2.5.1 第1课时直线与圆的位置关系-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

4.C 5.(0,-10 二提示：1+-2如r一y十+-2-0 2得到的方程为(+)++) +一里当D+E一4P>0,方程表示以 (一号、一与)为调心，以是D中E一F为半径的： 当D十-F-0时，方程汉有实数解r一号y -是它表示一个点（号.-号》当D+E一4P<0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 【关键能力.·探究】 探究一图的一般方程的餐念 【典例精析] 汇频例1门解：(1)年表币属的克要条钟， 得(2m)十(-2)-4w十5m20, 极纤网<}即房数m岭取值能周为（一心清》 (2)将方复x2十y十2mz一2y十w2十5m-0写或 格准方程为十)严十(y-1)一1一5m,执圆心坐称为 (一稀，1D,平经-√一 【针对雨等1」8C司为方柱2十y一2w十3D中 21一4w)y十16w十9-0表本一个图， ◆D=一2(m十3)，E-2(1-4m),F-16w+g 所以山伊十胶一4P-[一2m+3)]F+[2(1 m)P-416m+91>0 化落得7m2-6w-10,解得一号<L 效选以二 探究二装夏的一粒方程 【奥例精析] [典例]解：设所哀的图岭方很为十y十Dx十 Ey+F-0. 2D+2E+F+8-0, 由举鸯得积5D十E+F+4一0，拜E-一2， 3D-E+F+10=0,F-12. 六△ABC外辞国的为程为x3十了8e一2十 12=0. [变式]解：逢斯菜收周的为程为x十y十D+ Ey+F=0. 学++2D+2E+F=0, (D-1. 0D=10A1=2, 南超森十1+D-E+F-0,限E-1, F=-12 角泉的国的方和为2十十x十y一2=0 针对调练2】解：国心C号，一号》，渴为属心在 蓝然出，C不重合，临B,C重合时，点A,D重合 直武十y-1=0上 时成D的轨造是风)为黑心，2为率径的国《像走 所以-星--1-0中D叶B-. 是r=D+卫反，所以y+E-0, 所以及D的缺速方框是x'十y了(x2) 【随堂演练·达标】 D0可得2，kD-4 L.A需x+-2x+4y4=0可化为r一13+ g--E-2 (y十2)=B,敏其国心坐林为门，一2)，丰径为 又国公在第二象原，所以-号<0，一号0，身D心 2D由属的方程为十y+2r十9一0，圆2坐 标为5,0)，可得a一一5，所以国的方程为十y D=2, 0,卫20所E=-4 10上十9■0，即2一5)十了=15，斯以国的半径为4. 3,答案1 所保国的一般方粗为2十了2x一4y十8-0 解析：雨C:(r-2)十(y十稀一4)=1表示周过为 双究三与图有美的轨迹方程 C(2,一w十)，年径r-1的， 「璃例精析) [典例3】解：(1)设展复AP岭中AMxy), 米得0C一干一M干下， 南中点堂棘公式，得点P的坐标为(2一2,2). 所以专m=4时，(C竹最小值为2 ”成P在国十=4上 此前四变化时，网仁上的点与草无的最短是离是 (2r-2)1+(y)-4, 0C=-7=2-1a1 故找段AP的中点M的轨连方程为(：一1)尸+ 4.若案：红-2》+y-2y-1 解桥：由期意加，清定条件的走M是以克A(2,2》 (2)是我授PQ射中点Nzy), 为周心，以1为丰径的国所试有《一十(y一)日 在△PQ中，PN|=|BN. 1,种成M的队遵方很是一2)十(y一一1， 这O为坐标感点，连接N(图味)，副ON⊥FPQ. 25直线与圆，因与司的位置关系 OPON+IPNI-ONP+BN 2,5,1直线与厦的位置美系 “2++-1)+y1)=4, 第一课时直线与回的位置关暴 故战侵PQ的中高N的桃进考程为十y一干一 【必备知识·植理】 y-1-a 【情境深究] [针对调练3]解11》亚克(3.1)，>0，由3+ 提示：相交，相切，相离 〔妇识城理] -10,得一1直线AB约-}号-1后ADL 一，1)两个〔2)个(3》没有 B,所以直D的才程为y-0=一1·（一2》， 二山，解公共点两交点两友闻的肥离 十y-2=0, 2d与r勾取 (2》南于镜及BC是圆0上十y-10岭弦，则线展 [科学愿维] BC的中◆线必注国母O,又我後BC的中垂找是矩形 -,L.(1/(2)√3)/《40/ AD的对林袖，因光罐时称抽◆直平分线段AD,平 2.B玉C4.x-0或y-0 二提尿：d0,相交d=0,相切4<0相离 【关键能力·探究】 探究一直线与圆的位置关系的判斯 [典例精新] [典例1](1)A2G国C(x-11+(y-1)=1 的属心为C1,D,年经r一1，直展h奇+若-1年3x十 4y一12=0，酬属心到直战的压高d=B里=1 r,所2是线/与国C和极.批感A (2)为题如，属2坐林(0,00，平径5 将直线aay十2山■0化为点斜式得y=a十2)， 加铺直线过定点{一2,0)： 又（一2）十0<5，藏减瓷无在周内， 所以流直找与圆十了■5必相交 故选C [针对调旅1于解：方法一将直我x一y一m 1=0代入周的方程，化筒整理，芹1+)士一2（标十 2w十2)x十w十m十4-0. d4w(3w十4). 