2.5.1 第2课时直线、圆的方程的应用-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

数学选择性必修第一册人教A版 第二课时 直线 学业目标·定位 课标要求 1.进一步等握直线和圆位置关系的判定方法. 2.会利用几何法解决有关圆的最值问题. 必备知识· 梳理 ○情境探究 1.如图，点P在⊙O上，如何过点P作⊙O的 切线？ 0。 2.如图，直角三角板的直角顶点A在⊙O上， 一条直角边经过圆心O,另一条直角边经过 ⊙O外一点P,PA是⊙O的切线吗？ 0 国知识梳理 直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立 平面直角坐标系，用 表示问题中的几何元素，如点、直线 圆，把平面几何问题转化为 第二步：通过代数运算，解决 第三步：把 “翻译”成几何结论 酚科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） (1)利用坐标法解决几何问题时，可以随意建 94 圆的方程的应用 学习目标 通过本节课的学习，能理解并掌握直线和圆的 综合应用，会求相关范围问题， 答案见P2901 立坐标系.() (2)在实际问题中，应注意变量的取值范围. () (3)最后一步要将代数结果转化为几何结论 () (4)求直线与圆的方程的实际应用问题的解 题步骤是：审题、建系、求解、还原.( 2.一辆卡车宽2.7m,要经过一个半径为4.5m 的半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡 车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 () A.1.4mB.3.0mC.3.6mD.4.5m 3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴 上，直线3x十4y十4=0与圆C相切，则圆C 的方程为 4.直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x 2y十4=0的最近距离为 二、思维探究 建立适当的平面直角坐标系应遵循哪些原则？ 关键能力·探究 探究一直线与圆的方程的实际应用 @典例精析 【典例1】已知台风中心从A地以每小时20km 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险区，城市B在A的正东 40km处，求B城市处于危险区内的时间. 名师点拔 解决直线与圆的方程的实际问题的步骤 认真审题，明确题意，从题目中 审题 抽象出几何模型，明确题中已知 和待求的数据 建立适当的平面直角坐标系，通 <建系 过点的坐标及已知条件，列出几 何模型的方程 求解 利用直线、圆的性质等有关知识 求解 还原 将运算结果还原为对实际问题的 解释 [针对训练1]为了开发古城旅游观光，某县决 定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB 为32m,拱桥顶点C离河面8m. (1)如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中 垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 试求出该圆形拱桥所在圆的方程 0 (2)现有游船宽8m,船顶离水面7m,为保证安 全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度 差至少要0.5m.问：这条船能否顺利通过这座 。第二章直线和圆的方程 答案见P2901 拱桥？并说出理由. 探究二与圆有关的最值问题 鲁知识深化 求解与圆有关的最值问题的方法 (1)借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据 代数式的几何意义，借助数形结合思想求解。 ①形如一名形式的最值问题，可转化为动 直线斜率的最值问题； ②形如t=ax十by形式的最值问题，可转化为 动直线截距的最值问题； ③形如(x一a)2+(y一b)2形式的最值问题，可 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。 (2)建立函数关系式求最值 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据 函数知识或基本不等式求最值， 典例精析 【典例2】已知实数x,y满足方程x十y2 4x十1=0.求： (1)之的最大值和最小值： (2)y一x的最大值和最小值； (3)x2十y2的最大值和最小值. 95 数学选择性必修第一册人教A版 名师点拨 与圆有关的最值问题的两种求法 1.