2.3.1 两条直线的交点坐标-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

3.A周为直线r十(2一ay■0与直直x一ay十 1=0相至合直. 所以gX1+(2一)×《一)=4 所以一a=0,所以a=1煮a=0, 所以”a-1是“直底士十(2-u}y=0与直线上 y十10相◆”的无分不必要最件 4.D设所求直线的方鞋为2+y+:=0(≠1)： 其在y轴上的戴亚为一E, 因为司=5，得c一5表一. t所尽直线的方程为2十y+后=0我五十y 五苦案过 解析：女斑套得 nx(-o-ae-:特a=分 11×1≠(a-1)×(-1》, 工3直线的交点坐标与距离公式 23】两条直线的交点坐标 【必备知识·植理】 〔情境裂究] 提界：Am+Bx十C=Q 〔妇供城理] 相交重合半行 〔科学把推] -.L,(1√2√3)/ 2.A3D4(3.4) 二，提示①×B一②XB,得(A-AB)上+ BC一BC-0 若A:品一AA,■0，品C一品C■0，则方整组有 无穷多解. 若A,出一A:B=0,C=出C≠0，别方程组 无解. 若A,品一A品0，方程组有性—一组解。 【关键能力·探究】 探究一两直城的交点闷是 典闲精析] 62+4y-2=0, [典例】解：1)解方根红 2e+y+2-0, 降以复技名与山相克，卫交A生行为（一是》 又需为所桌直线与直线x一y十4■0平行 (2)耗立直线每山的旁红得方根量 国先芸益-1≠经)解年-一 2z-6y+3=0,① 所以将水直成才程为一划+1一子（++ -+量 。×5,整理得2x一y十3=0，牌方 4)=0,中x一y0, 程函可误化为才程①，斯以上与重台 [蛮式)解：发一解方程组 (3)联立直线1考4的方程待才程创 3z-2y+1-0, 十y十=0，① 将两直线的义点是标为（一1： rt3y+4-0, 由①×2一②，得1一0，财方程且无 2r+8y+3-0,② -1),经所求直线为x十y十：=A 解商以与山无会共点，即 又离为蓝直找过点（一1，一1）. 2x十y-1=o, 所以-1+(-1》十c0,即r=2, 竹对瑞练1】解1(1》 x-2y+7=0 戴所康直战方程为x十y十2■0 解得x=一1,5y=3 满二国为所米直线经垃克线3r一2y十10 背误直线l42r+y一1=0和直线4E一2y十T-0 和真找x十3十4=0的交点， 交，交点标是（一1,3 所以可夜直找方程为 (2将直线41：2x一3y+a2+1=0和直线4：4：一 3x-2y+1+12+8y+4)-0. 6,十a=0化为针餐式可为 年(3+A):-2-动3+1+41■Q 直线一票叶学，直线y-寻+景，网 又菌为所桌直线与直(x一y十4=0春直。 3 为线名线与片件中和华，宁-号无解。 斯以3+》X1+42-》X1=0,解挥=意 序所表直线方柱为x十y十2一Q 所误两直汽平行 +y+10, 限究二过两直线交点的直战麻方程 [针对澜练2】C联意方程 2x+y+5=0, 「典例精析) xm一4， 3r-2y+1=0, [典例2]解：法一解岁橙 得 y=3 1x+3y+4-0. 所以直气x十y十1■0和2x十y十5■0的变高为 局是抗的交表业标为（一1，一1） （一4：30. 义四为所求重线与x一y十4一平行，械是线的料 由题意可如所米直线的林果存在且不为0，设为★ 率为1.于是南直机的.五斜式方程求得y一（一1）一x 〔使≠0)， 《-1),x=y=0 可加所水直战方程为y一3一(1+4 法二目为所水直线与重战士一y十4一0平行 伞x0,军杆y■4h+3:令y=0.可样xm 所议T这所泉直为x一y十rO(≠4以， 复因为填直线过直线3r一2y十1=0与直线：十 3y十4=0的交点《一1.一1)： T如直履y一小-（十）在+y轴上特夜延分刺 代人x一y十e=0 为-4-是，4+3 开-1一(-1)十c-0.年r=0. 放所桌直线方程为工一y一0 法三日为所来直线经建直找3一2十1=0和 直我1+3y十4一0物交点，所以可登直成才程为8士 0,解得-1一 2y+1+1(x+3r+40=0, 所以所求直线方程为士y十7一0表3+一0. (3+A》r一(2-3)y十1+4A=0, 放法已 探究三对常问超 [典例精析】 [典例】B登，点P(一1.5)头个直线士-3y十1 0的对称点为尸(a,)。 x 号-3×空+1-a 2 0+2新- 化黄得。一3站-1-0 故成射光些过点(2。一4)，(2,3)， 附反射光所在直机的方程为x一2一0 北选B [针对谓练3]B接先A(一1,4)美下1对种的克 -1, 为A(e,),副 l6=-1 楼且 【随堂演练·达标】 1.B2r一y十6-0① x+y-8② ①十②3r■-=>x=-1…③ ①代入密有y-m国 为⑧③得交点坐称为（一1,4， 故选丑 2A花立才程ay=:解件·野两正 2z-y-1. b=. 线的交流是标南1,1》， 两为直线的一个方向向是”一（一3,2），可得所求 直我的外单为意一一号 所g所表直线者糕为一1一一红-》，即2十 3y-5-0. 