1》台>0，即m>0发m<-言时，直线考面相 变，即直线与国有两个会其点： 24-0，即m-0m-一言时，是线与相 好，即直线与园只有一个公来成： 8售4<0：有一音<00时，直线为焉扣局，片 直线与国授有金头点 方法二巴加面竹方程可化为(x一十(y一P= 4:即周心为2,1)，半径r=2 属分C代2,1D到直线m天一y一m一1-0岭距离d- 12-w一1-Jm二3 √1十w (1)当4<2，中m>0成四<一时，直线为属相 受，即直线与国有两个会兴点： (2》台一8，即m一0或四一言时，直线本莲和 好，即直值与黑兄有一个公来成： 阳)当>，即一<m<0时，直线海周相离，甲 直我与周授有公共成. 探究二圆的切战问赠 奥例精析] [典例2]箐墨：(1》0()y-4或3z十45一13-0 解析：(1》国芯C(3,明到直我y一z十1片距高 d=8=+1=22 2 所以超气天的最小值岁脑√(2V)一■√7 20,(-1-22+(4-32-1021, 点A在属外 当直线1的新率不存在时，的考程是x=一1，不 溪风耳念， 国此直残的斜率存在，灵为： 则切找1的方任为y一4一x十10， 红一y+4+k-@ 周(2,3)到扬底上的系寿为2坠一-3++=1， +I 期得表-0友-一是 因此，所泉直直1的方程为y=4或3r十4y一 3=0, 〔针对别练2)解：1)切线1特林率不存在时，一3 满足条件， 初道1的科率舟在时，位方程为y一2■一3)， 即x一y十2-认=0，国心C(1.一1》到钢线I竹单离 山中气地-2解纤一备，可得超线方程为 爱+1 5证一12y+9=0.雄上可得，初战1的方程为里=3友 5x-12y+9=0 (2)当Q⊥题时，Q京得碳小值. 儿时0四-- 阶以QM=√一=5 探究三蓝长问置 [典闲精析] [典例3】答漏：(1D5y-2(29x-2y-1-0 解顿1(1)国C,x一nP+(y一2x一1=9的周心 Cn,2n十)，车径r=3,基然减C的轨进是直线y 2x+1. 直规4r-8y+5)m十(x十3-3)一0，出 任3y+5-释一 中直属1过定点N(1, r+y-3=0, 2),国直线1狱圈C意拜的址长为定值，时国心C到 w=一3√有或m二√3 直线！的矩离为爱值，国此直残平行于圆心C的 4.C属心3,3)到直城3x十4一11-0的重 桃进。 d-3X3+4×3=11-2,又一3，t有8个成到直线 最直线1的方程为y-2x十a≠1.有2-1×2十 @,解得a-0, 3x+一11=0的瓶离等于1 北时直找与国心C的桃连的严鼻为d- 3.答案：4片 1 桥：面C的方柱可化为z十《y一u护a+2,可 得国必的堂款为C0,2),平是一√石2，所误厦到 的方程为y=2 直线一y十a=0的乐两为二a中如=，阶以 (2)W为国C:r-3)十(y-1》=9,国aC(3,1》+ 一3，鱼虎城城国C藏得孩长最长时，此时直线垃国 (2)+w'(,解得2=2，片以周C的 4,孩长为2-6，将国心代人重找方程得3g十1一5和 半径为2，胸以圈C的面权冷4配 2-0,年a一一号，所以直线方发为了一2y一1一位 第二课时直线，圆的方程的应用 [针对横练3]C由周M的标津方程(x一2+ 【必备知识·梳理】 y=4,可知离心M(2,0,半径r=2,如周，连接AMP特 【情境探究] MP的壶线，交图M于A,B两太， 提示：(11第《)是 【包识流理] 适当的垒标和方程代数间题代数问题代 数运辣的结果 [科学题维】 -.L.(1》X2/3)/4 以成P为中友的圆M的微卿为AB, 2.C -}是-1，MPLAB.. 32+y-4r=0 4.22-1 二，提尿：①若出线是射对称图总.谢可选它的对彩 直线AB的方程为y一1一1一3，整现得 轴为半标轴 十y一4=0，故选C ②常这特殊点作为平面直角鱼标系的原点。 【[随堂演炼·达标】 ③限量使已知点位于坐标输上， 1.日期C:十y=4的国心为《0,0)，平径考2 【关键能力·探究】 以围到直线1一2的运高为-8.与丰 探究一直线与圆的方程的实际应用 2 【典闲精析] 径相零，所以直钱J一x一22与周C:十y一4的 [奥例门解：如圈，以A为厚表，以AH所在直线 位夏关果是湖极 为x精建主平面是角生标暴，射機AC为∠xAy的平 1C直线y-kx十1生丛0，D,且流在围工+ 分找，则台风中活在射找AC上移动，是B到AC的严 一4内，所以直我4国相史 离为20,2km 支C起道的才程化或标堂为粗x一1)炉十y一3， 南巴如得X10m一， √w3)2+(-1D 中w+v3-2成， 射籽线AC故以B为围心，以30kn为车径的国黄 得的最长为2√30-(202)-20(m). 所以B线市是于电母区内的时习为：一器-1b。 [针对谓练1】解：(1DB6,0),C0,8),提夏2(0). 国的才在为2+（一6）2一2(>0). 1256+份-72， 由期述流，C得8一6- 解得6=-12.7=20. 所以喝形拼能所在属的方程为 2+y+12F=400. 2)可设都右上角竖直考向高0,5m处点为P(4, 7.50. 代人国方框左偏得39625<00， 所议克P在国内，故船可以通过 探究二与盟有关的餐值问题 [典例精桥】 [典例2幻解：(1)如图，方程2+y2-+1一0表 函议点《2,0)为周心，以W3为丰径的国， 爱2一未，年y一，易如国心(2,0)到y一缸的则 离琴于车经时，直线与面相城，针率取挥最大，兼小值 由2可一万解得一3k-万表-一8， 小的最大丝为，最小维为一后 (2)最y一x一0，则y-x十，南点到是找的苑再公 X,得2-0+-E,w4-2士 故y一x的最大值为一2十5，最女值为一2一6】 (3x十y表子国上的一无与原我的是离的平有 南平面无何如识如，在承人和圆心的姓机与圆的两个交 点处雕得最大值和最小值又属好到原点的距离为 √/2-0y+0-0)=2,故2十/的兼太值是 住+)-7+45，+y的兼小值是(2-8)-7- 48.