2.2.3 直线的一般式方程-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

数学选择性必修第一册人教A版 2.2.3直线的一般式方程 学业目标 ·定位 课标要求 学习目标 1,理解与掌握直线的一般式方程的形式及条件，会求直线的 一般式方程 通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程 2.能准确的将直线的五种形式的方程进行形式上的转换，理 的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式 解直线的代数形式与几何意义. 直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有 3.会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求 关的问题，并能解决与之有关的综合问题， 解，能解决与直线有关的综合问题. 必备知识 ·梳理 答案见P2771 目情境探究 (2)因为二元一次方程的每一组解都可以看成 平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方 有一天，笛卡尔生病卧床，但他一直在反复思考 程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一 一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比 次方程的 的集合，这些点的集合组成 较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？同 一条直线。 样几何图形可不可以通过代数形式来表达？于 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程 是他拼命琢磨.不经意间，他看见屋顶角上的一 是直角坐标平面上一条确定的 只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿蜘蛛又顺着丝 反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用 爬上去，在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”，使笛 一个确定的 表示 卡尔思路豁然开朗，最后笛卡尔受蜘蛛织网的 科学思维 启示提出了平面直角坐标系.对于平面直角坐 一、思考判断 标系，它是把二元一次方程和直线联系起来的 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“X”) 桥梁，之前学习的直线的四种方程形式分别是 (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意 什么？ 一条直线.() (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式， () (3)关于x,y的二元一次方程Ax+By十C= 国知识梳理 0(A,B不同时为0)一定表示直线.() 直线的一般式方程 2.直线x十(a2+1)y十1=0的倾斜角的取值范 (1)直线的一般式方程 围是( ) 关于x,y的二元一次方程 (其中 A[0,] [ A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称 c[o,]U(受D[u[n .。70 。第二章直线和圆的方程 3.如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax十 方程表示的直线： By+C=0不通过( ①平行于x轴？②平行于y轴？③与x轴重 A.第一象限 B.第二象限 合？④与y轴重合？ C.第三象限 D.第四象限 4.过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方 程为 二、思维探究 在方程Ax十By十C=0中，A,B,C为何值时， 关键能力 ·探究 答案见P277 探究一 直线的一般式方程 [针对训练1](1)求与直线3x+4y+1=0平 行且过点(1,2)的直线l的方程； 知识深化 (2)求经过点A(2,1)且与直线2x+y一10=0 在求直线方程时，根据条件，应先选择适当的直线 垂直的直线1的方程. 方程的形式，最后再化成一般式方程选择直线方 程的形式时，应注意各种形式的适用条件.若采用 点斜式，应先考虑斜率不存在的情况：若采用截距 式，应注意分类讨论，判断截距是否为零 ©典例精析 探究二直线的平行与垂直问题 【典例1】根据下列条件分别写出直线的方程， 并化为一般式方程. 