2.2.2 直线的两点式方程-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

探究三两条直线的年行与意直 奥例精析] [典例3】解：者桥-0时，山45-5一0：4：1一4 0,山与备直： 当和0时山的方程可化为y=一品十品 由一智得m一士 由0。产品将号具四得前以 8 一营5山年6个 又-智(》-一1无解 效台w一一号叶，山与4平 当对=0时，有与名量克. 《针对初第3]解：1)专通意可知，一一1， 42-2 2hWh. 2 林年每一一1 驶者星=一1时，直线：3y=一x十如与直找山： ￥a《ad-20+2平行. (2)出题盒可知，-a一1■4： 7hV. ÷402s-1)-1,邮行u一景 就者一著时.直线4y一《2a一Dx十8与是线： y=r一1◆直 【随堂演练·达标】 LA向期意可知，所求直履的方程为J一1一 -(一3，年3y--十4 2.A台约时，直线{不是姓第三象抓，<《0， 0,<0， 当=O,6>0时，直线1也不经过第三象限， 综上，h0,战A 3C①当0时，克线y=取的幅针商为复角： 良线y一士十的餐韩角为昆年，L在3仙上岭规死为 2,0,所以选质A,B都不成主： 行a-0时，真找y=r的第件角为0，所以A, B.C,D都不特合： A120,B(-1.一2的生物代入得发号2=日 心毒a<0装，直线J一g的渐纤角为纯角， 直找y一上十。的领斜角为锐角，且在y陆上岭规 华器出 是为a<0,所风只有C成之 二，提示：1不能表示蚕直于士韩成y箱的直线， 故域 2,不能表常重直于x轴或y轴的直线，也不雀表 表B国为6，所议a°+1-2,2-1，所就a 示经过标原点的直线 1, 【关键能力·探究】 义，两重域，与不能重台。 探贸一直线的两点式方国 期3≠3，年a≠1.城a=一1 【典例精析] 故选玉 [我例门解：由两点人，得边AB所在直线才程为 5答案：一2 解析：由a一1一多，凡42，得g-一2 二-高*+g+1- 1.12·直埃的两点式方程 网型，BC所在直线方程为己一号，中 【必音知识·梳理】 [情境探究】 2x十y-5-0 漫示：1)可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用 迪AC将在直鹰方框为子-白即耻 点斜式求出其方程，具体如下： 2y十3-0 过R,B两点的直线的斜率为女一身二兰，所以出 算上斯运，真线AB的方红为￥十y+1■0，直线 C的有程为2x十y一5=0，直线AC的方程为3r 点鳞式得方程y一为一为由任一3，明二头 到一 为一3n 2y十8=0 [变式]解：由中点业标公天，得AB造中点D的坐 (2》能.观察图象可知直线垃点(a,0),(0,),科用 格为（中，生专）即，-引南子CD两 两点式可求出直线的方程 走情业标刺同，所直线CD竹才程为工=L [知识桃烟] 针对到练1】解：由直线经这成A(1,O),m,1): 一1面≠为≠势 二n一二两点式 国女流重线斜票不可常为幸，根有轮不存在 《1)当直底斜单不存在，中m=1时，直线方程为 1-0-0-y1-0y-3方 x=1 二.酸距+名-1餐师式 (2)当克找解率存在，即精≠1时，利用两点或，可 [科学见维) 修直线寺程为昌号 一，11D×《2)×(3/(4√(5)× 野x一《则一1Dy一1=0棕上可得，备m一1时，重 LD 线方在为x=1: 3仁由点的皇标，知直线在买种、y种上的黄原分 当标≠1时，直线方程考x一(m一1》一1■0 利为，一3所这直规方程为千十马一，即子 探究二直线的鞋题式方程 [典例精析】 -1 [奥例2]解：(1》步直线（在两坐标物上的能厘无 答案：号吕器贵 为反数且不为0时，可提直线1竹者程为+兰 解析：直线的所点成方程为升一员·精流 直线/的考程为马十-，中一y十1=0 (2)售直民在两生林轴上的模亚至为相反数且为 0时，直找过原，时，设直机的方往为y一虹，国 程为3y一含x,即让一3一0.旅上，直线1竹方数为江 y+1=0线4r-3y-0 [变式们解：1)年黄厘不为0时，箕真线（竹方程为 言十1又1球无3，.两以是+片-，解保。7， 阶以重线！的方程为工十y一7=0， (2)售辰垂为0时，设直简I的方程身y=标，又 过成3，机，两这43解民=子 所以连线（的者很为了一言和中标一y一0峰上 直规1的方程为x十y一7一0成z一5y-0. [针对训第2)解：1)依题意，是线山的方煌为y 1-2x-10.42x-3-l, 所红直城（岭藏范式方粗为芹十青一L 由直线与与4争直，得直线4的号华为一 山1)标，直线：在y柏上的黄厘为一1，于是直线4的 为程为一一1，野宁十产一1 所以直线山竹食显式本短为之+占1 探究三直线方程的裤合应用 [典例精析】 [典例]解：南超意设A(a,0):B(0,b):其中w-h 为正能，可设直城的黄颜成为三十号-1，？