数学选择性必修第一册人教A版 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 第一课时直线与圆的位置关系 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 通过本节课的学习，会用代数法来判断直线与 1.理解直线和圆的三种位置关系， 圆的位置关系.能解决直线与圆位置关系的求 2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 切线方程、求弦长等综合问题. 必备知识 ·梳理 答案见P2881 国情境探究 二、直线与圆的位置关系的判断方式 古诗里描写道：“海上生明月，天涯共此时”，它 1.代数法 生动地描绘了月出的绚丽景象.大家有没有想 在平面直角坐标系中，要判断直线：Ax十 过，在月出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学 By+C-0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的 知识 位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方 (Ax+By+C=0, 程组 (x-a)2+(y-b)2=r 的 的个 数，得出直线与圆的 的个数， 把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那 进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以 么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位 由方程组解得 坐标，利用 置关系？ 公式求得弦长 2.几何法 根据圆的方程求得圆心坐标与半径r,从而求 得圆心到直线的距离d,通过比较 的 国知识梳理 大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则 一、直线与圆的位置关系 可利用 定理求得弦长 直线与圆有三种位置关系： ④科学思维 (1)直线与圆相交，有 公共点： 一、思考判断 (2)直线与圆相切，只有 公共点： 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） (3)直线与圆相离， 公共点。 (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几 90 。第二章直线和圆的方程 何法判断.() A(o,) B[o】 (2)过圆外一点作圆的切线有两条.( (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的 C(o,) n.[, 最大距离和最小距离.() 4.过原点作圆x2+y2一2x一2y+1=0的切线， (4)直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相 切线方程为 切.（ 二、思维探究 2.直线y=x十1与圆x2+y2=1的位置关系是 将直线方程代入圆的方程消去x(或y),得到 一个一元二次方程，设该方程的判别式为△，如 A.相切 何利用△判断直线与圆的位置关系？ B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 关键能力 探究 答案见P2881 探究一 直线与圆的位置关系的判断 y2=5的位置关系为( ) A.相离 B.相切 目知识深化 C.相交 D.不确定 直线与圆的位置关系的判定方法（圆心到直线 名师点拔】 的距离为d,圆的半径为r) 直线与圆的位置关系反映在三个方面：一 相离 相切 是圆心到直线的距离与半径大小的关系；二是 相交 直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的 图形 方程组解的个数.因此，若给出图形，可根据公 0 共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可 方程 选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代 △<0 △=0 4>0 量观点 数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出 化几何 d>r d=r 恰当的选择。 d<r 观点 [针对训练1]已知直线方程mx一y一m一1= ©典例精析 0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.试求m为 【典例1】(1)圆C:(x-1)2+(y一1)2=1与直 何值时，圆与直线： (1)有两个公共点： 线1：普+学=1的位置关系为( (2)只有一个公共点： A.