知识深化 已知一般式方程的两直线位置关系的表示 (1)斜率是3，且经过点A(5,3): (2)斜率为4，在y轴上的截距为一2； 4:Ax+By+C=0 (A+B≠0) (3)经过A(-1,5),B(2,一1)两点； 直线方程 l2:A2x+B2y+C2=0 (4)在x轴、y轴上的截距分别是一3，一1. (A经+B路≠0) 4与2相交 会≠量A品0 的充分条件 (或A1B2一AB1≠0) l与l2平行 会-盘≠8(AaG≠0)（安 的充分条件 A1B2-AB=0, 名师点拔) B1C2-B2C1≠0 求直线方程时，要求将方程化为一般式方 h与l2垂直 A1A2+BB2=0 程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系 的充要条件 数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、 4与l2重合 会-常2ABG0 含y项、常数项顺序排列， 的充分条件 (A:B:-A:B1=0, 或 注意：要注意斜率不存在或者为0时的情况 B C2-B2C=0 71 数学选择性必修第一册人教A版 @典例精析 2.假如有一定点A的坐标为(m,n),那么过该 【典例2】已知直线l1:x十2ay十1=0，直线l2: 定点的直线的表达式为y=k(x一m)十n或 (3a-1)x-ay-7=0. 者是x=m. (1)若41⊥2，求实数a的值； ©典例精析 (2)若1∥2，求实数a的值. 【典例3】已知直线1的方程为x一my+2=0, 则直线() A.恒过点（一2,0）且不垂直x轴 B.恒过点（一2,0）且不垂直y轴 C.恒过点(2,0)且不垂直x轴 D.恒过点(2,0)且不垂直y轴 名师点拔 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值， 得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的 交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而 问题得解」 (2)若整理成y一yo=k(x一x6)的形式，则 表示的直线必过定点(x0) [针对训练3]设直线l的方程为(a十1)x十y十 名师点拨 2-a=0(a∈R). 与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点； (1)与直线A.x+By十C=0平行的直线方 (2)若直线L在两坐标轴上的截距相等，求直线 程可设为Ax十By十m=0(m≠C). l的方程； (2)与直线Ax十By十C=0垂直的直线方 (3)若直线l不经过第二象限，求a的取值 程可设为Bx-Ay十m=0. 范围。 [针对训练2]直线1过点（一1,2），且与直线 2x一3y十4=0垂直，则1的方程是( A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 探究三定点问题 自知识深化 1.如果一条直线经过某一定点，那么这条直线 就是过该定点的直线.这里面可以看出，过一 个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数 条直线组成。 .72 0第二章 直线和圆的方程 随堂演练·达标 答案见P2781 1.已知直线2x十ay十b=0在x轴、y轴上的截 C.充要条件 距分别为-1,2，则a,b的值分别为() D.既不充分也不必要条件 A.-1,2 B.-2,2 4.平行于直线2x+y十1=0，且在y轴上的截 C.2,-2 D.-2,-2 距的绝对值为5的直线的方程是() 2.直线ax十by十c=0同时要经过第一、第二、 A.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 第四象限，则a,b,c应满足( B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 A.ab0,bc<0 B.ab0,bc0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 C.ab<0,bc0 D.ab<0,bc<0 D.2x+y+5=0或2x+y-5=0 3.“a=1”是“直线ax十(2-a)y=0与直线x一 5.直线x十2ay-1=0与(a-1)x-ay+1=0 ay+1=0相互垂直”的() 平行，则a的值为 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 学业目标·定位 课标要求 学习目标 掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知 会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交 条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性 的性质，解决与直线相交有关的问题。 质求待定参数 必备知识 ·梳理 答案见P2791 目情境探究 点与直线的关系是什么？ 