2.4.2 圆的一般方程-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

数学选择性必修第一册人教A版 2.4.2圆的一般方程 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 L.理解与掌握圆的一般方程的形式与条件 通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件， 2.能准确的判定圆的存在所满足的条件. 会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根 3.会判断点与圆的位置关系， 椐圆存在的条件求待定参数的值，会用待定系 4.会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位 数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨 置、距离的综合问题。 迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题 必备知识 梳理 答案见P2861 情境探究 自知识梳理 《古朗月行》 一、圆的一般方程 唐·李白 当D2十E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+ 小时不识月，呼作白玉盘。 Ey十F=0叫做圆的一般方程，其中圆心为 又疑瑶台镜，飞在青云端。 (号，-号)半径为2D+E-4亚 二、轨迹方程 1.点M的轨迹方程是指 满 足的关系式。 2.轨迹是指点在运动变化过程中形成的 在解析几何中，我们常常把图形看作 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在 生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描 3.求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质 写、如果把天空看作一个平面，月亮当做一个 上就是利用题设中的几何条件，通过 圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方 将其转化为关于变量x,y之间的方程. 程如何表示？具有什么性质的点的轨迹称 图科学思维 为圆？ 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)方程x2+2a.x十y2=0一定表示圆.() (2)若点Mx,站)在圆x2+yY+Dx十Ey十F=0 外，则6十十Dm十E功十F0.( (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化， () 86 。第二章直线和圆的方程 (4)利用待定系数法求圆的方程，需要三个独 二、思维探究 立的条件.（) 1.圆的标准方程(x一a)2+(y一b)2=r2(r>0) 2.若方程x2+y2-4x十2y十5k=0表示圆，则 展开可得到一个什么式子？ 的取值范围是() A.k>1B.k<1 C.k≥1 D.≤1 3.已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐 标、半径的长分别是( A(2,-1),3 B.(-2,1),3 C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9 4.若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分 2.把x2十y2+Dx+Ey十F=0配方后，将得到 别为（一3,0）和(7,0)，则直角顶点C的轨迹 怎样的方程？这个方程是不是就一定表 方程为( 示圆？ A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25 C.(x-2)2+y2=25(y≠0) D.(x-2)2+y2=25 5.如果圆的方程为x2+y2十kx十2y十k2=0, 且圆的面积为π，那么圆心坐标为 关键能力 ·探究 答案见P2871 探究 圆的一般方程的概念 名师点拔 自知识深化 圆的一般方程的辨析 二元二次方程Ax2十Bxy十Cy十Dx十Ey十F= (1)由圆的一般方程的定义，若D2+E A=C≠0， 4F>0成主，则表示圆，否则不表示圆， 0表示圆的充要条件是B=0, (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的 D+E-4AF>0. 