2.5.2 圆与圆的位置关系-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第二章直线和圆的方程 A.11 B号 方程是 4.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2= C.13 p. 7 4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短 3.从原点O引圆C:(x-m)2+(y-2)2=m+ 路程是 1的切线y=kx,当m变化时切点P的轨迹 2.5.2 圆与圆的位置关系 学业目标 定位 课标要求 学习目标 通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会 1.掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法. 求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公 2.会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题. 共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相 关的综合问题. 必备知识 梳理 答案见P291 国情境探究 位置 外离 外切 相交 内切 内含 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下 关系 图示 乎 d与r1, n-r|< r2的 ds 关系 (2)代数法：圆O:x2十y2+Dx十Ey十F1=0 (D+-4F>0),圆O2:x2+y2+D2x+Ey十 探究：圆与圆之间有哪些位置关系？ F2=0(D号十路一4F2>0),两圆的方程联立得方 程组，则有 方程组 2组 1组 0组 解的情况 两圆的 国知识梳理 2个 1个 0个 公共点 圆与圆的位置关系的判定方法 两圆的 或 学 (1)几何法：圆O:(x-x)2+(y-y)2=(m> 位置关系 0),圆O2:(x一2)2十(y-为)2=(n2>0),两圆的 圆心距d=|OO2|=√（石一x)十(M-)产， 则有 97。 数学选择性必修第一册人教A版 圈科学思维 3.已知圆C:(x一3)2+(y一4)2=1，若以原点 一、思考判断 O为圆心，以m(m>0)为半径的圆O与圆C 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 有公共点，则m的最大值为( (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一 A.7 B.6 C.5 D.4 组实数解，则两圆外切.() 4.已知圆C1:x2+y2-6.x+4y+12=0,圆C2: (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和， x2+y2-14x-2y+34=0,两圆公切线的条 则两圆相交.() 数为( (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二 A.1 B.2 C.3 D.4 元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方 二、思维探究 程.() 根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知 (4)若两圆有公共点，则|r1一r2≤d≤1十 两圆只有一个公共点，能否准确得出两圆的位 r2.() 置关系？ 2.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依 次为1和2，则这样的直线有( A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 关键能力 探究 答案见P2921 探究一 圆与圆的位置关系 (3)外离：(4)内含。 写知识深化 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径 之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出 两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用 的方法。 (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解 方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位 置关系。 ⊙典例精析 【典例1】已知圆C1:x2十y2-2ax-2y十a2- [针对训练1]已知圆C1:x2十y2一2x十4y十 15=0,圆C2:x2+y2-4a.x-2y十4a2=0(a> 4=0和圆C2:4x2+4y2-16.x十8y十19=0，则 0).