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入 几何元素 代数表示 平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示 直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐 点A A(m,n) 标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方 程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进 直线 l:Ax+By十C=0 行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两 条直线的交点坐标以及平面内两点间距离 点A在直线1上 问题 73(2)由于i0A1+0B-a+6-(a+(+） 5计普+音5+2√曾号=，当具仅曾=务：中 g一6L一3时取等专， 所以毒一6，b=8时，Q4十OB川的量最小，此 时直线1的方程为看十音=1 [针对训练3]答案：十-1或2十子-1 解析：敏题意，直线！的两个看延年不为0，故设直 级1为+若-1 2+ u=±2， 则 经- 所以直我为金十音一山 微探究氯略直线根题可正，可鱼，可为6的情况 而政误 [典例精析] [典例门【辑解】授直线1的才程为嘉+音一16子 0,又直孩ItP(-6,3那+是-140，解 得-1，“直线（的考程为十y-1 【情因务标】氢略情、低黄亚标为0竹情风 【正解】当直线/在y釉上的模矩不为幸时，是直规 【的方很为十若=16+0，又直线！过AP(一5,3 “动+言-10》.解释=1.直线1的方程为餐十 y=1 当直线在少轴上的氧疤为幸时，刺直线过原点 段其方程为y=山(k中0》，直战1过成P(一6,3》， 六多一一缺解得一豆心直线的方程为y一一工 肆上所连，所水直浅的方程为支十下”1先 y=-+ 【随堂演滋·达标】 L.B”所求直战过点(1,2，(5,3)，所求直线 方根是号司 两长直商者根为吕行号品 LA 化为一般式才植为2十与3-0， 玉日图为直线注暴一，三，阁象顶，所保它在上仙 (4)由流足式方程可得。 上的在是为正，在y上的魔理为负，所以>0，<0. 所求直风方程为哥十马-1. 检选且 4答案：y=2r成ymr十1 化为一极式才植为x十3+3一0 解析：当直呢垃原A种在坐赫的上的夜矩均为套 [针对到练1门解：(1)本法一：设直汽！的醉率为é， 时，得夏规方根为y一2x:者在2棘精上的藏矩不为零 ?直提/为直残x十4y十1一0平行， 时，可受直线才程为三一兰-1，将上=13一2代入才 -是 程罗拜u=一1，得直线方程为y■十1， 又重线！经过点(1,2) 直线方礼为Jy-x或y=十1 六将家直线方程为y一2-一是红一1少.身8虹时 表答案：y-2x十1 4y-11=Q 解析：线及AB的中表坐标为(1，》，南直线的两点 方法三：设与直线3知十十1■0平行的直气（的 方程另3z十y十用一 2,23直线的一慢式方程 :变线2整过点(1,2)： 【必备知识·棱班】 3×1十4×2十四=0，解杆w三一11 [情境探究】 .所求直线方框为3r十4y-11=0 慢示：点斜式，斜截式两点式，酸师式 (2)方法一：设重找/的醉率为. 「知识梳理 :直找1年直线2红中y一10一0合直 (1Ar十y+C=0一粒式(2)全体点直规 k(-20=-1k= 二元一次方程 又是找1楚过点A(2.1), [科学里维 一.11)/2(3》/ 六新成直线1的才程为了一1=宁（红一2，期一 2B3.C 2y- 42ry+4-0 方法二，经与直找2红十y=10一0◆真竹直线方植 二提条：①A=0且B0C≠0， 内士一2y十w=0 ④B=0且A40,C40. ?直战/经过克A(2,1)。 3A=0且B+0,C-4 2-2×1十现-0，去w=0 ①B-0且A0,C-a 所来虎线/岭方程为2一y一0 【关键能力·探究】 保究二直线的平行与垂直月愿 裂究一直线的一银式方程 【典侧精析)] [典例精析) [典例]解：1D若4⊥，南是意可得1×(3a [典例1门解：(1)由流斜式方框可知，所桌直气方和 1)+2×(-)=0,中2w-3数十1=0，解得￥-2或 为y一8=3(x一)，化为一极式方程为8x一y十3 5w5=0 《2)希4∥e,由题意T得1·(“a)=2a·(3如 (2》而纤黄式方程可如，所长直找方程为y- 2,免为一量关方橙为4一32一0. 》.且1×(-7)1X(0a-D.师得a-0成a-言 (3》由裤点天才程可加 [针对别练2】A缘期意可设所求直线才框为 3r+2y+e=0 义直线1过A(一1.2)，究入可得-一1， 战胸求直线考程为3x十2y一1-0 探究三定点问题 [典例精新] [典例3】B南直线（的方程为xUy十2-0， 令y-0,解得=一2 ,直现铁址点（一2,0） 老0，则直线y一十》不金直y仙 若网=0，则直线夏=一2不金重于y物 棕上所生，桂过点《一2,0》且不看直y 故选五 [针对调练3】解：(1)红明女(a+1x十y十2 2一0整厘，得u(上一1》+：+5+2■0，出 a*1=0, 时，方程g《x一1》十x十y十2=9量成王： a+y+2- , 时，方程（年一1）十x十y十2■0量成生： 所以不轮。为何值，直线动过一定点(1，一3) (2){a+10x+y+2-ú-0些理，得(@+10x+ y一4一2，你a一2对，直线1的为粒为3x十J一0，此时 直我的桥，域黄更都为0，满是期多 “2 1,委使直线1在两全标他上竹黄距相等，别￥+1一1，的 2=L,北时直线1竹若程为上十y十2一0 棕上军得，真线l的方框为r十y=0气王十y十 2=0 (3)购为真战！不经过第二象限 -￥+1030. 所 a-260. 