枚选A 玉C解会两直技的克点为钾寻，计得》，南交 3m 点在第二象限，开 杯年mE(一幸2孙 崇， 4苦案11(3,3) 解折：直线w十y-6=0与4：十(a-2)y十 4-1=0相交于点P,且1⊥ 六a×1+1×(a-2)=0,期a=1, x=3: ,P3,3). 5.菁案：g一影一0 解析：南泰是线2x一3y+3一0，r一y+2-0的变 杰为一3，一1D,斯以所米直战为y十1-言（十3，中 -3y-g 13.2雨点间的题离公式 【必备知识·植理】 信境累究】 提术：平直内肉点的距真等于这两点的情坐标之差 与风坐标之差的平方和算术平方制： [知识被理] L.4一+外一为了 2.(1+y(2)113》为-h 【利李愿维] -,1.(1)×(2)/(30/ 2.D 3.B 4.B 5A 二.提示：它们的是离是10建点月作y轴的套 线，过点尸作x结的垂规，两重线相交于点严：则 PP=B.1P:P1=6,则由勾段定理得引P,P|= +6=10. 【关键能力·探究】 探究一求两点间的面离 【典例精析] [典例门解：考法 :14B一v(3+3+-3-1y =/52=2/13, 1A■V1+3)+(7-1y■√52m2v13. 又1--3+(7+下-10丽-2w%, 1ABP+AC2-1BC“,且AB-C1, :△ABC是等楼是角三角酸. -1 如二- 六kc“e=一1， ACLAB CP)+《IBP+DP)≥AC+HBD=2,豆， 又AC-√1干3)干一1=v2-2v百. 所以最小值为2爱 14B川-v3十3)+-J一1-2-2w/T, 探究三皮用两点同距离公式求最值 ACI-ABL 【典例精析] △ABC是苹腰直角三用形 [典例3]D 行+行-干8 [针对谓旅1]B南超意得P(1,1》,以5.5》，所 -0)+(0-1p+√一20+(0一2. |PQ=+不=4v及戴选且 可以看作APx,0)判点A(0,1),B(2,2)射鹿离 鼠究二坐标法的座用 之和， [先例精析】 作点A美于x0的时称无A'(0。一1)，星感当B: [先例]解：以B为染解原元，保边4所我的直气 P,A三原共线时，取到藏小值，最小值为B,A同的垂 为r精，连C所在的直线为y做，建立平面直角坐相 离干罗一愿 系，如图所示，刺三个重点的坐释身别为A《@,0》,(0, 耸选B D),C《0,).由中点是标会式科针造C的中点M的皇标 [针对润练3]答案：2 为（堡）所-√a一)+(0-舒- 解析：S一√(a+下+y中√（一+了表本点 P红，y)到成A(一1,0》与杰以1.0)的原离之和.野S 合干， PA|十|PB,如图所求： C.6 08Aa.0末 由图象加S=|PA1+1PBAB=2, 与点P在且山上时，￥号点之 1-√0-受+(0T-专+， 所以S取算最小懂为2 Mc-√0-+-T-生+， 【随堂演练·达标】 L.B1481=w(-2-1D+(2+2T-5 所MA-1MB引=AMC. [针对调陈2]解：《1山以AB所在真线为x陆，AD 2CC边的中在D(层，6)由两减之何的厘离 网在直为y轴建主平面直角矣极惠，加周所帝，副 公风可得 P(z.y). 1AD1-√得-+6-1y- y-4=0, - 3D由 x-2y-2=0 A0,0,B1,03,C1,1,DA0,1), 华A(号一号) 阶x|AP+HP+CP+DP=√F++ y-4=0, x-+7+√-1+Gy-1T+√2+-1 xr+3y-12=0, y-2 r∈(0,1，y€0,10 (2为AP+P+CP+DP=(AP+ Na1-V(停+（一可 √侣+-是m.选D 4C1AB1--33+0+2下-2/0. C-/一1一a+2-4②， 4AC-一1+3》+(20-22， AC+IBC-ABP 所实三角形AC是直角三角形。 故远C 三答案1(0,0》减(10,0) 解析：设Q(,0),附有√-5)+12■13，解 样■0或和■10群Q0,00或Q10,0) 13,3点到直线的距离公式 234两条平行直线闻的距南 【必备知识·被理】 [情境探克！ 镯示：铺议一条从饭馆到公路的垂直璃路，道路的 长度最短 [知识模理 一，1.是 2 IAn+uy+c √A+ 二，1.公重线双 工.应到直战 3 [科学思唯 一.1.1)×(2)/(3》/〔40× 名A由平行战距第公成可拼一=一头一L +4 故选入 3C由平行气闻的足离会式可加，直线6：十ay一 2=0与十8一3=0河约垂高势=后计号-品 战退G 未C直找w的方度了化为2x十y一12=0，图 先，直我1为m的矩离为d-二3士19点 +6 放选C 5.答案：一3或1 二授示：L当d一0时，点P在直线1上， 工两条0第二章 直线和圆的方程 随堂演练·达标 答案见P2781 1.已知直线2x十ay十b=0在x轴、y轴上的截 C.充要条件 距分别为-1,2，则a,b的值分别为() D.既不充分也不必要条件 A.-1,2 B.-2,2 4.平行于直线2x+y十1=0，且在y轴上的截 C.2,-2 D.-2,-2 距的绝对值为5的直线的方程是() 2.直线ax十by十c=0同时要经过第一、第二、 A.