直战过杰 ①南本不等人可得1一十2√怎解将 6,者显仅事是一方，即a一8显6-2对，上式取 平号 △08面核S-7ab36,期省a-8,b-2时 △油面教量小，光时直战L的为程为后+是一1 (2)由于i0A1+0B-a+6-(a+(+） 5计普+音5+2√曾号=，当具仅曾=务：中 g一6L一3时取等专， 所以毒一6，b=8时，Q4十OB川的量最小，此 时直线1的方程为看十音=1 [针对训练3]答案：十-1或2十子-1 解析：敏题意，直线！的两个看延年不为0，故设直 级1为+若-1 2+ u=±2， 则 经- 所以直我为金十音一山 微探究氯略直线根题可正，可鱼，可为6的情况 而政误 [典例精析] [典例门【辑解】授直线1的才程为嘉+音一16子 0,又直孩ItP(-6,3那+是-140，解 得-1，“直线（的考程为十y-1 【情因务标】氢略情、低黄亚标为0竹情风 【正解】当直线/在y釉上的模矩不为幸时，是直规 【的方很为十若=16+0，又直线！过AP(一5,3 “动+言-10》.解释=1.直线1的方程为餐十 y=1 当直线在少轴上的氧疤为幸时，刺直线过原点 段其方程为y=山(k中0》，直战1过成P(一6,3》， 六多一一缺解得一豆心直线的方程为y一一工 肆上所连，所水直浅的方程为支十下”1先 y=-+ 【随堂演滋·达标】 L.B”所求直战过点(1,2，(5,3)，所求直线 方根是号司 两长直商者根为吕行号品 LA 化为一般式才植为2十与3-0， 玉日图为直线注暴一，三，阁象顶，所保它在上仙 (4)由流足式方程可得。 上的在是为正，在y上的魔理为负，所以>0，<0. 所求直风方程为哥十马-1. 检选且 4答案：y=2r成ymr十1 化为一极式才植为x十3+3一0 解析：当直呢垃原A种在坐赫的上的夜矩均为套 [针对到练1门解：(1)本法一：设直汽！的醉率为é， 时，得夏规方根为y一2x:者在2棘精上的藏矩不为零 ?直提/为直残x十4y十1一0平行， 时，可受直线才程为三一兰-1，将上=13一2代入才 -是 程罗拜u=一1，得直线方程为y■十1， 又重线！经过点(1,2) 直线方礼为Jy-x或y=十1 六将家直线方程为y一2-一是红一1少.身8虹时 表答案：y-2x十1 4y-11=Q 解析：线及AB的中表坐标为(1，》，南直线的两点 方法三：设与直线3知十十1■0平行的直气（的 方程另3z十y十用一 2,23直线的一慢式方程 :变线2整过点(1,2)： 【必备知识·棱班】 3×1十4×2十四=0，解杆w三一11 [情境探究】 .所求直线方框为3r十4y-11=0 慢示：点斜式，斜截式两点式，酸师式 (2)方法一：设重找/的醉率为. 「知识梳理 :直找1年直线2红中y一10一0合直 (1Ar十y+C=0一粒式(2)全体点直规 k(-20=-1k= 二元一次方程 又是找1楚过点A(2.1), [科学里维 一.11)/2(3》/ 六新成直线1的才程为了一1=宁（红一2，期一 2B3.C 2y- 42ry+4-0 方法二，经与直找2红十y=10一0◆真竹直线方植 二提条：①A=0且B0C≠0， 内士一2y十w=0 ④B=0且A40,C40. ?直战/经过克A(2,1)。 3A=0且B+0,C-4 2-2×1十现-0，去w=0 ①B-0且A0,C-a 所来虎线/岭方程为2一y一0 【关键能力·探究】 保究二直线的平行与垂直月愿 裂究一直线的一银式方程 【典侧精析)] [典例精析) [典例]解：1D若4⊥，南是意可得1×(3a [典例1门解：(1)由流斜式方框可知，所桌直气方和 1)+2×(-)=0,中2w-3数十1=0，解得￥-2或 为y一8=3(x一)，化为一极式方程为8x一y十3 5w5=0 《2)希4∥e,由题意T得1·(“a)=2a·(3如 (2》而纤黄式方程可如，所长直找方程为y- 2,免为一量关方橙为4一32一0. 》.且1×(-7)1X(0a-D.师得a-0成a-言 (3》由裤点天才程可加 [针对别练2】A缘期意可设所求直线才框为 3r+2y+e=0 义直线1过A(一1.2)，究入可得-一1， 战胸求直线考程为3x十2y一1-0 探究三定点问题 [典例精新] [典例3】B南直线（的方程为xUy十2-0， 令y-0,解得=一2 ,直现铁址点（一2,0） 老0，则直线y一十》不金直y仙 若网=0，则直线夏=一2不金重于y物 棕上所生，桂过点《一2,0》且不看直y 故选五 [针对调练3】解：(1)红明女(a+1x十y十2 2一0整厘，得u(上一1》+：+5+2■0，出 a*1=0, 时，方程g《x一1》十x十y十2=9量成王： a+y+2- , 时，方程（年一1）十x十y十2■0量成生： 所以不轮。