2.4.1 圆的标准方程-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第二章直线和圆的方程 2.4圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.理解圆的定义及确定圆的几何要素。 通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置， 2.理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程. 大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标 3.会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心、半径 准方程，并能解决与圆有关的问题。 必备知识 梳理 答案见P2851 回情境探究 位置 几何法 图示 代数法 我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的 关系 点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半 径.在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用 点在 (x0-a)2+ d 一个二元一次方程来表示.探究：平面直角坐标 圆外 (%一b)22 系中的一个圆，是否也可以用方程表示呢？ 点在 (x0-a)2+ d 圆上 (6-6b)22 画知识梳理 点在 (-a)2+ 一、圆的定义与标准方程 d 圆内 (%-b)2 1.圆的定义：圆是平面上到定点的距离 的点的集合，定点称为圆的 称为圆的半径.用集合表示为P={M 爵科学思维 2.圆的标准方程： 一、思考判断 (1)圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“X”) 程为 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.() (2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方 (2)方程(x一a)2十(y-b)2=t表示圆.() 程为 (3)若圆的标准方程是(x一a)2十(y一b)2=m 二、点与圆的位置关系 (m≠0)，则圆心为(a,b),半径为m.() 圆A:(x-a)2十(y一b)2=2(r>0),其圆心为 (4)圆心是原点的圆的方程是x2+y2=2 A(a,b),半径为r,点P(xo,y),设d=|PA|. (r>0).() 83。 数学选择性必修第一册人教A版 (5)设A(,”),B(x2,2),则以AB为直径 A.在圆上 B.在圆外 的圆的方程为(x一x)(x一x2)十(y一M)(y C.在圆内 D.以上都不对 2)=0.() 4.过点A(1,一1)，B(一1,1)，且圆心在直线x+ 2.在平面直角坐标系中，圆心为(1,0)，半径为 y一2=0上的圆的方程是 2的圆的方程是() 二、思维探究 A.(x-1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=2 确定一个圆的最基本几何要素是什么？ C.(x-1)2+y2=4 D.(x+1)2+y2=4 3.点P(一2，一2)和圆x2十y2=4的位置关系 是( 关键能力 ·探究 答案见P2851 探究一 求圆的标准方程 名师点拨 确定圆的标准方程有两种方法 自知识深化 (1)几何法：它是利用图形的几何性质，如 直接法求圆的标准方程的策略 圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径， 圆的标准方程，从而得到圆的标准方程 常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还 (2)待定系数法：由三个独立条件得到三 用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心” 个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三 “两条弦的中垂线的交点必为圆心”等 个参数，从而确定圆的标准方程， ⊙典例精析 [针对训练1](1)圆心在x轴上，半径为2，且 过点(1,2)的圆的方程为( 【典例1】(1)已知A(4,0),B(1,W3),圆M经过 A.(x-1)2+y2=4 A,B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M 的标准方程为( B.(x-2)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 A(x-》'+(6-=3 D.(x-1)2+(y-4)2=4 B.(x-2)2十y2=4 (2)与圆(x-1)2十(y+2)2=1关于原点对称 C.x2+y2=4 的圆的方程为() D.(x-1)2+y2=4 A.(x-1)2+(y-2)2=1 (2)过A(6,0)和B(0,一8)两点的面积最小 B.(x+1)2+(y+2)2=1 的圆的标准方程为() C.(x+1)2+(y-2)2=1 A.(x-3)2+(y+4)2=10 D.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x+3)2+(y-4)2=100 探究二点与圆的位置关系 C.(x-3)2+(y+4)2=25 D.(x+3)2+(y-4)2=25 自知识深化 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大 ▣.84 第二章直线和圆的方程 小并作出判断。 探究三与圆有关的最值问题 (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判 断式子两边的大小，并作出判断： 知识深化 典例精析 与圆有关的最值问题的求解策略 【典例2】若点A(a,3)在圆C:x2+(y-1)2=5 (1)将最值转化为线段长度问题，从而使问题得 外，则实数a的取值范围是( 以顺利解决，充分体现了数形结合思想在解题 A.(-∞，-1) 中的强大作用. B.(-o∞，1) (2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利 C.(-∞，-1)U(1,+∞) 用数形结合求解. D.