-Q图为 PAL平雨ABCD,BDC平南ACD,所站PALBD. C80-PA+AC).B6-PA.80+AC. B-C·市，习为四虚形ABCD为矩形，所以D不 一文与AC春直.斯以记与心的数量城不一定为0.故 选D,棒像A 6搭案：一清 解折：由题意，物a·=4bam{e:b)=3,2× 2M+H)·(M-H)=2M-H)= 5×(-)-16 (w亦4》. ”m上n,e十b),(a十h)=0 者M与H重合时，府取最小佳a ,m·n=0,中g+b5+(1+1)a·6一0， 此时，+有最小值一是 中18+21+(1+》X3√2×5×m13对”s0, I1ABC2正方蛛的枚长为1.且C-CA0G 解得一 , 省案哥 则A前.心一A+A)·市-A·心 (1一1)，可·0=0，所以A正情： 解折：·官一《威+)·（事+高） 威，A+贰，+成，C+H,减 国*CM·A-对+C·Ai-·恋 BB⊥BA,BB,⊥BC,B话·BE-0,· AC不·=-， 0, 所以0：动-器幕-高所 发BA.CB-BA1IB·os(183-∠ABC 2×1×0s1a5=-1.☒g,瓜-4， 以来后直浅A将成商的金孩值分产运 .·Cg=-1+0+0+4=3,又1B· C-福×5-知， 又十深01》有桥，所以B延精 因南，d=+C,0-+b+ AC不，D=0,稀以C正： 家答案：福 因为山，BCC,所风口M与，B所成的角等于 解析：1下一（砧+花+炉一迹：+ AD+%+2南，A+2南.A+2AD, M与CC所成的年，易得罐角小于登，所网D不 A国-16+9+25+2×4X3X00%90°+2×4×5X 正州 ma60+2X3X5X6m60=50+29+15=85.副 2-+可-试+C -. 多证明：风-+心-市的-市-随 ·0-+号00-·C P0·BD-AB+AD-AP)·AD-一AB)= A峦+，·市-面-，心-A)-心 专C=1藏选 AB-AP.AO+AP.AB 证.配-是迹+的·- “表面ACD为灵形， AD-AB..A -号-)-0 时故PAL底面AD PA⊥AB,PA⊥AD, 论.CD-0B+C·(d- ,D-泸·一0 P吧，BD-y-AB-AP.AD+AP.AB =号语0-2清，+号，0-2 0,,P℃LBD =1d(am60-1)<0 1mA设BC的中点为O,连是0，设D岭中 ,2,心正，0 成为H,国HA-支2--号 14答案：4 A·i+心-MA·2m 解析：法一南日十h十0-。，得c一一日一h. =2(Wi+),(Mi+= 又(a-》·c0,斯以(a-b》·{-a-一》=0， 岸e■b.时e=(a十b)=e++a·b=a+ -2,所以a十b十c=4. 法二女图，林函-动- a,风=b,利Ci=6 国为a, 所保AB上C, 又羽为a-b-砧-武-Cb,(a-)L 所以CD上CA,时以△AC是等映直角三角到. 黑为a=1. 阶ab1=1.le径， xe十制+F中■4 15,答案：一立 解析：在长方徐ABCDA,B,CD中，AB-AD= 1,AA-2,点P为盛面ABCD上一点， 则时·-i·(风+)-i.心 i元ow(PA,心-IPA心 -(生-- 台Pi风反南时，直财一心一号时取￥号， 所螺高，元的载小值功一是 16解：1=(D+风 -B-+C-] -ac+-明 -是+名-(&丽-丽-劝-随+ -还-e+b)-e=+- CN-AN-0-2-a论-3- (2)最玉甲面体ABCD竹椎长为1， wlal-i-lei-l. 是a:的=德，e)=ca-哥 影1m=C1-学 又0：C-(a+020·(a-2)- -青所4mDm.Ca-器 D.CS × 所以弄岳直找DM与CN所藏角的金缤位为 溪时训练（三】空间向量基本定理 L.A对于B,一(a-b)=(h-r)+《一a),就B箱 吴：对于C,a十+e-(a十b)十c,放C错接：对千D, 3a一b+e=2(a一b+e)十(a+b-c),故D格. 2.B南题意得成一论+CD+D可-AD +式-一+村 3c证-号(+》-是++ +-+被+.所a一全 4C-++AF,-F1 1,G1-2A.Af-0,f·AF-0.,A5=1 :,EP-E-《EA+AA+Ay-E对P4 不+AF+2i,+m·F+E. A=1+4+1-1=5, 网此F一5，年EF岭关为5 3.答系：01b 解桥：0·b=-6+8一2=一6+8一2=0 .eLb. 6.若案：号 解析：如测，连接AD,AG,CD.时三在A,C 上，F在CD上 为加EFL号A:D 所红E球-不D. 弹-号A- 所以一宝 1.答案：0 解析：检长为2 -g-扇-武+号， 可，-孤-威·+感)-0 因为G是MN的中点， 2+2-0m0, 斯以-2+ L,平A⊥M +是0+恋+是 &1)证耶：灵C-a.CB-h,0-c,则{e,b,e 内成空网的一个基成 -B++沁 银据恩意，a=b时=e,La:b=,cce=0 振括题意知心-工A在+y风+-心， -叶2im-t+号b-, 所以x十十一是 L.ABD-aFi=b,死-c,别a,b,e是 d,0=-22+=0. 空间的一个总限，9：b一g"c一b·c-0,聚AB的中A C21D.CE⊥A'D. H,选P取图)，影T尼-号Pm-号×登a+) (2解：和--十，C述-b十0 寸+.PE-PB+}风-pB-+景.成 C1-e1.Ct=号a, 风--+号00=-0 .-(-ate…+小-3c-e国 0-心-i-一， co 记-尾-形-}+}。吉青 2×号a 球-小-E-b(合+ 此C医身AC得减角的参独植为语 ■-}e- 所以它，元-0，A正确：武，风-0，日玉， C设正方表ABCD的近长为1，则AP=AD F心aCaE),C不正确：，EF=0,D正 AB-1.B-s.0-,=e 2著离：如一号+ 旺=武+动+D成=一号e++号a,d 市-亦-女一a 解析：E一号(ED+)-(动+Cb)+ 球D-(一++·--是 +-号+动+市+恋+ 叶e…+-叶这a女和- 4市+Di-号风i+i-s-叶 E-(-++可-动-度. 且答案：2可+不属+的 解桥：國为2C一2+2市+2A百- A+AD)+A风+)+《D+面)=A可+ 所60s(小，b- 屏+4C 1C婆接AM,AN如用， 所以-矿+武+花】 14,解：1-+X成+a行=+ 号aC-3e-0++号w=++ (2)ra十b+e=ad+6+e+2知+b+2he 2a*e=1+1+1+0+2×1×1×号+2×1×1×7-i, a+b+e-瓜网-a+b+e-g 中wN-停 15,(1)证明：6-}(a十b+c,0-0-以- }b+c-5e). 0-0-呢-青a+e-5).00-0-尾 是e+b-5. 周为0.0-h十e-5o)·a十e一56 6a8e·B-91a门-站i8X1X1Xoms0-到=0， 所x动1. 中AOLB0 现.0L.议0L 所这A0,O.CD两将金克 2)棉：m-成4扇=-号a++e)+是 者--2+e.利商信-s一+e可- 所x(D流0- 数DM和0所点商的大小为 课时调练（四）空网直角坐标系 1.A:属的皇标为〔4,3,2)，D为建标原点， B时坐棘为(4,8.2)，.C=4,DC=3,℃=2，