试求a为何值时，两圆C,C2的位置关 这两个圆的公切线的条数为( 系为： A.1或3 B.4 (1)相切：(2)相交： C.0 D.2 ..98 。第二章直线和圆的方程 探究三 两圆相交问题 名师点拨 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将 自知识深化 两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方 1.两圆相交时公共弦的方程 程，但必须注意只有当两圈方程中二次项系 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 数相同时，才能如此求解，否则应先调整 圆C2:x2+y2+D2x+E2y十F2=0,② 系数 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程 在直线方程由①一②所得，即 求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0. 求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半 2.圆系方程 径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角 过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F=0和圆 形求解 C2:x2+y2+D2x十E2y十F2=0交点的圆系 3.已知圆C1:x2十y2十D1x十Ey十F=0与 方程为入(x2+y2+Dx+E1y+F1)十 圆C:x2十y2十Dx十E2y十F2=0相交，则 (x2十y2十D2x十Ey十F2)=0(A,以不同时 过两圆交点的圆的方程可设为x2十y2十 为零). D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y十 当入=0时，方程表示圆C2;当μ=0时，方程 F:)=0(λ≠-1). 表示圆C [针对训练2]已知圆C:(x-1)2+(y十1)2= ⊙典例精析 4,C2:(x-m)2+y2=m2(m>0)。 【典例2】已知圆C:x2十y2+6x一4=0和圆 (1)若两圆相交，求实数m的取值范围， C2:x2+y2+6y-28=0. (2)是否存在实数m,使得两圆公共弦的长度为 (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 2?若存在，求出实数m的值；若不存在，请说 (2)求经过两圆交点且圆心在直线x一y 明理由。 4=0上的圆的方程. 99 数学选择性必修第一册人教A版 探究三i 两圆相切问题 (2)m取何值时两圆内切？ 自知识深化 两圆不同的位置关系与对应公切线的条数 (1)两圆外离时，有4条公切线； (2)两圆外切时，有3条公切线； 名师点拔 (3)两圆相交时，有2条公切线； 两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和， (4)两圆内切时，有1条公切线： 内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值，在 (5)两圆内含时，没有公切线。 题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情 典例精析 况进行讨论.解决两圆相切问题，常用几何法. 【典例3】已知两圆x2+y2一2x一6y一1=0， [针对训练3]与圆O:x2+y2=25外切于点P x2+y2-10x-12y+m=0. (4,3),且半径为1的圆的方程是 (1)m取何值时两圆外切？ 随堂演练·达标 答案见P2931 1.已知两圆x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+ 6.求半径为4，与圆(x一2)2+(y一1)2=9相 9=0,那么这两个圆的位置关系是( 切，且和直线y=0相切的圆的方程. A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 2.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,圆C2: (x十2)2十(y十2)2=9，则两圆的公切线条数 是 3.设两圆C1:x2+y2-1=0与圆C2:x2+y2 2x十4y=0的公共弦所在的直线方程为 4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a> 0)的公共弦长为2√3，则a= 5.已知点P在圆O:x2十y2=1上运动，点Q在 圆C:(x-3)2+y2=1上运动，则|PQ|的最 小值为 100[针对到练2习解：们)设十y■平.