特征求解 ⊙典例精析 [针对训练1]（多选）已知方程x2十y2一2(m十 【典例1】若方程x2+y2+2mx一2y十m2+ 3)x+2(1-4m2)y+16m十9=0表示一个圆， 5m=0表示圆， 则实数m可能的取值为( (1)求实数m的取值范围； A.-1 B.0 D.1 (2)写出圆心坐标和半径 探究二 求圆的一般方程 ●知识深化 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心 87 数学选择性必修第一册人教A版 坐标、半径，得到圆的方程。 探究三与圆有关的轨迹方程 (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方 程，根据条件列关于a,b,r或D,E,F的方程组 知识深化 解出系数得到圆的方程. 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 典例精析 当题目条件中含有与该点有关 【典例2】已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求 直接法 的等式时，可设出该点的坐标 用坐标表示等式，直接求解轨 △ABC外接圆的方程. 迹方程 当题目条件符合圆的定义时， 定义法 可直接利用定义确定其圆心和 半径，写出圆的方程 几何法「 利用圆的儿何性质，得出方程 当题目条件中已知某动点的轨 迹方程而要求的点与该动点有 代入法 关时，常找出要求的点与已知点 的关系，代入已知点满足的关系 式求轨迹方程 【变式】若本例改为：已知圆过A(2,2),C(3, ©典例精析 一1)，且圆关于直线y=x对称，求圆的一 【典例3】点A(2,0)是圆x2+y=4上的定点， 般方程 点B(1,1)是圆内一点，P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程： (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N 的轨迹方程。 [针对训练2]已知圆C:x2十y2+Dx+Ey十 3=0,圆心在直线x十y一1=0上，且圆心在第 二象限，半径为√2，求圆的一般方程， ..88 。第二章 直线和圆的方程 名师点拨 (2)求点D的轨迹方程. 1.求动点的轨迹方程的一般步骤为：建系，设 点，列式，化简，证明.建系时可根据题目中 的条件，建立适当的直角坐标系，简化运算 是解题的关键」 2.求解时，重视从不同视角诠释求动，点轨迹方 程的步骤，注意灵活运用图形的几何性质。 3.对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲 线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常 用代入法。 [针对训练3]已知点A(2,0),圆O:x2十y= 10上两动点B,C满足AB⊥BC,且四边形 ABCD是矩形 (1)当点B在第一象限且横坐标为3时，求AD 边所在直线的方程： 随堂演练·达标 答案见P2881 1.已知圆x2+y2一2x+4y一4=0，则圆心坐 3.已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m 标、圆的半径分别是() 变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 A.(1,-2),3 B.(1,-2),3 C.(-1,-2),3 D.(-1,2),9 4.已知定点A(2,2),动点M(x,y)满足|MA|= 2.已知圆的方程为x2+y2+2ax十9=0，其圆 1,则点M的轨迹方程是 心坐标为(5,0)，则它的半径为() A.34B.16 C.5 D.4 89●.【关键能力·探究】 探究一点到直线的距南 [典例精析] [典例1](IDCD(2)A 解析：1》对于A,一y十2一0.AM到直机的距 离为2-±到-. VI 曰，此A 厚成0到直镜的E每为 时于日x十y十，反=0，点M到直战的厘离为 k2+恒+=3 w1+1 原我0到直线的是喜为滑1世B游 时下C,+y中E=0,在M到直我的是离为 12+区=☒-1， 1+I 原点0到直线的延离为一昌-1，tC正速： √1PT 时于D,x一y一夏-0，点M到直我的是离为 w2-2=1-1. T干可 辱点0到虎线的斯葛为二图-1，长D正晚共 忠AD (2)张一内已知代入点到直线的矩离会又可再 一禁-技达入 法二山直成x+2=0,得上=一2，满为直线 一2与y始平分，所以成(5，一3》列直线x+2=0的厘 寿d■5一{一2)1=7.故选A 针对辑练1】解：《1)向点P在直减3x+y一5= 0土. 设P(五，5-)： kP到直线x一y一1-0的距离冷2， 年l-5-an-厘， √+(-1 化得5一2，解得。