解样aG一1，群a的飘推范腾为（一o0,一1 【随堂演练·达标】 1.A令x-0,则y--4-2a≠00： ◆一0，利工一是一1，得@-1山-2 工.A由个直我r十6y+t一0经过第一，二，9零 限，所以真线静在斜单，将才程复形为y一一一 易如一若<0直一>0，故b>0,c<0 3.A周为直线r十(2一ay■0与直直x一ay十 1=0相至合直. 所以gX1+(2一)×《一)=4 所以一a=0,所以a=1煮a=0, 所以”a-1是“直底士十(2-u}y=0与直线上 y十10相◆”的无分不必要最件 4.D设所求直线的方鞋为2+y+:=0(≠1)： 其在y轴上的戴亚为一E, 因为司=5，得c一5表一. t所尽直线的方程为2十y+后=0我五十y 五苦案过 解析：女斑套得 nx(-o-ae-:特a=分 11×1≠(a-1)×(-1》, 工3直线的交点坐标与距离公式 23】两条直线的交点坐标 【必备知识·植理】 〔情境裂究] 提界：Am+Bx十C=Q 〔妇供城理] 相交重合半行 〔科学把推] -.L,(1√2√3)/ 2.A3D4(3.4) 二，提示①×B一②XB,得(A-AB)上+ BC一BC-0 若A:品一AA,■0，品C一品C■0，则方整组有 无穷多解. 若A,出一A:B=0,C=出C≠0，别方程组 无解. 若A,品一A品0，方程组有性—一组解。 【关键能力·探究】 探究一两直城的交点闷是 典闲精析] 62+4y-2=0, [典例】解：1)解方根红 2e+y+2-0, 降以复技名与山相克，卫交A生行为（一是》 又需为所桌直线与直线x一y十4■0平行 (2)耗立直线每山的旁红得方根量 国先芸益-1≠经)解年-一 2z-6y+3=0,① 所以将水直成才程为一划+1一子（++ -+量 。×5,整理得2x一y十3=0，牌方 4)=0,中x一y0, 程函可误化为才程①，斯以上与重台 [蛮式)解：发一解方程组 (3)联立直线1考4的方程待才程创 3z-2y+1-0, 十y十=0，① 将两直线的义点是标为（一1： rt3y+4-0, 由①×2一②，得1一0，财方程且无 2r+8y+3-0,② -1),经所求直线为x十y十：=A 解商以与山无会共点，即 又离为蓝直找过点（一1，一1）. 2x十y-1=o, 所以-1+(-1》十c0,即r=2, 竹对瑞练1】解1(1》 x-2y+7=0 戴所康直战方程为x十y十2■0 解得x=一1,5y=3 满二国为所米直线经垃克线3r一2y十10 背误直线l42r+y一1=0和直线4E一2y十T-0 和真找x十3十4=0的交点， 交，交点标是（一1,3 所以可夜直找方程为 (2将直线41：2x一3y+a2+1=0和直线4：4：一 3x-2y+1+12+8y+4)-0. 6,十a=0化为针餐式可为 年(3+A):-2-动3+1+41■Q 直线一票叶学，直线y-寻+景，网 又菌为所桌直线与直(x一y十4=0春直。 3 为线名线与片件中和华，宁-号无解。 斯以3+》X1+42-》X1=0,解挥=意 序所表直线方柱为x十y十2一Q 所误两直汽平行 +y+10, 限究二过两直线交点的直战麻方程 [针对澜练2】C联意方程 2x+y+5=0, 「典例精析) xm一4， 3r-2y+1=0, [典例2]解：法一解岁橙 得 y=3 1x+3y+4-0. 所以直气x十y十1■0和2x十y十5■0的变高为 局是抗的交表业标为（一1，一1） （一4：30. 义四为所求重线与x一y十4一平行，械是线的料 由题意可如所米直线的林果存在且不为0，设为★ 率为1.于是南直机的.五斜式方程求得y一（一1）一x 〔使≠0)， 《-1),x=y=0 可加所水直战方程为y一3一(1+4 法二目为所水直线与重战士一y十4一0平行 伞x0,军杆y■4h+3:令y=0.可样xm 所议T这所泉直为x一y十rO(≠4以， 复因为填直线过直线3r一2y十1=0与直线：十 3y十4=0的交点《一1.一1)： T如直履y一小-（十）在+y轴上特夜延分刺 代人x一y十e=0 为-4-是，4+3 开-1一(-1)十c-0.年r=0. 放所桌直线方程为工一y一0 法三日为所来直线经建直找3一2十1=0和 直我1+3y十4一0物交点，所以可登直成才程为8士 0,解得-1一 2y+1+1(x+3r+40=0, 所以所求直线方程为士y十7一0表3+一0. (3+A》r一(2-3)y十1+4A=0, 放法已 探究三对常问超 [典例精析】 [典例】B登，点P(一1.5)头个直线士-3y十1 0的对称点为尸(a,)。 x 号-3×空+1-a 2 0+2新- 化黄得。一3站-1-0 故成射光些过点(2。一4)，(2,3)， 附反射光所在直机的方程为x一2一0 北选B [针对谓练3]B接先A(一1,4)美下1对种的克 -1, 为A(e,),副 l6=-1 楼且 【随堂演练·达标】 1.B2r一y十6-0① x+y-8② ①十②3r■-=>x=-1…③ ①代入密有y-m国 为⑧③得交点坐称为（一1,4， 故选丑 2A花立才程ay=:解件·野两正 2z-y-1. b=. 线的交流是标南1,1》， 两为直线的一个方向向是”一（一3,2），可得所求 直我的外单为意一一号 所g所表直线者糕为一1一一红-》，即2十 3y-5-0. 枚选A 玉C解会两直技的克点为钾寻，计得》，南交 3m 点在第二象限，开 杯年mE(一幸2孙 崇， 4苦案11(3,3)