2.3.2 两点间的距离公式-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

数学选择性必修第一册人教A版 @典例精析 C.3x-y-3=0D.4x-y-5=0 【典例3】一条光线从点P(一1,5)射出，经直线 [针对训练3]已知直线l:x一y=0,则点 x一3y十1=0反射后经过点(2,3)，则反射 A(一1,4)关于1对称的点的坐标为() 光线所在直线的方程为( A.(4,1) B.(4,-1) A.2x-y-1=0B.x-2=0 C.(-1,-4) D.(1,4) 随堂演练 ·达标 答案见P2801 1.直线2x一y+6=0与直线x十y=3的交点 A(侵2) B(号o 坐标是( ) A.(3,0) B.(-1,4) c(-2 D.(2,+∞) C.(-3,6) D.(4,-1) 4.已知直线41：ax十y一6=0与l2:x十(a 2.经过两条直线4：x十y=2,l2:2x一y=1的 2)y十a一1=0相交于点P,若l⊥l2,则a 交点，且直线的一个方向向量v=(一3,2)的 ,此时点P的坐标为 直线方程为( 5.经过两条直线2x-3y十3=0，x-y十2=0 A.2x+3y-5=0B.2x+y+2=0 的交点，且与直线x一3y一1=0平行的直线 C.x+2y-2=0 D.x-y-7=0 的一般式方程为 3.两条直线2x-my+4=0和2m.x+3y-6=0 的交点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( 2.3.2 两点间的距离公式 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，并能灵活应用. 掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法， 2.了解坐标法的解题步骤 并能用两点间距离公式求两点间的距离。 必备知识 ·梳理 答案见P2811 ○情境探究 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在 计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便 居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站 点到两个小区的距离之和最小？ .。76 。第二章直线和圆的方程 国知识梳理 3.若A(4,0)与B点关于点(2,1)对称，则B点 两点间的距离公式 坐标为( 1.平面内两点P(x1,y),P2(x2,y2)间的距离 A.(0,4) B.(0,2) 公式|PP2|= C.(-2,4) D.(4,-2) 2.两点间距离的特殊情况 4.已知两点M(0,3),N(4,0),则MN=() (1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离 A.3 B.5 C.9 D.25 OP= (2)当PP2∥x轴(y=2)时，PP2|= 5.设m∈R,直线l:x+my+1=0过定点P, 直线l2:mx一y一2m十2=0过定点Q,则 (3)当PP2∥y轴(x1=x2)时，|PP2|= |PQ=() A.√13 B.5 C.√3 D.1 ©科学思维 二、思维探究 一、思考判断 在平面直角坐标系中，若两点P1(一5，一2)，P2 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (3,4),则它们的距离是多少？如何转化为坐标 (1)平面内两点间的距离公式不适用于坐标 轴上的点.( 轴上（或平行于坐标轴）的距离问题？ ) (2)当P1P2∥y轴(x1=x2)时，|PP2|= 2-h1.() (3)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离 OP=√2+y.() 2.已知A(-1,2),B(0,4),点C在x轴上，且 AC=|BC,则点C的坐标为( A(-o) B(0,-2》 c.(o.) 关键能力 探究 答案见P2811 探究一 求两点间的距离 B(3,一3)，C(1,7),试判断△ABC的形状 自知识深化 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P(1,y)和P2(x2,y2), |PP=V(x2-x)2+(-). (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可 名师点拔 直接利用距离公式的特殊情况|y2一y|或 利用坐标平面内两点间的距离公式可以 |x2一x|求解 求平面上任意两个已知，点间的距离.反过来， ⊙典例精析 已知两点间的距离也可以根据条件求其中 【典例1】已知△ABC的三个顶点A(-3,1), 个点的坐标， 数学选择性必修第一册人教A版 [针对训练1]直线y=x上的两点P,Q的横坐 [针对训练2]已知四边形ABCD是边长为1 标分别是1,5，则1PQ等于( 的正方形，点P是正方形内一点，且点P到边 A.4 B.4√2 C.2 D.2√2 AD的距离为x,点P到边AB的距离为y: 探究二 坐标法的应用 (1)用x,y表示|AP|+|BP|+ICPI+|DPI: (2)求|AP+|BPI+|CP+|DP|的最小值 自知识深化 1.用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质 不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的 平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之 分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁 就简” 2.利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量， (2)进行有关代数运算. (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论 @典例精析 【典例2】已知Rt△ABC,∠B为直角，AB=a, BC=b,建立适当的坐标系，写出顶点A,B, 探究三 应用两点间距离公式求最值 C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三 个顶点的距离相等。 自知识深化 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面 上两个式子的和或差的最小值或最大值，先利 用式子的几何意义和对称思想，转化为两点之 间的距离，再利用两点间的距离公式求值 @典例精析 名师点拨 【典例3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合 百般好，割裂分家万事休.”