=1我乡-2. 布1-1时，3为■5一3×1-2， 有6→2时，判-5一3×2=-1 所以成P的坐释为(1,2)表(2，-1 (2动决一由点到直线的聚奥会或耳 (2)号如，8r十4y一2=0可化为6x+8y一24■0 话a一1X0+2I-L 两直线平行， 0干下 PQ引的及小值即为两平行线间矩离，d= 法二园为重找y一1一0与重轴平粉，所以出国 知d=2-1l-1. 0- √6+8 探究三距两公式的除合度用 -1 典例精析] [典例3]解：(1)拉A(a,b),B(c:d),C(w,),剩 (3》有斜率不夺在时，基感直线：=一1到草点的 B=√(a-e)+(ad), 是离为1，不杆合观意， AC-@一m十气6一m 所风所年直值的部率是存位的 Cm√(cw)+(dn 最阶求直直的方程为y一2=x十1)： 图为对于平面上的任意三点A,B,C,基有AC十 化成一发或为红一y十g+一0 BCABI: 由恩意样2昌-号，解样一1或一不 所以、2w干下十P+( √食+T2 -c-y 城料合题意的直镜方短为y一2一一红十1)成y 《2)如图所本，作点A美于夏线：的时粹点A1,连 2--7x十1)， 接AB交I于点P,连换PA,飘直直（上开于无P的 中x十y=1=0龙7x十y十5-0 -AP.NIAPI+IBP-AP!+BP,>ABl 限究二两条平行直城同的离 -AP+IPBI-AP+8PI, [典例精桥) [典例]解(1)日为⊥上， 将以a叶2e一1)-0，持一号 (2脑为1∥红， 背以ag一1)一2=0.解特￥=2或a=-1, 与a=2时4：2x十y-1=0与k:十y十4=0平作： 售=一1时，4t一十2y1=0与4：r一y十 1=0重台，不特合题意， 此，站在P处时，才能优得AP|十 故0=2， BP取环最小量，设A阳，)，那LA:的中A在克城/ 此时，直规（到的克鼻d一 1+2×2-10-0. 2 √+7 2 上，且A4⊥，则 解得 针对调练2习答案：1A(2)号 号×()=- 解析：1)羽为直气x+2y十3=0与直战2x十 中A《3,6),所以A:B直找的方程为6之十y 0r+y-24-0. x 24=0,解考程加 z+2-10-0, 36 所两平是离公天可得， 1+2 均生格为（停）故水站建在点P(器)飞此 时1A+PB为，G一+(0-6可-√瓦 [针对调第3]书知周所京， 52 南题意可如A,B在x十y一3-0的同衡，设点日 美于直线x十y-3-0岭对称成为B(a,6),A,G,B三 点共线满风愿意，点C为使得达略租我短的“荒生做 水流” 5,2-30. 2 年1，-0， x-0-1 对于A,直线AR的针年为与二2-7，购以 2-1 特军从出发点到河连的路线所在是线的方程是y十3 7x一1)，身7—10-y-0,tA借误： 对子其联7-0-y- - 解裤 时将军 +y-3-0, 在河线按4的地点的业标为（停，碧》，批B玉确 对子C,南C选项分林可如点C(兽，营》，直c西 、2 的斜率为表 一寺所网真线CB传才程为y 8 6一8 2-号u-0,中一7y+8-0,故C每该： 对于D,lAC+|B-AC+ICB-ABI √干下一5，区，即“得军状马”走建的悬路程分5厘，就 D情误 兼速B 【随堂演炼·达标】 1.AAP(3,1)到克线1：3r+4y+a=0(a0)约 年离为3，每2+华巴-3解得a-2 w016 玉B y一1=0得P-2,点P到 12z+y+1=0. 线3+4y-1一0离8X2+4×3-1 √3+4 =1. 3.A直战C的本程为r一y=0.AC引=√0. AB到我4C的延有为-器-清 w+下 厘周5=hCd=×mx-4 4.餐案：2ry+1=0 解析：量所承的直线岁雄为2x一y十C一0(C≠3： 里≠一1).分前在l1:2x一y+3■0利42xy一1= 0上取点A(0,3)和H(0,一1)，则这两及到直瓶2x 小0-0的题易相带年受年市8中（一示 ic-8 C+1 解仟C=1,所然直线1的方程为2x一y十门=0 2+圆的方程 2,41医的林摩方程 【必备知识·植理】 【情境家究] 提示：可以 [妇识硫理 一，L等于定长圆心足长MA■r 2.(10a+-)-P(202+y- 二>>==<< [科学思推] -,1.1/〔2)X3)×(40W()/ 2.C由思意可得方程为(x一1)中十y一4. 放选C 3,B 4.(r-1D2+(3-10=4 二提示：同（心与学径 【关键能力·探究】 探究一来夏的标准方程 典例精析】 [典例1]1)B(2C 解折：1)由道者，w一二-一9AB中点 为售》 所以战使想的中◆线为y一复一（红一是》，令 y0得x-2,除以K2.0).丰径r-2,所以国M的标 准方鞋为x2产+y=4.