2.3.3 点到直线的距离公式&2.3.4 两条平行直线间的距离-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

解折：直线w十y-6=0与4：十(a-2)y十 4-1=0相交于点P,且1⊥ 六a×1+1×(a-2)=0,期a=1, x=3: ,P3,3). 5.菁案：g一影一0 解析：南泰是线2x一3y+3一0，r一y+2-0的变 杰为一3，一1D,斯以所米直战为y十1-言（十3，中 -3y-g 13.2雨点间的题离公式 【必备知识·植理】 信境累究】 提术：平直内肉点的距真等于这两点的情坐标之差 与风坐标之差的平方和算术平方制： [知识被理] L.4一+外一为了 2.(1+y(2)113》为-h 【利李愿维] -,1.(1)×(2)/(30/ 2.D 3.B 4.B 5A 二.提示：它们的是离是10建点月作y轴的套 线，过点尸作x结的垂规，两重线相交于点严：则 PP=B.1P:P1=6,则由勾段定理得引P,P|= +6=10. 【关键能力·探究】 探究一求两点间的面离 【典例精析] [典例门解：考法 :14B一v(3+3+-3-1y =/52=2/13, 1A■V1+3)+(7-1y■√52m2v13. 又1--3+(7+下-10丽-2w%, 1ABP+AC2-1BC“,且AB-C1, :△ABC是等楼是角三角酸. -1 如二- 六kc“e=一1， ACLAB CP)+《IBP+DP)≥AC+HBD=2,豆， 又AC-√1干3)干一1=v2-2v百. 所以最小值为2爱 14B川-v3十3)+-J一1-2-2w/T, 探究三皮用两点同距离公式求最值 ACI-ABL 【典例精析] △ABC是苹腰直角三用形 [典例3]D 行+行-干8 [针对谓旅1]B南超意得P(1,1》,以5.5》，所 -0)+(0-1p+√一20+(0一2. |PQ=+不=4v及戴选且 可以看作APx,0)判点A(0,1),B(2,2)射鹿离 鼠究二坐标法的座用 之和， [先例精析】 作点A美于x0的时称无A'(0。一1)，星感当B: [先例]解：以B为染解原元，保边4所我的直气 P,A三原共线时，取到藏小值，最小值为B,A同的垂 为r精，连C所在的直线为y做，建立平面直角坐相 离干罗一愿 系，如图所示，刺三个重点的坐释身别为A《@,0》,(0, 耸选B D),C《0,).由中点是标会式科针造C的中点M的皇标 [针对润练3]答案：2 为（堡）所-√a一)+(0-舒- 解析：S一√(a+下+y中√（一+了表本点 P红，y)到成A(一1,0》与杰以1.0)的原离之和.野S 合干， PA|十|PB,如图所求： C.6 08Aa.0末 由图象加S=|PA1+1PBAB=2, 与点P在且山上时，￥号点之 1-√0-受+(0T-专+， 所以S取算最小懂为2 Mc-√0-+-T-生+， 【随堂演练·达标】 L.B1481=w(-2-1D+(2+2T-5 所MA-1MB引=AMC. [针对调陈2]解：《1山以AB所在真线为x陆，AD 2CC边的中在D(层，6)由两减之何的厘离 网在直为y轴建主平面直角矣极惠，加周所帝，副 公风可得 P(z.y). 1AD1-√得-+6-1y- y-4=0, - 3D由 x-2y-2=0 A0,0,B1,03,C1,1,DA0,1), 华A(号一号) 阶x|AP+HP+CP+DP=√F++ y-4=0, x-+7+√-1+Gy-1T+√2+-1 xr+3y-12=0, y-2 r∈(0,1，y€0,10 (2为AP+P+CP+DP=(AP+ Na1-V(停+（一可 √侣+-是m.选D 4C1AB1--33+0+2下-2/0. C-/一1一a+2-4②， 4AC-一1+3》+(20-22， AC+IBC-ABP 所实三角形AC是直角三角形。 故远C 三答案1(0,0》减(10,0) 解析：设Q(,0),附有√-5)+12■13，解 样■0或和■10群Q0,00或Q10,0) 13,3点到直线的距离公式 234两条平行直线闻的距南 【必备知识·被理】 [情境探克！ 镯示：铺议一条从饭馆到公路的垂直璃路，道路的 长度最短 [知识模理 一，1.是 2 IAn+uy+c √A+ 二，1.公重线双 工.应到直战 3 [科学思唯 一.1.1)×(2)/(3》/〔40× 名A由平行战距第公成可拼一=一头一L +4 故选入 3C由平行气闻的足离会式可加，直线6：十ay一 2=0与十8一3=0河约垂高势=后计号-品 战退G 未C直找w的方度了化为2x十y一12=0，图 先，直我1为m的矩离为d-二3士19点 +6 放选C 5.