相切 B.相交 (3)没有公共点. C.相离 D.无法确定 (2)直线a.x-y十2a=0(a∈R)与圆x2十 91 数学选择性必修第一册人教A版 探究二 圆的切线问题 设切线方程为y一y%=k(x一x),即kx y一kx0十y%=0,由圆心到直线的距离等于半 ○知识深化 径，可求得k,进而求出切线方程.但要注意，若 求过某一点的圆的切线方程 求出的值只有一个时，则另一条切线的斜率 (1)过圆上一点(x,)的圆的切线方程的求法 一定不存在，切线方程为x二x ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆 [针对训练2]已知圆C:(x一1)十(y十1)2=4. 心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系 (1)过点P(3,2)向圆C作切线l,求切线1的方程； 得切线的斜率为一，由点斜式方程可得切线 (2)若Q为直线m:3x一4y十8=0上的动点，过 Q向圆C作切线，切点为M,求|QM的最小值. 方程。 ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接 得切线方程y=y%或x=xo: (2)过圆外一点(x0,yo)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k,则切线 方程为y一yo=(x一xo),由圆心到直线的距 离等于半径建立方程，可求得，也就得切线 方程 ②当切线斜率不存在时要加以验证 ③过圆外一点的切线有两条， ⊙典例精析 【典例2】(1)由直线y=x十1上任一点向圆 (x一3)2+y2=1引切线，则该切线长的最 小值为() A.1 B.2√2 C.7 D.3 (2)过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线，则切线1的方程为 名师点拨 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点 与圆的位置关系，以确定切线的条数， (1)求过圆上一点P(x0,y%)的圆的切线 方程：先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直 关系得切线斜率为一石，由点斛式方程可求得 切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形 可直接得切线方程为y=y0或x=xo (2)求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线 方程时，常用几何方法求解： ●92 。第二章直线和圆的方程 探究三 弦长问题 (1)几何法：由圈的性质知，过圆心O作1 的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示 自知识深化 在Rt△OCB中，BC2=2一d,则弦长|AB 1.求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几 2BC=2√P-, 何法。 2.利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜 率不存在的情况， (2)代数法：解方程组 @典例精析 ax+by+c=0, 【典例3】(1)直线1：(m十1)x+(1-3m)y+ 消元后可得关 (x-x0)2+(y-0)2=r2 (5m-3)=0被圆C:x2+y2-2n.x-(4n+ 于x十x2,x·x2或yⅥ十y2,为·y2的关系 2)y十5n2十4n一8=0截得的弦长为定值， 则直线！的方程为 式，则|AB|=√(1+)儿(x十x2)2一40x2] (2)已知圆C:(x-3)2+(y-1)2=9及直线 √(1+是)汇十)2-4]，其中k为直线 l:ax十y-5a-2=0,当直线l被圆C截得 的斜率且不为0. 弦长最长时，直线！的方程为 [针对训练3]已知圆M:(x一2)2+y2=4内有 名师点拔 点P(3,1),则以点P为中点的圆M的弦所在 设直线l的方程为a.x十by十c=0,圆O的 直线方程为( 方程为(x一xo)2十(y-y%)2=r2(r>0),求孩 A.x+y-2=0 B.x-y-2=0 长的方法通常有以下两种 C.x+y-4=0 D.x-y+2=0 随堂演练 ·达标 答案见P289 1.直线l:y=x一2√2与圆C:x2+y2=4的位置 A.√3或-√3 B.-√3或33 关系是( C.-33或3 D.-3√3或3√3 A.相交 B.相切 4.圆(x-3)2十(y-3)2=9上到直线3x十4y C.相离 D.都有可能 11=0的距离等于1的点有() 2.直线y=x+1与圆x2+y2=4的位置关系 A.1个 B.2个 是() C.3个 D.4个 A.相离 B.相切 5.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2= C.相交 D.不确定 0相交于A,B两点，若|AB引=2√3，则圆C 3.直线√3x-y十m=0与圆x2+y2-2x-2=0 的面积为 相切，则实数m等于() 93