事实上，有很多 利用坐标法解决几何问题时，关键是要结 代数问题可以转化为几何问题加以解决， 合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系 是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建 如：√(x-a)2+(y一b)产可以转化为点(x, 系的原则主要有两点： y)到点(a,b)的距离，则√x2+I+ (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样 √x2一4x+8的最小值为() 便于运算. A.3 B.2√2+1 (2)如果条件中有互相垂直的两条线，要 C.23 D.√13 考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称 [针对训练3]已知x,y∈R,S=√(x+1)2+Y十 图形，可考虑将中心作为坐标原点；如果有轴 对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴 √(x一1)2+y2,则S的最小值是 。78 0第二章 直线和圆的方程 随堂演练·达标 答案见P282 1.在直角坐标系中，点A(1,一2)，B(一2,2)， A.317 则A,B两点间的距离为( ) 2 R号m A.√14 B.5 C.3/17 D是m C.√31 D.25 4.以点A(一3,0)，B(3,-2),C(-1,2)为顶点 2.在△ABC中，已知A(4,1),B(7,5),C(-4, 的三角形是() 7),则BC边的中线AD的长是() A.等腰三角形 A.2w5 B.35 B.等边三角形 c n C.直角三角形 D.以上都不是 3.直线l:4x-y-4=0与4：x-2y-2=0及l2: 5.在x轴上找一点Q,使点Q与A(5,12)间的 4x+3y一12=0所得两交点的距离为( 距离为13，则Q点的坐标为 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面 几何问题。 通过本节课的学习，培养学生运用等价转化、数 2.能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有 形结合等数学思想方法解决问题的能力 关的综合问题 必备知识 梳理 答案见P282 回情境探究 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一 条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计 一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路 的长度最短？ 79解折：直线w十y-6=0与4：十(a-2)y十 4-1=0相交于点P,且1⊥ 六a×1+1×(a-2)=0,期a=1, x=3: ,P3,3). 5.菁案：g一影一0 解析：南泰是线2x一3y+3一0，r一y+2-0的变 杰为一3，一1D,斯以所米直战为y十1-言（十3，中 -3y-g 13.2雨点间的题离公式 【必备知识·植理】 信境累究】 提术：平直内肉点的距真等于这两点的情坐标之差 与风坐标之差的平方和算术平方制： [知识被理] L.4一+外一为了 2.(1+y(2)113》为-h 【利李愿维] -,1.(1)×(2)/(30/ 2.D 3.B 4.B 5A 二.提示：它们的是离是10建点月作y轴的套 线，过点尸作x结的垂规，两重线相交于点严：则 PP=B.1P:P1=6,则由勾段定理得引P,P|= +6=10. 【关键能力·探究】 探究一求两点间的面离 【典例精析] [典例门解：考法 :14B一v(3+3+-3-1y =/52=2/13, 1A■V1+3)+(7-1y■√52m2v13. 又1--3+(7+下-10丽-2w%, 1ABP+AC2-1BC“,且AB-C1, :△ABC是等楼是角三角酸. -1 如二- 六kc“e=一1， ACLAB CP)+《IBP+DP)≥AC+HBD=2,豆， 又AC-√1干3)干一1=v2-2v百. 所以最小值为2爱 14B川-v3十3)+-J一1-2-2w/T, 探究三皮用两点同距离公式求最值 ACI-ABL 【典例精析] △ABC是苹腰直角三用形 [典例3]D 行+行-干8 [针对谓旅1]B南超意得P(1,1》,以5.5》，所 -0)+(0-1p+√一20+(0一2. |PQ=+不=4v及戴选且 可以看作APx,0)判点A(0,1),B(2,2)射鹿离 鼠究二坐标法的座用 之和， [先例精析】 作点A美于x0的时称无A'(0。一1)，星感当B: [先例]解：以B为染解原元，保边4所我的直气 P,A三原共线时，取到藏小值，最小值为B,A同的垂 为r精，连C所在的直线为y做，建立平面直角坐相 离干罗一愿 系，如图所示，刺三个重点的坐释身别为A《@,0》,(0, 耸选B D),C《0,).由中点是标会式科针造C的中点M的皇标 [针对润练3]答案：2 为（堡）所-√a一)+(0-舒- 解析：S一√(a+下+y中√（一+了表本点 P红，y)到成A(一1,0》与杰以1.0)的原离之和.野S 合干， PA|十|PB,如图所求： C.6 08Aa.0末 由图象加S=|PA1+1PBAB=2, 与点P在且山上时，￥号点之 1-√0-受+(0T-专+， 所以S取算最小懂为2 Mc-√0-+-T-生+， 【随堂演练·达标】 L.B1481=w(-2-1D+(2+2T-5 所MA-1MB引=AMC. [针对调陈2]解：《1山以AB所在真线为x陆，AD 2CC边的中在D(层，6)由两减之何的厘离 网在直为y轴建主平面直角矣极惠，加周所帝，副 公风可得 P(z.y). 1AD1-√得-+6-1y- y-4=0, - 3D由 x-2y-2=0 A0,0,B1,03,C1,1,DA0,1), 华A(号一号) 阶x|AP+HP+CP+DP=√F++ y-4=0, x-+7+√-1+Gy-1T+√2+-1 xr+3y-12=0, y-2 r∈(0,1，y€0,10 (2为AP+P+CP+DP=(AP+ Na1-V(停+（一可 √侣+-是m.选D 4C1AB1--33+0+2下-2/0. C-/一1一a+2-4②， 4AC-一1+3》+(20-22， AC+IBC-ABP 所实三角形AC是直角三角形。 故远C 三答案1(0,0》减(10,0) 解析：设Q(,0),附有√-5)+12■13，解 样■0或和■10群Q0,00或Q10,0) 13,3点到直线的距离公式 234两条平行直线闻的距南 【必备知识·被理】 [情境探克！ 镯示：铺议一条从饭馆到公路的垂直璃路，道路的 长度最短 [知识模理 一，1.是 2 IAn+uy+c √A+ 二，1.公重线双 工.应到直战 3 [科学思唯 一.1.1)×(2)/(3》/〔40× 名A由平行战距第公成可拼一=一头一L +4 故选入 3C由平行气闻的足离会式可加，直线6：十ay一 2=0与十8一3=0河约垂高势=后计号-品 战退G 未C直找w的方度了化为2x十y一12=0，图 先，直我1为m的矩离为d-二3士19点 +6 放选C 5.答案：一3或1 二授示：L当d一0时，点P在直线1上， 工两条