为何值，直线动过一定点(1，一3) (2){a+10x+y+2-ú-0些理，得(@+10x+ y一4一2，你a一2对，直线1的为粒为3x十J一0，此时 直我的桥，域黄更都为0，满是期多 “2 1,委使直线1在两全标他上竹黄距相等，别￥+1一1，的 2=L,北时直线1竹若程为上十y十2一0 棕上军得，真线l的方框为r十y=0气王十y十 2=0 (3)购为真战！不经过第二象限 -￥+1030. 所 a-260. 解样aG一1，群a的飘推范腾为（一o0,一1 【随堂演练·达标】 1.A令x-0,则y--4-2a≠00： ◆一0，利工一是一1，得@-1山-2 工.A由个直我r十6y+t一0经过第一，二，9零 限，所以真线静在斜单，将才程复形为y一一一 易如一若<0直一>0，故b>0,c<0数学选择性必修第一册人教A版 2.2.2直线 学业目标·定位 课标要求 L.掌握直线的两点式方程的确定. 2.解决与直线的截距式有关的问题 必备知识 ·梳理 ○情境探究 在植树时，可以将每一行 树近似地看做一条直线， 只要确定两个树坑的位 置，就能够确定这行树所 在的直线.生活中“两点确定一条直线”的例子 随处可见，那么在直角坐标系内，怎么通过两点 确定一条直线的呢？ (1)如图，怎样利用点P,P2的坐标写出直线1 的方程？ P (xy) PX2V2) (2)如图，观察在平面直角坐标系中的直线，你 能否求出直线的方程？怎样求？ .◆66 4.已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+ 3,若l1∥l2,则a=() A.0 B.-1 C.1 D.±1 5.若直线y=(a2-1)x十2与直线y=3x+a 平行，则a的值为 的两点式方程 学习目标 通过本节课的学习，要求按题给的条件利用两 点式与截距式方程的要求求解直线的方程，并 能解决与之有关的直线方程的问题 答案见P2751 国知识梳理 一、两点式方程 1.经过两点P(x1,y),P2(x2,y2)(其中 )的直线的方程为 ,我们把它叫做直线的 两点式方程，简称 2.在P1(x,y1),P2(x2,y2)中，如果x1=x2或 =y2,则直线PP2没有两点式方程.当 1=x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程 为 ,即 :当为= 2时，直线PP2垂直于y轴，直线方程为 ,即 二、截距式方程 把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做 直线l在x轴上的 ,设直线l与y轴 的交点为B(0,b),则直线I在y轴上的截距 是a≠0，b-0).方程若+岩=1由直线1在 两条坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程 叫做直线的截距式方程，简称 科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“√/”或“×”） (1)直线的两点式方程也可以用一当= x—x1 二业(x≠2，y≠)表示.（） x2一x1 (2)不经过原点的直线都可以用方程工+ =1表示.() (3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点 斜式方程写出.() (4)经过任意两个不同的点P(x,y), P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y一少)· (x2-)=(x-x1)(2-y1)表示.() (5)直线的截距式方程最+名-1中，a,b均 关键能力 探究 探究一 直线的两点式方程 知识深化 已知两点求直线方程的方法（或思路） 已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足 两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标 代人直线的两点式方程，化简即得代入点的坐 标时注意横、纵坐标的对应关系.若点的坐标中 含有参数，需注意对参数的讨论.在斜率存在的 情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点 斜式求方程 。第二章直线和圆的方程 应大于0.() 2.过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 3.经过A(4,0),B(0,一3)两点的直线方程为 () A+芳=1 B营+￥-1 C-芳=1 D号-￥-1 4.若点A(1,2),B(-1,一2)，则直线AB的两 点式方程是 二、思维探究 1.两点式方程二业=二（≠，M≠ y2一y1x2一x1 y2)不能表示哪些类型的直线？ 