几何法 (1)mx十ny的最值：设mx十ny=t,圆心C (a,b)到直线mx十ny=t的距离为d= lma十nb一t,由d=r即可解得两个t值， √m2+ 一个为最大值，一个为最小值 (2)义的最值：义即点P与原点连线的斜率， 数形结合可求得斜率的最大值和最小值. 2.代数法 (1)mx十ny的最值：设mx十ny=t,与圆的方程 联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得 t的两个值，一个为最大值，一个为最小值 (2)义的最值：设t=义，则y=tx(x≠0)，与 圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别 式等于0，求得t的两个值，一个为最大值， 一个为最小值. [针对训练2]已知点(x,y)在圆C(x一2)2+ (y+3)2=1上 (1)求x+y的最大值： (2)求的最大值； (3)求√x2+y2+2x-4y+5的最小值 随堂演练 ·达标 1.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2十y2= 5相切，且与直线ax一y十1=0垂直，则a等 于() B.1 .●96 探究三过直线与圆的交点的圆系方程 自知识深化 解答求过直线与圆的交点的圆系方程的问题一 般有如下两种方法 (1)联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐 标求方程. (2)设圆系方程确定参数，一般地，过直线1： Ax十By十C=0(A,B不同时为0)与圆O:x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D2+E-4F>0)的交点 的圆系方程可设为x2十y2十Dx十Ey十F+ 入(Ax十By十C)=0,但注意系数A一定要写在 直线方程之前。 愈典例精析 【典例3】求过直线2x+y+4=0与圆x2十 y2+2x一4y+1=0的交点，且面积最小的 圆的方程. [针对训练3]一圆过圆x2+y2一2x=0与直线 x十2y一3=0的交点，且圆心在y轴上，则这个 圆的方程是 答案见P2911 C.2 D号 2.已知点A(-5,0),B(-1,一3)，点P是圆 C:(x-1)2+y2=1上任意一点，则△PAB 面积的最大值是( 。第二章直线和圆的方程 A.11 R号 方程是 4.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2= C.13 p. 7 4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短 3.从原点O引圆C:(x-m)2+(y-2)2=m+ 路程是 1的切线y=kx,当m变化时切点P的轨迹 2.5.2 圆与圆的位置关系 学业目标 定位 课标要求 学习目标 通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会 1.掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法. 求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公 2.会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题. 共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相 关的综合问题. 必备知识 梳理 答案见P291 国情境探究 位置 外离 外切 相交 内切 内含 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下. 关系 图示 乎 d与r1, n-nk< r2的 d 关系 (2)代数法：圆O:x2+y+Dx十Ey十F1=0 (D+-4F>0),圆O2:x2+y2十D2x+Ey十 探究：圆与圆之间有哪些位置关系？ F2=0(D号十路一4F2>0),两圆的方程联立得方 程组，则有 方程组 2组 1组 0组 解的情况 两圆的 国知识梳理 2个 1个 0个 公共点 圆与圆的位置关系的判定方法 两圆的 或 学 (1)几何法：圆O:(x-x)2+(y-y)2=(m> 位置关系 0),圆O2:(x一2)2十(y-为)2=(n>0),两圆的 圆心距d=|OO2|=√（一x)+(y一）产， 则有 97。探究二圆的切战问赠 奥例精析] [典例2]箐墨：(1》0()y-4或3z十45一13-0 解析：(1》国芯C(3,明到直我y一z十1片距高 d=8=+1=22 2 所以超气天的最小值岁脑√(2V)一■√7 20,(-1-22+(4-32-1021, 点A在属外 当直线1的新率不存在时，的考程是x=一1，不 溪风耳念， 国此直残的斜率存在，灵为： 则切找1的方任为y一4一x十10， 红一y+4+k-@ 周(2,3)到扬底上的系寿为2坠一-3++=1， +I 期得表-0友-一是 因此，所泉直直1的方程为y=4或3r十4y一 3=0, 〔针对别练2)解：1)切线1特林率不存在时，一3 满足条件， 初道1的科率舟在时，位方程为y一2■一3)， 即x一y十2-认=0，国心C(1.