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 第四象限，则a,b,c应满足( B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 A.ab0,bc<0 B.ab0,bc0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 C.ab<0,bc0 D.ab<0,bc<0 D.2x+y+5=0或2x+y-5=0 3.“a=1”是“直线ax十(2-a)y=0与直线x一 5.直线x十2ay-1=0与(a-1)x-ay+1=0 ay+1=0相互垂直”的() 平行，则a的值为 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 学业目标·定位 课标要求 学习目标 掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知 会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交 条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性 的性质，解决与直线相交有关的问题。 质求待定参数 必备知识 ·梳理 答案见P2791 目情境探究 点与直线的关系是什么？ 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入 几何元素 代数表示 平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示 直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐 点A A(m,n) 标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方 程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进 直线 l:Ax+By十C=0 行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两 条直线的交点坐标以及平面内两点间距离 点A在直线1上 问题 73 数学选择性必修第一册人教A版 国知识梳理 2.直线x-2y+3=0与2x-y+3=0的交点 两条直线的交点坐标 坐标为() 直线1：A1x十B1y+C1=0(A1,B1不同时为 A.(-1,1) B.(1,-1) 0),l2:A2x+B2y十C2=0(A2,B2不同时为0) C.(1,1) D.(-1,-1) 的位置关系如下表所示. 3.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直 线方程是( 方程组 A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 Aix+By+C=0, 一组 无数组 无解 C.2x十y-3=0 D.x十2y-3=0 A2x+B2y+C2=0 4.不论a为何实数，直线l:(a十2)x一(a十 的解 1)y=2一a恒过一定点，则此定点的坐标为 直线1和l2 一个 无数个 零个 公共点的个数 二、思维探究 直线（和l2 A1x+By+C1=0,①， 的位置关系 如何判定方程组 解的 A2x+B2y+C2=0,② 圈科学思维 个数？ 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)若由两直线的方程组成的方程组只有一 个公共解，则两直线相交.() (2)若两直线的斜率都存在且不等，则两直线 相交.() (3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在 时，两直线也相交.() 关键能力 ·探究 答案见P279 探究一 两直线的交点问题 (3)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0. 鲁知识深化 求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解 二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其 他条件求解。 典例精析 【典例1】判断下列各对直线的位置关系，如果 名师点拔 相交，求出交点的坐标。 方程组有唯一解，说明两直线相交；方程 (1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y十2=0； 组无解，说明两直线没有公共点即两直线平 (2②：2x-6y+3=0,h:y=3+2: 行：方程组有无数个解，说明两直线重合 …74 。