故选B (2)授过A(6,0》和B{0,-8)两，成的离竹国心为 M,丰径为R PQCC-PC1-3+I)+-1-5 利2求=1MA1十|MB1 1-4 14B=v纷+6-0， 中PAF+|PB2X+8=40, 放R5,雪且权壶M为AB中 成选风 点时￥号或土， 《2)根撼题意高出图象如下， 故过A(④，0)和B(0,一8》两走的国的面最小时 直是为AB, 此时贰的国心考(3.一4)，就其标准方程冷(x一3十 (y+4y=25 故选C, [针对调练1】(DA(2C 缝接P,时P■r2 解析：1D设属过坐标为(a,), 本yAC.使每△CP△OPB,则有得 时(a一1)十44.a=1. 副的标准客程为(x一1门十y■4 嘴-器. (2面心为(1，一2)，半桂为1的国美于原点时称时 国岭圈四坐标为（一1,2），来猛为1，所以时应国的方程 --号c》x- 为x+1D3+(y-2)=1, 是C,2-1C 保究二点与医的位置关系 所以，3AP+2到P=3AP到+3P33引C■ [典例精桥】 [先例2]C如题意可知：周C子+(y-1P=5 30-0+得o-4m, 的国安C0,1)率径r-/5, 当A,P,C共随几P在A,C之间时飘等号 若&A(@,3)在面C外，时AC1= 〔针对销第3]A面C的圆心坐赫为C(一1,0) √4-0)+3-1下=√@+45， 华径为2， 解得山>1或a<一1，所以紫数a的率性花国是 设A四，n3.Px,y,由PA|-2O得(x-+ (-o。-1DU1.十∞ y-)=4(+y. 成选C 化模得3十3y十m十2ym3-一0， [针对调练2】A南题意，得金+一1，必一√E 又黑为x十1)+y=4即+y+2x一3=0， ∴a+廿-(a十-2-1+2E<8. 所以(2w一6)r十2y十9一w一寸=0，网为对于 点P在国C内， 作意Py)EC领或是， 裂究三与圆有关的最值问题 2m-6=0 典例精析) 所xA(3,00: [例3]答案：(1)B(2)4/1面 n=0, 9-m-2=0 解折：1)成Px,y>,则1PA+P8=(+3+ 所以毒P点的城坐释的总对慎最大时△QP的 y+(x-1+y2=2+2y+r+10=2x+1P+ 面数最大， y]+8. 北时CPLx桶，所以P(-1.2)友P兴一1,2)， 中PA十1PB1等价于AP到点Q(一1,0)的 高片平才的两倍加入， 所以△P的面核为子×04XPC-2×3 ×2=3 故选A 【随堂演练·达标】 1,B国心为（一3,1），半径为5的兽的才杠为 (r+3+《-1)P=5 玉.A模端期意，有(w一2尸+(3=1)产=4+(m 2)>3,阶以点P必在国外 玉AD袜箱斯路，设圆C岭国心为(2，b).国为国 C:(x十1)十(y-1)-4,其图2为（一1,1），年接为 2,所以国心C到直民上一y一1=0的是离d L-1-1-1山32 2 若圆C车国G关个直找士一y一1-0对称，附国 C与周CG的周心美于是域x-y一1=0时释，见离G 的来楼为2， 三1_51-1-0 t暖C 6▣-2， 的才程为(x一2)+(y+2)=4, k答案：(x十1D+(y+1D-5 解析：由国(x+2于+=5可加，圈心为（一2,0）， 年径√5.设成《一2,0》是于重我x一y十1一0对释的 点为(a,》, a十2 =一1{x≠-2)， 绿0一1 2-+1-0 6=-1 所议所求国的国心为《一1，一1，半径r=后，所以 国x十)十y-5关于直线x一y十1一0对称的国的 方框为《x+1F+《十1= 14,2图的一根方组 【必备知识·被理】 [情境探究] 提示：平面内与一定点矩离等于定长的点的轨连将 为测，定点是期心：定长是半径 [知识梳理] 二，L.点M的生标(x,3 工图形点的轨适（集合】 王峰标化 [科学原堆] 一.1.1)×(2/(3/(4/ 2.目由题意得（一4》F+2一4×5论>0，k<1, 3A国+y-4r十y-4-0可化为x-2+ (y十1=生.故其置心坐标为(2，一1)，半径的教为五. 4.C 5.(0,-10 二提示：1+-2如r一y十+-2-0 2得到的方程为(+)++) +一里当D+E一4P>0,方程表示以 (一号、一与)为调心，以是D中E一F为半径的： 当D十-F-0时，方程汉有实数解r一号y -是它表示一个点（号.-号》当D+E一4P<0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 【关键能力.·探究】 探究一图的一般方程的餐念 【典例精析] 汇频例1门解：(1)年表币属的克要条钟， 得(2m)十(-2)-4w十5m20, 极纤网<}即房数m岭取值能周为（一心清》 (2)将方复x2十y十2mz一2y十w2十5m-0写或 格准方程为十)严十(y-1)一1一5m,执圆心坐称为 (一稀，1D,平经-√一 【针对雨等1」8C司为方柱2十y一2w十3D中 21一4w)y十16w十9-0表本一个图， ◆D=一2(m十3)，E-2(1-4m),F-16w+g 所以山伊十胶一4P-[一2m+3)]F+[2(1 m)P-416m+91>0 化落得7m2-6w-10,解得一号<L 效选以二 探究二装夏的一粒方程 【奥例精析] [典例]解：设所哀的图岭方很为十y十Dx十 Ey+F-0. 