答案：一3或1 二授示：L当d一0时，点P在直线1上， 工两条 【关键能力·探究】 探究一点到直线的距南 [典例精析] [典例1](IDCD(2)A 解析：1》对于A,一y十2一0.AM到直机的距 离为2-±到-. VI 曰，此A 厚成0到直镜的E每为 时于日x十y十，反=0，点M到直战的厘离为 k2+恒+=3 w1+1 原我0到直线的是喜为滑1世B游 时下C,+y中E=0,在M到直我的是离为 12+区=☒-1， 1+I 原点0到直线的延离为一昌-1，tC正速： √1PT 时于D,x一y一夏-0，点M到直我的是离为 w2-2=1-1. T干可 辱点0到虎线的斯葛为二图-1，长D正晚共 忠AD (2)张一内已知代入点到直线的矩离会又可再 一禁-技达入 法二山直成x+2=0,得上=一2，满为直线 一2与y始平分，所以成(5，一3》列直线x+2=0的厘 寿d■5一{一2)1=7.故选A 针对辑练1】解：《1)向点P在直减3x+y一5= 0土. 设P(五，5-)： kP到直线x一y一1-0的距离冷2， 年l-5-an-厘， √+(-1 化得5一2，解得。=1我乡-2. 布1-1时，3为■5一3×1-2， 有6→2时，判-5一3×2=-1 所以成P的坐释为(1,2)表(2，-1 (2动决一由点到直线的聚奥会或耳 (2)号如，8r十4y一2=0可化为6x+8y一24■0 话a一1X0+2I-L 两直线平行， 0干下 PQ引的及小值即为两平行线间矩离，d= 法二园为重找y一1一0与重轴平粉，所以出国 知d=2-1l-1. 0- √6+8 探究三距两公式的除合度用 -1 典例精析] [典例3]解：(1)拉A(a,b),B(c:d),C(w,),剩 (3》有斜率不夺在时，基感直线：=一1到草点的 B=√(a-e)+(ad), 是离为1，不杆合观意， AC-@一m十气6一m 所风所年直值的部率是存位的 Cm√(cw)+(dn 最阶求直直的方程为y一2=x十1)： 图为对于平面上的任意三点A,B,C,基有AC十 化成一发或为红一y十g+一0 BCABI: 由恩意样2昌-号，解样一1或一不 所以、2w干下十P+( √食+T2 -c-y 城料合题意的直镜方短为y一2一一红十1)成y 《2)如图所本，作点A美于夏线：的时粹点A1,连 2--7x十1)， 接AB交I于点P,连换PA,飘直直（上开于无P的 中x十y=1=0龙7x十y十5-0 -AP.NIAPI+IBP-AP!+BP,>ABl 限究二两条平行直城同的离 -AP+IPBI-AP+8PI, [典例精桥) [典例]解(1)日为⊥上， 将以a叶2e一1)-0，持一号 (2脑为1∥红， 背以ag一1)一2=0.解特￥=2或a=-1, 与a=2时4：2x十y-1=0与k:十y十4=0平作： 售=一1时，4t一十2y1=0与4：r一y十 1=0重台，不特合题意， 此，站在P处时，才能优得AP|十 故0=2， BP取环最小量，设A阳，)，那LA:的中A在克城/ 此时，直规（到的克鼻d一 1+2×2-10-0. 2 √+7 2 上，且A4⊥，则 解得 针对调练2习答案：1A(2)号 号×()=- 解析：1)羽为直气x+2y十3=0与直战2x十 中A《3,6),所以A:B直找的方程为6之十y 0r+y-24-0. x 24=0,解考程加 z+2-10-0, 36 所两平是离公天可得， 1+2 均生格为（停）故水站建在点P(器)飞此 时1A+PB为，G一+(0-6可-√瓦 [针对调第3]书知周所京， 52 南题意可如A,B在x十y一3-0的同衡，设点日 美于直线x十y-3-0岭对称成为B(a,6),A,G,B三 点共线满风愿意，点C为使得达略租我短的“荒生做 水流” 5,2-30. 2 年1，-0， x-0-1 对于A,直线AR的针年为与二2-7，购以 2-1 特军从出发点到河连的路线所在是线的方程是y十3 7x一1)，身7—10-y-0,tA借误： 对子其联7-0-y- - 解裤 时将军 +y-3-0, 在河线按4的地点的业标为（停，碧》，批B玉确 对子C,南C选项分林可如点C(兽，营》，直c西 、2 的斜率为表 一寺所网真线CB传才程为y 8 6一8 2-号u-0,中一7y+8-0,故C每该： 对于D,lAC+|B-AC+ICB-ABI √干下一5，区，即“得军状马”走建的悬路程分5厘，就 D情误 兼速B 【随堂演炼·达标】 1.AAP(3,1)到克线1：3r+4y+a=0(a0)约 年离为3，每2+华巴-3解得a-2 w016 玉B y一1=0得P-2,点P到 12z+y+1=0. 线3+4y-1一0离8X2+4×3-1 √3+4 =1.0第二章 直线和圆的方程 随堂演练·达标 答案见P282 1.在直角坐标系中，点A(1,一2)，B(一2,2)， A.317 则A,B两点间的距离为( ) 2 R号m A.