第二章直线和圆的方程 [针对训练1]判断下列各对直线的位置关系， [变式]将本例条件中的“平行”改为“垂直”，其 如果相交，求出交点的坐标 他条件不变，求直线的方程， (1)直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+7=0; (2)直线l:2x-3y十a2+1=0和直线l2:4x 6y+a=0. 名师点拨 1.涉及两直线交点的问题，通常是先求交点坐 标，再进一步解决问题 2.如果利用平行直线系或垂直直线系求直线 方程，就一定要注意系数及符号的变化 探究二 过两直线交点的直线系方程 规律 [针对训练2]经过直线x+y+1=0和2x+ 自知识深化 y十5=0的交点，且在两坐标轴上的截距之和 具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称 为0的直线方程为( 之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现 A.x+y+7=0 出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线 B.x-y+7=0 系有： C.x-y十7=0或3x十4y=0 (1)过已知点P(,%)的直线系方程为y一= D.x+y+7=0或3x十4y=0 k(x一x0)(k为参数).（但不包含直线x=) (2)斜率为k的平行直线系方程为y=kx十b(b 探究三对称问题 为参数) (3)与已知直线Ax+By十C-0平行的直线系 自知识深化 方程为Ax十By十λ=0（入为参数） 解决对称问题的方法 (4)与已知直线Ax十By十C=0垂直的直线系 (1)中心对称 方程为Bx一Ay十入=0（入为参数） ①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P(x',y) (5)过直线l4:A1x十B1y十C=0与l2:A2x十 x'=2a-x, 满足 B2y十C2=0的交点的直线系方程为A1x十 y'=2b-y. B1y十C1十A(A2x十B2y十C2)=0(A为参数). ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称 (但不包含直线A2x+十B2y+C2=0) 问题来解决。 ⊙典例精析 (2)轴对称 ①点Q(a,b)关于直线Ax十By十C=0(B≠0) 【典例2】求经过直线3x一2y+1=-0和直线 x十3y+4=0的交点，且平行于直线x 的对称点为Q(m,n), y十4=0的直线方程. m-a )=-1, 则有 A.m+B.”+C=0. 2 气 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的 对称问题来解决， 75 数学选择性必修第一册人教A版 @典例精析 C.3x-y-3=0D.4x-y-5=0 【典例3】一条光线从点P(一1,5)射出，经直线 [针对训练3]已知直线l:x一y=0,则点 x一3y十1=0反射后经过点(2,3)，则反射 A(一1,4)关于1对称的点的坐标为() 光线所在直线的方程为( A.(4,1) B.(4,-1) A.2x-y-1=0B.x-2=0 C.(-1,-4) D.(1,4) 随堂演练 ·达标 答案见P2801 1.直线2x一y+6=0与直线x十y=3的交点 A(侵2) B(号o 坐标是( ) A.(3,0) B.(-1,4) c(-2 D.(2,+∞) C.(-3,6) D.(4,-1) 4.已知直线41：ax十y一6=0与l2:x十(a 2.经过两条直线4：x十y=2,l2:2x一y=1的 2)y十a一1=0相交于点P,若l⊥l2,则a 交点，且直线的一个方向向量v=(一3,2)的 ,此时点P的坐标为 直线方程为( 5.经过两条直线2x-3y十3=0，x-y十2=0 A.2x+3y-5=0B.2x+y+2=0 的交点，且与直线x一3y一1=0平行的直线 C.x+2y-2=0 D.x-y-7=0 的一般式方程为 3.两条直线2x-my+4=0和2m.x+3y-6=0 的交点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( 2.3.2 两点间的距离公式 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，并能灵活应用. 掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法， 2.了解坐标法的解题步骤 并能用两点间距离公式求两点间的距离。 必备知识 ·梳理 答案见P2811 ○情境探究 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在 计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便 居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站 点到两个小区的距离之和最小？ .。76