一1》到钢线I竹单离 山中气地-2解纤一备，可得超线方程为 爱+1 5证一12y+9=0.雄上可得，初战1的方程为里=3友 5x-12y+9=0 (2)当Q⊥题时，Q京得碳小值. 儿时0四-- 阶以QM=√一=5 探究三蓝长问置 [典闲精析] [典例3】答漏：(1D5y-2(29x-2y-1-0 解顿1(1)国C,x一nP+(y一2x一1=9的周心 Cn,2n十)，车径r=3,基然减C的轨进是直线y 2x+1. 直规4r-8y+5)m十(x十3-3)一0，出 任3y+5-释一 中直属1过定点N(1, r+y-3=0, 2),国直线1狱圈C意拜的址长为定值，时国心C到 w=一3√有或m二√3 直线！的矩离为爱值，国此直残平行于圆心C的 4.C属心3,3)到直城3x十4一11-0的重 桃进。 d-3X3+4×3=11-2,又一3，t有8个成到直线 最直线1的方程为y-2x十a≠1.有2-1×2十 @,解得a-0, 3x+一11=0的瓶离等于1 北时直找与国心C的桃连的严鼻为d- 3.答案：4片 1 桥：面C的方柱可化为z十《y一u护a+2,可 得国必的堂款为C0,2),平是一√石2，所误厦到 的方程为y=2 直线一y十a=0的乐两为二a中如=，阶以 (2)W为国C:r-3)十(y-1》=9,国aC(3,1》+ 一3，鱼虎城城国C藏得孩长最长时，此时直线垃国 (2)+w'(,解得2=2，片以周C的 4,孩长为2-6，将国心代人重找方程得3g十1一5和 半径为2，胸以圈C的面权冷4配 2-0,年a一一号，所以直线方发为了一2y一1一位 第二课时直线，圆的方程的应用 [针对横练3]C由周M的标津方程(x一2+ 【必备知识·梳理】 y=4,可知离心M(2,0,半径r=2,如周，连接AMP特 【情境探究] MP的壶线，交图M于A,B两太， 提示：(11第《)是 【包识流理] 适当的垒标和方程代数间题代数问题代 数运辣的结果 [科学题维】 -.L.(1》X2/3)/4 以成P为中友的圆M的微卿为AB, 2.C -}是-1，MPLAB.. 32+y-4r=0 4.22-1 二，提尿：①若出线是射对称图总.谢可选它的对彩 直线AB的方程为y一1一1一3，整现得 轴为半标轴 十y一4=0，故选C ②常这特殊点作为平面直角鱼标系的原点。 【[随堂演炼·达标】 ③限量使已知点位于坐标输上， 1.日期C:十y=4的国心为《0,0)，平径考2 【关键能力·探究】 以围到直线1一2的运高为-8.与丰 探究一直线与圆的方程的实际应用 2 【典闲精析] 径相零，所以直钱J一x一22与周C:十y一4的 [奥例门解：如圈，以A为厚表，以AH所在直线 位夏关果是湖极 为x精建主平面是角生标暴，射機AC为∠xAy的平 1C直线y-kx十1生丛0，D,且流在围工+ 分找，则台风中活在射找AC上移动，是B到AC的严 一4内，所以直我4国相史 离为20,2km 支C起道的才程化或标堂为粗x一1)炉十y一3， 南巴如得X10m一， √w3)2+(-1D 中w+v3-2成， 射籽线AC故以B为围心，以30kn为车径的国黄 得的最长为2√30-(202)-20(m). 所以B线市是于电母区内的时习为：一器-1b。 [针对谓练1】解：(1DB6,0),C0,8),提夏2(0). 国的才在为2+（一6）2一2(>0). 1256+份-72， 由期述流，C得8一6- 解得6=-12.7=20. 所以喝形拼能所在属的方程为 2+y+12F=400. 2)可设都右上角竖直考向高0,5m处点为P(4, 7.50. 代人国方框左偏得39625<00， 所议克P在国内，故船可以通过 探究二与盟有关的餐值问题 [典例精桥】 [典例2幻解：(1)如图，方程2+y2-+1一0表 函议点《2,0)为周心，以W3为丰径的国， 爱2一未，年y一，易如国心(2,0)到y一缸的则 离琴于车经时，直线与面相城，针率取挥最大，兼小值 由2可一万解得一3k-万表-一8， 小的最大丝为，最小维为一后 (2)最y一x一0，则y-x十，南点到是找的苑再公 X,得2-0+-E,w4-2士 故y一x的最大值为一2十5，最女值为一2一6】 (3x十y表子国上的一无与原我的是离的平有 南平面无何如识如，在承人和圆心的姓机与圆的两个交 点处雕得最大值和最小值又属好到原点的距离为 √/2-0y+0-0)=2,故2十/的兼太值是 住+)-7+45，+y的兼小值是(2-8)-7- 48. [针对到练2习解：们)设十y■平.