副x十y一年=0， 布直线和到相如时，面心《2，一3》到直线竹克再 d-l2-3=-1, 得引十H川=v,解得夏=死一1或=一2一1，执 十y的最大值为2-1 (2)设=兰，则直找方程为红一y-0(红0)，卷 走战和周相初时，国心C(2,一3)到直线的暴客d= 达+3=1 √T+和 群3+1新十8m0, 件=二25五二6时2恒】 数兰的最大值势二十2组 3 (3)√++2x4y+5-Wx+1》+y-2y 副根式的几何意义为国上，成到定点风一1：2)的原高 则CD1=,-1-2)+(2+a下=3， 则、VF+y+2-+5的最小值为V3耳-1 保究三过直线与圆的交点的圆系方颗 [奥例精析] [典例3]解：过周于+y十2红一4y十1=0与直 线2十y十4=0的文减的国系为程为十了十2x 4y+1+A2x+y+4)=0,整厘得2+y7+2(1+A)z (4-1)y+1+=0. 要使图的而和最小，凡需平径长厂最小 :=分4++4一0-41+) -5a-+W厚-y 一备一号时，半径长r最小，此时围的方程为2十 +曾-号+晋-o,中(+到+(-普广- [针对别练3]答案：江+y+4y一6=0 解轿1议求面的才程为x+y一2：+Ax十2y 3》=0,聊2+y+1-2》x千2然y-3=0,核期意 二2-0，所以A-2做到的方程为子++4y 6=0 【随堂演体·达标】 (妇识城理] 1.C由随意得直线竹斜单存在，读过点P《2,2) 1)dn十nd-n十nn+nd=n-n 的克线的料率为k,则直城方根为y一2一(x一)，即 dcin-nl 红广y十g-25-0.由于和国相糊.我中2-25， ()相交外切内切外离内含 中L [科学易维] 将一壹肉于直线一十2一张=0为直线u一 一，L.著案：1)×2)×(3》×(4/ y叶1=0复，离光-支a=一1帆开=2 2D分利以A,B为国e,1,2为半是传面，应 AB1=3 1B田，面C:红一1)+y一1的园心坐黎为 六道A,国B外切，如下图背帝 0.0,本插为1，龙A.B的直我方程为当一 -3x十4y+15-Q BA|=√/-+1D+3=5, 面C(x一1D2十了2-1上的友P到直线AB题离 的夫位为5+1-等 所水真线是两国的公切我，去3意(2条外公切 干平 线，1条内公初成).故法D ∴△PAB海和的最大值远号×5X号-号 3.B真C的国心为C(3,4),丰径n=1,黄0的 露分为00,0)：半径力=国 得黄的喝分景为d=,十平=5 国为国口与国C有会共点，两xn一n|6d6 解得4 【一46m6, 两香，胸以丽的最大值冷民酰选B &答案：+y-8 4C圈C(r一3)时+(y十)-1.图0(3 解析：根赫观意®出希意渊，周心C(m,2,丰径 -2),平强n=1, =√m+,径初点P的坐标为上，y),由初线的生嘴 国C:(x-7)3十y一1)泸-16，圆贴C7,10.来提 可知OP=IOC-IPC,四为1OP-x+y 内=4， (■十4，■=m+1,所以高P的轨域 国4范d-3+21-3,d-6+, 方推为x十2-3. 所以两国相外如，公切我条数是3最.效选C 二，提示：不能，已知两阅只有一个公共点只能得出 两隔内初发外切 【关键能力·探究】 探究一圆与图的位置关系 4答案：8 (典例精析】 解析：易加，成A美于工枪对称点A'(一1，一1，A [员例1】解：胃C,C的方程，极聪方后军挥C: 与圆25，)的克需为√5+1干7干-10，就简 z-w)+(y-102-10,CG.一2a+y-1-1. 京羲轴路程为10一2■R 置2Ga.l0,C(2a,1D,平径n-4,n-L 2.5.2夏与圆的位置关系 1GC1-wa-2a+-1F-2 【必备知识·梳理】 (1)盗CG一n十车一5，年a一5时，两面外如： [情境探究】 当CG1一n一有一8，年a一8时，焉圆内初 家究：相交，相切（外切，内切），相离（外离，内含）， 2)为3<CC<5,即3<a<3时，腾属湘交 (3)每CC>5,中>5时，两国外离. 〔4》皆CC|<3,中<3时，南国内金。 [针对填缩】D对两个属的方程起方拜调G: (x—1+(y+2)=1及国G:(x-2+《y+1》= ,则国心是d-1CG-个-原，1-专<< 1十量，拔两个国相变，时这两个国的公村线有2条 探究二两图相交问避 [典例精折] [典例2]解：(1D爱两圆交点为A(n,h),B( 为，副A.B两成坐标是考程组 e++r一40，① 的解 2+y+8y-28=00 ①一四，得上y中4=且 廿AB两先坐桥都清足处方程 一y十4■心脚为两周公头弦所在直线的有程 义国的国心（一3,0）-√15 G到嘉线AB的距离d-二4-要。 2 lAB=2P-dF-213-=52 中两国的会去孩长为5，区。 〔2)方法一 林苏夜包十+一仁0. 2+y+6y-28-0, 年两国的交克AM一1,3)，B(一5，一2， 灵喻求国的围公为(a,b).羽面心在直线1一3 4-0上， 故bd一4 则有，/a+1+(a-4-) -√/0a+6+(a-4+27, 解得一立批面心为（合一量）： *径为+]+（厂-可-√要 执国的方想为)广++)一婴。 x+y-x+7y-2= 方法二，国2+2+6y一28-0片面心(0，-3D 不在直线x一y一4=0上，可设所家周的方艰为2十 y+6x-4+a￥2+y+6y-28)-01≠-10. 共属a为（清》代入厂y一4=0，* 得A=-1 故所衣国的才粒为2十y一x+y一32-L [针对测冻2】解：(1)司G:x一1)+(y+1) 4,G:(r-w)十y=w(m>0 山所匿相交，可得引2一m<w1+(十下< 2十m,解保m的取植觉图是1，十©2 (2)两周会共独所在直战的方程为(m一1》士十y一1■ 南清国公大长是务名汽司】 100.