2截距式方程。+名=1(a6≠0)不能表示哪些 类型的直线？ 答案见P276 @典例精析 【典例1】三角形的三个顶点是A(一1,0)， B(3,一1)，C(1,3),求三角形三边所在直线 的方程. 【变式】本题条件不变，求AB边上中线所在直 线的方程。 67 数学选择性必修第一册人教A版 名师点拔 利用两，点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适 用条件：若满足即可考虑用两点式求方程 (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用 斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 [针对训练1]已知直线经过点A(1,0),B(m, 1),求这条直线的方程 探究直线的截距式方程 自知识深化 求直线的截距式方程的方法 (1)由已知条件确定直线在x轴、y轴上的截距， (2)若两截距为零，则直线过坐标原点，直接写 出方程即可；若两截距不为零，则代入公式二+ 0 岩=1，可得所求的直线方程。 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截 距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截 距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采 用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截 距”的情况 @典例精析 【典例2】求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距 互为相反数的直线1的方程 468 【变式】若将本例中“截距互为相反数”改为“截 距相等”呢？ 名师点拔 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交， 则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定 其系数即可 (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直 线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直， (3)要注意截距式方程的逆向应用， [针对训练2]已知直线11经过点(1,1)，斜率 为2. (1)求直线41的截距式方程， (2)若直线l2与4垂直，且1,2在y轴上的截 距相等，求2的截距式方程. 探究三直线方程的综合应用 鲁知识深化 利用截距求面积 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况 (两个点是直线与坐标轴的交点记为(a,0),(0, b),用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的 图形面积或周长时较为方便.一条直线与坐标 轴围成的三角形的面积S=lab1。 @典例精析 【典例3】过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y 轴正半轴于A,B两点，O为坐标原点 (1)当△AOB面积最小时，求直线l的 方程； (2)当|OA|+|OB|取最小值时，求直线( 的方程。 [针对训练3]平面直角坐标系中，已知直线1 过点(0,4)，与两坐标轴围成的三角形的面积为 4,则直线1的方程为 随堂演练·达标 1.过点(1,2)，(5,3)的直线方程是() A-号 B是 c号 n胃 2.在x轴、y轴上的截距分别是一3,4的直线 方程是() A3+=1 B号+1=1 C3￥=1 D.+点3=l 。第二章直线和圆的方程 忽略直线截距可正、可负、可为 微探究 0的情况而致误 【典例4】直线1过点P(一6,3)，且它在x轴上 的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线 1的方程 答案见P2771 3.若直线若+芳=1过第一、三，四象限，则( Aa>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b0 D.a<0,b<0 4.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0 的直线方程为 5.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且 经过线段AB的中点的直线方程为 69