√14 B.5 C.3/17 D是m C.√31 D.25 4.以点A(一3,0)，B(3,-2),C(-1,2)为顶点 2.在△ABC中，已知A(4,1),B(7,5),C(-4, 的三角形是() 7),则BC边的中线AD的长是() A.等腰三角形 A.2w5 B.35 B.等边三角形 c n C.直角三角形 D.以上都不是 3.直线l:4x-y-4=0与4：x-2y-2=0及l2: 5.在x轴上找一点Q,使点Q与A(5,12)间的 4x+3y一12=0所得两交点的距离为( 距离为13，则Q点的坐标为 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面 几何问题。 通过本节课的学习，培养学生运用等价转化、数 2.能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有 形结合等数学思想方法解决问题的能力 关的综合问题 必备知识 梳理 答案见P282 回情境探究 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一 条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计 一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路 的长度最短？ 79 数学选择性必修第一册人教A版 国知识梳理 (4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线 一、点到直线的距离公式 间的距离.() 1.点到直线的距离的概念：过一点向直线作垂 2.两条平行直线3x-4y一2=0与3x一4y十 线，则该点与 之间的距离，就是该点 3=0之间的距离是( 到直线的距离。 A.1 B.2 C.3 D.4 2.点到直线的距离公式：点P(x0,%)到直线l: 3.直线6x+8y-2=0与6x+8y-3=0间的 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离 距离为( ) d= A.1 B.3 c n号 二、两条平行直线间的距离 4.设直线l的方程为2x十4y一3=0，直线m的 1.两条平行直线间的距离的概念：两条平行直 方程为x+2y一6=0，则直线1与m的距离 线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 为( 的长 2.两条平行直线间的距离的求法：两条平行直 A35 10 B3⑤ 5 线间的距离转化为 的距离 3.两条平行直线间的距离公式：两条平行直线 c D5 :Ax+By+C=0:Ax+By+C2=0 5.已知直线l41:x十y-1=0,l2:x十y十a=0,且 间的距离d一 两直线间的距离为v2,则a= 科学思维 二、思维探究 一、思考判断 1.当d=0时，点P与直线l:Ax+By+C=0 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“X”) 的位置关系是什么？ (1)点P(xo,yo)到直线y=k.x十b的距离为 kzo+bl( √1+2 (2)直线外一点与直线上任一点距离的最小 2.直线l:Ax+By+C=0,常数d>0,平行于1 值就是点到直线的距离.( 且与l的距离为d的直线有几条？ (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点 到另一条直线的距离，也可以看作是两条直 线上各取一点的最短距离.() 关键能力 ·探究 答案见P2831 探究一 点到直线的距离 ⊙典例精析 【典例1】(1)（多选）在平面直角坐标系中，点 自知识深化 M的坐标为(2，√2)，则点M、原点O到直 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注 线的距离为1的直线方程有() 意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察 A.y=x+√2 B.y=-x-√2 一些量的变化，从而达到解决问题的目的， C.y=-x+√2 D.y=x-√2 80 0第二章 直线和圆的方程 (2)点(5，-3)到直线x十2=0的距离等于 @典例精析 ( 【典例2】已知直线l1:ax十2y-1=0与l2:x+ A.7 B.5 C.3 D.2 (a-1)y+a2=0(a∈R). 名师点拨 (1)若l1⊥l2,求a的值； L.