(-1,1) @典例精析 名师点拔 【典例3】(1)在平面直角坐标系xOy中，已知 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点 A(一3,0)，B(1,0),P为圆C:(x-3)2+ 在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有 (y-3)=1上动点，则|PA2+|PB2的 两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比 最小值为() 较，二是代入圆的标准方程，判断与严的大小 A.34 B.40 C.44 D.48 关系 (2)在平面直角坐标系中，已知A(4,0),B [针对训练2]已知a,b是方程x2-x-√2=0 (0,3),P为x2+y=4上一动点，则3|AP 的两个不相等的实数根，则点P(a,b)与圆C: 十2BPI最小值为 x2+3y2=8的位置关系是( ) [针对训练3]已知圆C:(x十1)2+yY=4,O是坐 A.点P在圆C内 标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足 B.点P在圆C外 |PA=2PO,则△OAP面积的最大值是( C.点P在圆C上 A.3 B.9 c D33 2 D.无法确定 随堂演练 达标 答案见P2861 1.圆心为（一3,1），半径为5的圆的方程为( C2与圆C1关于直线x一y一1=0对称，则 A.(x-3)2+(y-1)2=5 B.(x+3)2+(y-1)2=5 C.(x+3)2+(y-1)2=25 A圆心G到直线x一广1=0的距离为3Y号 D.(x+3)2+(y-1)2=√5 B圆6G到直线1一一1=0的距离为号 2.点P(m,3)与圆(x-2)2+(y一1)2=3的位 C.圆C2的方程为(x+2)2+(y一2)2=4 置关系为() D.圆C2的方程为(x-2)2十(y十2)2=4 A.点在圆外 B.点在圆内 4.圆(x十2)2十y2=5关于直线x一y十1=0对 C.点在圆上 D.与m的值有关 称的圆的方程为 3.(多选)已知圆C:(x十1)2+(y一1)2=4，圆 85●.【关键能力·探究】 探究一点到直线的距南 [典例精析] [典例1](IDCD(2)A 解析：1》对于A,一y十2一0.AM到直机的距 离为2-±到-. VI 曰，此A 厚成0到直镜的E每为 时于日x十y十，反=0，点M到直战的厘离为 k2+恒+=3 w1+1 原我0到直线的是喜为滑1世B游 时下C,+y中E=0,在M到直我的是离为 12+区=☒-1， 1+I 原点0到直线的延离为一昌-1，tC正速： √1PT 时于D,x一y一夏-0，点M到直我的是离为 w2-2=1-1. T干可 辱点0到虎线的斯葛为二图-1，长D正晚共 忠AD (2)张一内已知代入点到直线的矩离会又可再 一禁-技达入 法二山直成x+2=0,得上=一2，满为直线 一2与y始平分，所以成(5，一3》列直线x+2=0的厘 寿d■5一{一2)1=7.故选A 针对辑练1】解：《1)向点P在直减3x+y一5= 0土. 设P(五，5-)： kP到直线x一y一1-0的距离冷2， 年l-5-an-厘， √+(-1 化得5一2，解得。=1我乡-2. 布1-1时，3为■5一3×1-2， 有6→2时，判-5一3×2=-1 所以成P的坐释为(1,2)表(2，-1 (2动决一由点到直线的聚奥会或耳 (2)号如，8r十4y一2=0可化为6x+8y一24■0 话a一1X0+2I-L 两直线平行， 0干下 PQ引的及小值即为两平行线间矩离，d= 法二园为重找y一1一0与重轴平粉，所以出国 知d=2-1l-1. 0- √6+8 探究三距两公式的除合度用 -1 典例精析] [典例3]解：(1)拉A(a,b),B(c:d),C(w,),剩 (3》有斜率不夺在时，基感直线：=一1到草点的 B=√(a-e)+(ad), 是离为1，不杆合观意， AC-@一m十气6一m 所风所年直值的部率是存位的 Cm√(cw)+(dn 最阶求直直的方程为y一2=x十1)： 图为对于平面上的任意三点A,B,C,基有AC十 化成一发或为红一y十g+一0 BCABI: 由恩意样2昌-号，解样一1或一不 所以、2w干下十P+( √食+T2 -c-y 城料合题意的直镜方短为y一2一一红十1)成y 《2)如图所本，作点A美于夏线：的时粹点A1,连 2--7x十1)， 接AB交I于点P,连换PA,飘直直（上开于无P的 中x十y=1=0龙7x十y十5-0 -AP.NIAPI+IBP-AP!+BP,>ABl 限究二两条平行直城同的离 -AP+IPBI-AP+8PI, [典例精桥) [典例]解(1)日为⊥上， 将以a叶2e一1)-0，持一号 (2脑为1∥红， 背以ag一1)一2=0.解特￥=2或a=-1, 与a=2时4：2x十y-1=0与k:十y十4=0平作： 售=一1时，4t一十2y1=0与4：r一y十 1=0重台，不特合题意， 此，站在P处时，才能优得AP|十 故0=2， BP取环最小量，设A阳，)，那LA:的中A在克城/ 此时，直规（到的克鼻d一 1+2×2-10-0. 2 √+7 2 上，且A4⊥，则 解得 针对调练2习答案：1A(2)号 号×()=- 解析：1)羽为直气x+2y十3=0与直战2x十 中A《3,6),所以A:B直找的方程为6之十y 0r+y-24-0. x 24=0,解考程加 z+2-10-0, 36 所两平是离公天可得， 1+2 均生格为（停）故水站建在点P(器)飞此 时1A+PB为，G一+(0-6可-√瓦 [针对调第3]书知周所京， 52 南题意可如A,B在x十y一3-0的同衡，设点日 美于直线x十y-3-0岭对称成为B(a,6),A,G,B三 点共线满风愿意，点C为使得达略租我短的“荒生做 水流” 5,2-30. 2 年1，-0， x-0-1 对于A,直线AR的针年为与二2-7，购以 2-1 特军从出发点到河连的路线所在是线的方程是y十3 7x一1)，身7—10-y-0,tA借误： 对子其联7-0-y- - 解裤 时将军 +y-3-0, 在河线按4的地点的业标为（停，碧》，批B玉确 对子C,南C选项分林可如点C(兽，营》，直c西 、2 的斜率为表 一寺所网真线CB传才程为y 8 6一8 2-号u-0,中一7y+8-0,故C每该： 对于D,lAC+|B-AC+ICB-ABI √干下一5，区，即“得军状马”走建的悬路程分5厘，就 D情误 兼速B 【随堂演炼·达标】 1.AAP(3,1)到克线1：3r+4y+a=0(a0)约 年离为3，每2+华巴-3解得a-2 w016 玉B y一1=0得P-2,点P到 12z+y+1=0. 线3+4y-1一0离8X2+4×3-1 √3+4 =1.