解得m一经 探究三肉夏烟切同是 [典例精析] [频例门解：1)向已知可得雨个周的方程分利为 (x-1)+《y一3驴=11，r→5+(y-6=61- Mw<6】》, 腾置的国心是d一√一1)+(6一下=3，南国 的平整之和为江十√1一m, 由两周的年径之和为√江+，61一m一5， T年m25十10√， (2)由两圈的厦心题d=√(5一1)+(6-3了-5 等于两圈的年摄之是的地对值务√们一们一国。 年T一√一w1-5.可得√T一√一国 5(舍去)成/T一一网-一5，解得m-25-0/T 针对别练)答案()+(-1 解析：录阶求期的属心为C代n:n》,则O,P,C三产 并线，具OC-6,设直线OC的艇麟角为8， 则cm-子血0-是 所红国時方短泛一)+(y一y-L 【防堂演练·达标】 L.C 2答案：3 解斯：C1,2n2C(一2.-2)，n-8,1GCG 5,十-5，月此丙国外女.所以公切观有3来. 答案：2x-4y-1=0 解析：国为C:x十y一1一0①，喝C:十y一 南方形康：得高 2x+4y-g②， 解得C1m一5以会去)或C■7， ☆①一②得，2江4y一1=0，斯以背置竹公共孩所 所以与直线x+3y一5=0相对的边所在的直战为 在的真我方程为2山一4灯一1一L 程为十3y+70 4答案：1 设与直线x十3y一5一0金直的边附在的直绳方和 解析：特两周的方和其减，得相交弦所在岭直线方 为5江一y十CG-0由理意，得 程分y一十国心《0,0》到重线特须高为d一】 -1x$-0×1+C1.6 √3+1V 16 四厅-1，所话8-1 期年Cm或■一3， 5答案：1 所以号两效所在直线的方往分3r一y十0一0和 解析：K0,0),C3,0),号属本轻均为1，”0C [跟章调练1门 √十0=3，Q的羲小任为3-1-1=1. 解：☆一，过两条重线文壶的直线系方为x十 长解：说所来蜀C的方根为(r一a护十(y一一一 3y-10+(3x-y》=0,年(1+30x+(3-1)Jy-10■ 南则C与直线y一0相切且来桂为4， 别国心C片坐粹为Cu4)气C(a,一4， 原成到直线的至离为1： 已为属(x一2)中十(y一1)■9的属白A的坐特为 (2.1).丰籍为. m0+:0-》0-0=1,解年x=, 南两司相初，则1CA-4十3一7友ICA=4一3一1， =土& ①泰国哈为C{丝，4}时， 代入方宝①中，得所农皇线方盟为江一1或山 (a-2+《4-102=户煮(g-2)+(4-1)=1日 3y+5-0 (无解)： 故可得a一2士21百，故所来国的方程为(x一名一 二南方程位任+3y-10=0, 解得两条直城妈 l3-y=0: 20+(0y一4-16表r一2+2W0)+0-40P-6 度高为A613) 否壶国心为Ca,4)时 当解率存在时，这阶求直线方程为3y一3一（工一 (a-2)+(-4一1■户或a-2y+(-4-1 1》,年一y十3一一0 1(无解)，解得4-2士25 √+（一 板简桌的程为(r一2-26)十《y十4)泸■16 减(x-2十26)+（十4P-16 63-制=e+可k= 俗上所生，所桌国的方程为一2一2T0十 (3-402-16或(x-2+20)°+(5一4)-16气x 4=Q 2-26+(Gy+42-16兔(x-2+2》+Gy+F-16 书重线斜枣不乔在时，直线方程为：=1也料合 章来总结 【奥型例原】 管所康直线方程为￥■1或：一3十后■0， [例1门解：压方形中心到直线1十3y5=0片见 [例2]解：法一：设国的常程是(x一阳)+(y 高d-1x1+3X×0-1.6 =10, √+3 10 国为国心在直我y-2x上，所以6-2a, 浸与是线x十3y一5=0平行的直线方程为x十 f-y=0 山方程 3y十C0. Hy-ky-10. 年2-2(g十br+a+H-10=0, 所a到十-a十面·一+女一0 南依长会人得度·va十一2a十十一16 42, 化商得a一■4图 解①②组成岭方根虹， 得2=2，b-4友@--2，b=-L 故时意园的方框是(：一2+(y一4)=10左 (x十2P+(3t402-1a 法二：读聘的才程为红一e)'十(y-=10 则国为ah),平径r-VT6, 国心a,到直线x一y-0竹厘离d世-创 2 脚丰让未、孩心乐，半径姐城的虚角三角形得 d+(佳)-，南a亏炉+R-10. 所以(u一b)'■4 义图为一2g,所这g-2,k-4或日-一2,6--4 技所衣国的方程是《红一2中(y一1)”-10我 (x+2y+(y十40P=10 限溶裙峰】 解：经所求图C的方粗为（正）+(y=, 离心C以a)与Q3,一√)的魂直合直于直我x十 y=0,且韩率为及 a-1+B=+1, 卑恩意开 a士=r -a x=4,a=0, 解得=0，友b=-4石. rm2,rm6. 找骑桌围的方程为（红一）炉十了一4发十 (y+4-36. [例3]解：(1)园心C(1,2),半径r■2，峰直值竹鲜 年不存在射，方程为四3， 为国心C1,2)利直线士“8岭距离d-3一1一2 Ψ知，克时，支线与墨智似 行直属的斜华存在时，授方柱为y一1一{红一3)，