使用点到直线的距离公式时，首先把直线方 (2)若l1∥12，求直线4到2的距离. 程化为一般式，再利用公式求解 2.已知，点到直线的距离求参数时，只需根据公 式列方程求解参数即可： [针对训练1](1)若点P在直线3x+y-5=0 上，且点P到直线x一y一1=0的距离为√2，求 点P的坐标； (2)求点P。(一1,2)到直线y一1=0的距离； [针对训练2](1)已知直线x+2y+3=0与直线 (3)求过点A(一1,2)且到原点的距离等于号的 2x十my十1=0平行，则它们之间的距离为( 直线方程 A停 B.√10 c D. (2)已知P,Q分别为直线3x+4y一12=0与 6x+8y+1=0上任意一点，则|PQ的最小值 为 探究目 距离公式的综合应用 自知识深化 1.最值问题 (1)利用对称转化为两点之间的距离问题. 探究二两条平行直线间的距离 (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直 线的距离. ●知识深化 (3)利用距离公式将问题转化为一元二次函 求两条平行直线间距离的两种方法 数的最值问题，通过配方求最值， (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一 2.求参数问题：利用距离公式建立关于参数的 条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线 方程或方程组，通过解方程或方程组求值， 距为点线距来求 3.求方程的问题：立足确定直线的几何要 (2)公式法：设直线l1:Ax十By+C=0,l2: 素一一点和方向，利用直线方程的各种形 Ax十By十C2=0,则两条平行直线间的距离 式，结合直线的位置关系（平行直线系、垂直 d=IC-Cl 直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程， √A+B 在此基础上解决。 81 数学选择性必修第一册人教A版 @典例精析 名师点拔 【典例3】(1)设a,b,c,d∈R,求证：对于任意m,nE 应用距离公式解答有关问题的注意事项 R,√/(a-m+(b-n+√(c-m十(d-n≥ (1)直线的方程是一般式，在用两平行线间 的距离公式时，两方程中x,y的系数分别相等； √/(a-c)2+(b-d)2. (2)要结合图形，帮助解答； (2)假设阀中七里、江南两镇在一平面直角 (3)求直线方程时，要特别注意斜率不存 坐标下的坐标为A(1,2),B(4,0),嘉陵江 在的情况. 所在的直线的方程为1：x+2y一10=0，若 在嘉陵江边1上建一座供水站P使之到A, [针对训练3]唐代诗人李颀的边塞诗《古从军 B两镇的管道最短，问供水站P应建在什 行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍 么地方？此时|PA十|PB为多少？ 交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下 某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才 能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将 军的出发点是A(2,4),军营所在位置为B(6, 2),河岸线所在直线的方程为x十y一3=0，若 将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军 饮马”)的总路程最短，则() A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方 程是6x-y-8=0 B将军在河边饮马的地点的坐标为（侣，》 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程 是x-6y十6=0 D.“将军饮马”走过的总路程为5 随堂演练·达标 答案见P2841 1.若点P(3,1)到直线l:3x+4y+a=0(a>0) 3.已知点A(1,3),B(3,1),C(0,0),则△ABC 的距离为3，则a等于( 的面积为() A.2 B.3 c D.4 A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知直线l与两直线l1:2x-y十3=0和l2: 2.已知点P为直线l1:x十y一1=0与l2:2x十 2x一y一1=0平行且距离相等，则直线1的 y十1=0的交点，则点P到直线3x十4y 方程为 1=0的距离为( ) A号 B.1 c号 D16 .。82