2D+2E+F+8-0, 由举鸯得积5D十E+F+4一0，拜E-一2， 3D-E+F+10=0,F-12. 六△ABC外辞国的为程为x3十了8e一2十 12=0. [变式]解：逢斯菜收周的为程为x十y十D+ Ey+F=0. 学++2D+2E+F=0, (D-1. 0D=10A1=2, 南超森十1+D-E+F-0,限E-1, F=-12 角泉的国的方和为2十十x十y一2=0 针对调练2】解：国心C号，一号》，渴为属心在 蓝然出，C不重合，临B,C重合时，点A,D重合 直武十y-1=0上 时成D的轨造是风)为黑心，2为率径的国《像走 所以-星--1-0中D叶B-. 是r=D+卫反，所以y+E-0, 所以及D的缺速方框是x'十y了(x2) 【随堂演练·达标】 D0可得2，kD-4 L.A需x+-2x+4y4=0可化为r一13+ g--E-2 (y十2)=B,敏其国心坐林为门，一2)，丰径为 又国公在第二象原，所以-号<0，一号0，身D心 2D由属的方程为十y+2r十9一0，圆2坐 标为5,0)，可得a一一5，所以国的方程为十y D=2, 0,卫20所E=-4 10上十9■0，即2一5)十了=15，斯以国的半径为4. 3,答案1 所保国的一般方粗为2十了2x一4y十8-0 解析：雨C:(r-2)十(y十稀一4)=1表示周过为 双究三与图有美的轨迹方程 C(2,一w十)，年径r-1的， 「璃例精析) [典例3】解：(1)设展复AP岭中AMxy), 米得0C一干一M干下， 南中点堂棘公式，得点P的坐标为(2一2,2). 所以专m=4时，(C竹最小值为2 ”成P在国十=4上 此前四变化时，网仁上的点与草无的最短是离是 (2r-2)1+(y)-4, 0C=-7=2-1a1 故找段AP的中点M的轨连方程为(：一1)尸+ 4.若案：红-2》+y-2y-1 解桥：由期意加，清定条件的走M是以克A(2,2》 (2)是我授PQ射中点Nzy), 为周心，以1为丰径的国所试有《一十(y一)日 在△PQ中，PN|=|BN. 1,种成M的队遵方很是一2)十(y一一1， 这O为坐标感点，连接N(图味)，副ON⊥FPQ. 25直线与圆，因与司的位置关系 OPON+IPNI-ONP+BN 2,5,1直线与厦的位置美系 “2++-1)+y1)=4, 第一课时直线与回的位置关暴 故战侵PQ的中高N的桃进考程为十y一干一 【必备知识·植理】 y-1-a 【情境深究] [针对调练3]解11》亚克(3.1)，>0，由3+ 提示：相交，相切，相离 〔妇识城理] -10,得一1直线AB约-}号-1后ADL 一，1)两个〔2)个(3》没有 B,所以直D的才程为y-0=一1·（一2》， 二山，解公共点两交点两友闻的肥离 十y-2=0, 2d与r勾取 (2》南于镜及BC是圆0上十y-10岭弦，则线展 [科学愿维] BC的中◆线必注国母O,又我後BC的中垂找是矩形 -,L.(1/(2)√3)/《40/ AD的对林袖，因光罐时称抽◆直平分线段AD,平 2.B玉C4.x-0或y-0 二提尿：d0,相交d=0,相切4<0相离 【关键能力·探究】 探究一直线与圆的位置关系的判斯 [典例精新] [典例1](1)A2G国C(x-11+(y-1)=1 的属心为C1,D,年经r一1，直展h奇+若-1年3x十 4y一12=0，酬属心到直战的压高d=B里=1 r,所2是线/与国C和极.批感A (2)为题如，属2坐林(0,00，平径5 将直线aay十2山■0化为点斜式得y=a十2)， 加铺直线过定点{一2,0)： 又（一2）十0<5，藏减瓷无在周内， 所以流直找与圆十了■5必相交 故选C [针对调旅1于解：方法一将直我x一y一m 1=0代入周的方程，化筒整理，芹1+)士一2（标十 2w十2)x十w十m十4-0. d4w(3w十4). 1》台>0，即m>0发m<-言时，直线考面相 变，即直线与国有两个会其点： 24-0，即m-0m-一言时，是线与相 好，即直线与园只有一个公来成： 8售4<0：有一音<00时，直线为焉扣局，片 直线与国授有金头点 方法二巴加面竹方程可化为(x一十(y一P= 4:即周心为2,1)，半径r=2 属分C代2,1D到直线m天一y一m一1-0岭距离d- 12-w一1-Jm二3 √1十w (1)当4<2，中m>0成四<一时，直线为属相 受，即直线与国有两个会兴点： (2》台一8，即m一0或四一言时，直线本莲和 好，即直值与黑兄有一个公来成： 阳)当>，即一<m<0时，直线海周相离，甲 直我与周授有公共成.