副x十y一年=0， 布直线和到相如时，面心《2，一3》到直线竹克再 d-l2-3=-1, 得引十H川=v,解得夏=死一1或=一2一1，执 十y的最大值为2-1 (2)设=兰，则直找方程为红一y-0(红0)，卷 走战和周相初时，国心C(2,一3)到直线的暴客d= 达+3=1 √T+和 群3+1新十8m0, 件=二25五二6时2恒】 数兰的最大值势二十2组 3 (3)√++2x4y+5-Wx+1》+y-2y 副根式的几何意义为国上，成到定点风一1：2)的原高 则CD1=,-1-2)+(2+a下=3， 则、VF+y+2-+5的最小值为V3耳-1 保究三过直线与圆的交点的圆系方颗 [奥例精析] [典例3]解：过周于+y十2红一4y十1=0与直 线2十y十4=0的文减的国系为程为十了十2x 4y+1+A2x+y+4)=0,整厘得2+y7+2(1+A)z (4-1)y+1+=0. 要使图的而和最小，凡需平径长厂最小 :=分4++4一0-41+) -5a-+W厚-y 一备一号时，半径长r最小，此时围的方程为2十 +曾-号+晋-o,中(+到+(-普广- [针对别练3]答案：江+y+4y一6=0 解轿1议求面的才程为x+y一2：+Ax十2y 3》=0,聊2+y+1-2》x千2然y-3=0,核期意 二2-0，所以A-2做到的方程为子++4y 6=0 【随堂演体·达标】 (妇识城理] 1.C由随意得直线竹斜单存在，读过点P《2,2) 1)dn十nd-n十nn+nd=n-n 的克线的料率为k,则直城方根为y一2一(x一)，即 dcin-nl 红广y十g-25-0.由于和国相糊.我中2-25， ()相交外切内切外离内含 中L [科学易维] 将一壹肉于直线一十2一张=0为直线u一 一，L.著案：1)×2)×(3》×(4/ y叶1=0复，离光-支a=一1帆开=2 2D分利以A,B为国e,1,2为半是传面，应 AB1=3 1B田，面C:红一1)+y一1的园心坐黎为 六道A,国B外切，如下图背帝 0.0,本插为1，龙A.B的直我方程为当一 -3x十4y+15-Q BA|=√/-+1D+3=5, 面C(x一1D2十了2-1上的友P到直线AB题离 的夫位为5+1-等 所水真线是两国的公切我，去3意(2条外公切 干平 线，1条内公初成).故法D ∴△PAB海和的最大值远号×5X号-号 3.B真C的国心为C(3,4),丰径n=1,黄0的 露分为00,0)：半径力=国 得黄的喝分景为d=,十平=5 国为国口与国C有会共点，两xn一n|6d6 解得4 【一46m6, 两香，胸以丽的最大值冷民酰选B &答案：+y-8 4C圈C(r一3)时+(y十)-1.图0(3 解析：根赫观意®出希意渊，周心C(m,2,丰径 -2),平强n=1, =√m+,径初点P的坐标为上，y),由初线的生嘴 国C:(x-7)3十y一1)泸-16，圆贴C7,10.来提 可知OP=IOC-IPC,四为1OP-x+y 内=4， (■十4，■=m+1,所以高P的轨域 国4范d-3+21-3,d-6+, 方推为x十2-3. 所以两国相外如，公切我条数是3最.效选C 二，提示：不能，已知两阅只有一个公共点只能得出 两隔内初发外切 【关键能力·探究】 探究一圆与图的位置关系 4答案：8 (典例精析】 解析：易加，成A美于工枪对称点A'(一1，一1，A [员例1】解：胃C,C的方程，极聪方后军挥C: 与圆25，)的克需为√5+1干7干-10，就简 z-w)+(y-102-10,CG.一2a+y-1-1. 京羲轴路程为10一2■R 置2Ga.l0,C(2a,1D,平径n-4,n-L 2.5.2夏与圆的位置关系 1GC1-wa-2a+-1F-2 【必备知识·梳理】 (1)盗CG一n十车一5，年a一5时，两面外如： [情境探究】 当CG1一n一有一8，年a一8时，焉圆内初 家究：相交，相切（外切，内切），相离（外离，内含）， 2)为3<CC<5,即3<a<3时，腾属湘交 (3)每CC>5,中>5时，两国外离. 〔4》皆CC|<3,中<3时，南国内金。 [针对填缩】D对两个属的方程起方拜调G: (x—1+(y+2)=1及国G:(x-2+《y+1》= ,则国心是d-1CG-个-原，1-专<< 1十量，拔两个国相变，时这两个国的公村线有2条 探究二两图相交问避 [典例精折] [典例2]解：(1D爱两圆交点为A(n,h),B( 为，副A.B两成坐标是考程组 e++r一40，① 的解 2+y+8y-28=00 ①一四，得上y中4=且 廿AB两先坐桥都清足处方程 一y十4■心脚为两周公头弦所在直线的有程 义国的国心（一3,0）-√15 G到嘉线AB的距离d-二4-要。 2 lAB=2P-dF-213-=52 中两国的会去孩长为5，区。 〔2)方法一 林苏夜包十+一仁0. 2+y+6y-28-0, 年两国的交克AM一1,3)，B(一5，一2， 灵喻求国的围公为(a,b).羽面心在直线1一3 4-0上， 故bd一4 则有，/a+1+(a-4-) -√/0a+6+(a-4+27, 解得一立批面心为（合一量）： *径为+]+（厂-可-√要 执国的方想为)广++)一婴。 x+y-x+7y-2= 方法二，国2+2+6y一28-0片面心(0，-3D 不在直线x一y一4=0上，可设所家周的方艰为2十 y+6x-4+a￥2+y+6y-28)-01≠-10.