2.2.1 直线的点斜式方程-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第二章直线和圆的方程 2.2直线的方程 2.2.1直线的点斜式方程 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.掌握确定直线的几何要素 通过本节课的学习，要求依据条件利用点斜式 2.掌握直线的点斜式方程的确定 的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的 3.解决与直线的点斜式有关的问题， 直线方程的问题， 必备知识 梳理 答案见P2741 0 情境探究 二、直线的斜截式方程 在平面直角坐标系中，直线 P 名称已知条件 示意图 方程 使用范围 1过点P(0,3),斜率k= Q(y) 斜率k和 斜率存 -2,Q(x,y)是直线I上不 P(0,3) 斜 在y轴上 在的直 同于P的任意一点，如图 的截距b 线 所示.由于P,Q都在1上， 所以可以用P,Q的坐标来 三、直线平行、垂直的判断 表示直线1的斜率二 =2,即得方程y=2x十 对于直线l1:y=k1x十b,l2:y=k2x十b2, (1)41∥l2台 3.这表明直线1上任一点的坐标(x,y)都满足 (2)l⊥l2台 y=2x十3.那么满足方程y=2x十3的每一组 (x,y)所对应的点也都在直线（上吗？ 科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“X”) (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有 直线.() 国知识梳理 、直线的点斜式方程 (2)y二业=k与y一为=k(x一x0)都是直线 名称已知条件 示意图 方程 使用范围 的点斜式方程.() (3)直线的斜截式方程y=kx十b即为一次 点P(xo, 斜率存 点斜式 币xya】 函数的解析式.() %)和斜 在的直 (4)直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐 率k 线 标.() 63 数学选择性必修第一册人教A版 2.直线y=2x一1的斜率等于() 二、思维探究 A.-1B.1 C.2 D.-2 1.方程y一%=(x一0)与方程k=y二边等 3.直线l经过点P(2,一3)，且倾斜角a=45°， 则直线的点斜式方程是() 价吗？ A.y+3=x-2 B.y-3=x+2 C.y-2=x-3 D.y+2=x+3 4.已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x十1 互相平行，则a等于() 2.“截距”与“距离”是否是一回事？ A.2 B.1 C.0 D.-1 5.无论k取何值，直线y-2=k(x十1)所过的 定点是 关键能力 ·探究 答案见P2741 探究一 直线的点斜式方程 [针对训练1]在平行四边形ABCD中，A(一1， 2),B(1,3),C(3,-1),点E是线段BC的中点. 鲁知识深化 (1)求直线CD的方程； 若直线的斜率存在，则直线方程为y一为=k(x (2)求过点A且与直线DE垂直的直线. );若直线的斜率不存在，则直线方程为x一. @典例精析 【典例1】根据下列条件，求直线的方程： (1)经过点A(2,5),斜率是4； (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°； (3)经过点C(1,一1)，与x轴平行： 探究二 直线的斜截式方程 (4)经过点D(1,1),与x轴垂直 目知识深化 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx十b中只有两个 参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件 名师点拔 即可 求直线的点斜式方程，关键是求出直线的 ©典例精析 斜率，所以，已知直线上一点的坐标及直线的 【典例2】求满足下列条件的直线方程： 斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方 (1)斜率为2，在y轴上的截距为一1： 程.特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点 (2)倾斜角为直线y=√3.x+1的倾斜角的 (xo:地)的直线方程x二x: 一半，在y轴上的截距为一2； 64 。第二章直线和圆的方程 (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原 探究三 两条直线的平行与垂直 点的距离为3. 自知识深化 若l1:y=kx十b,l2:y=k2x十b2,则l∥l2曰 k1=k2,且b1≠b2,l1⊥l2台k1k2=-1. ©典例精析 【典例3】已知直线4：y=一警：+0g30和 8 l2:6my=一x十4，问m为何值时，l1与l2平 行或垂直？ 名师点拔 1.裁距是直线与x轴（或y轴）交点的横（或 名师点拔 纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零 设直线(：y=k1x十b与直线2：y=2x十 2.直线的斜截式方程y=x十b不仅形式简 k1=k2, 单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直 b2,若l1∥12，则 若1与l2重合，则 b1≠b2; 线在y轴上的截距，只要确定了和b的 (k1=k2, 值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直 若h⊥l2,则k1k2=一1. (b1=b2; 线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜 [针对训练3](1)当a为何值时，直线l41:y 截式方程，利用k,b的几何意义进行判断. -x十2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行？ [针对训练2](1)直线y=2x十1在x轴上的 (2)当a为何值时，直线l:y=(2a-1)x十3与 截距为( 直线l2:y=4x-3垂直？ A-日 C.-1 D.1 (2)直线L与直线l1:y=2x+6在y轴上有相 同的截距，且（的斜率与1的斜率互为相反数， 则直线1的方程为 随堂演练 · 达标 答案见P275 1.已知直线经过点A(3,1),斜率为一1，则直线 象不经过第三象限，则( 方程是( A.kb≤0 B.kb≥>0 A.y=-x+4 B.y=x-2 C.kb0 D.kb0 C.y=-x-4 D.y=x+2 3.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线 2.已知直线l的方程为y=kx十b(b≠0)，其图 y=ax与y=x十a正确的是() 65●. 数学选择性必修第一册人教A版 4.已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+ 3,若l1∥l2,则a=( ) A.0 B.-1 C.1 D.±1 5.若直线y=(a2-1)x十2与直线y=3x十a 平行，则a的值为 2.2.2直线的两点式方程 学业目标·定位 课标要求 学习目标 通过本节课的学习，要求按题给的条件利用两 L.掌握直线的两点式方程的确定。 点式与截距式方程的要求求解直线的方程，并 2.解决与直线的截距式有关的问题. 能解决与之有关的直线方程的问题， 必备知识 梳理 答案见P2751 ○情境探究 自知识梳理 在植树时，可以将每一行 一、两点式方程 树近似地看做一条直线， 1.经过两点P(x1,h),P2(x2,y2)(其中 只要确定两个树坑的位 )的直线的方程为 置，就能够确定这行树所 ,我们把它叫做直线的 在的直线.生活中“两点确定一条直线”的例子 两点式方程，简称 随处可见，那么在直角坐标系内，怎么通过两点 2.在P1(x1,y),P2(x2,y2)中，如果x1=x2或 确定一条直线的呢？ =2,则直线PP2没有两点式方程.当 (1)如图，怎样利用点P,P2的坐标写出直线 x1=x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程 的方程？ 为 ,即 ;当为= 2时，直线PP2垂直于y轴，直线方程为 Px1y） ,即 P(X2V2) 二、截距式方程 把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做 (2)如图，观察在平面直角坐标系中的直线，你 能否求出直线的方程？怎样求？ 直线l在x轴上的 设直线1与y轴 的交点为B(0,b),则直线I在y轴上的截距 是6(a≠0，-0).方程若+若-1由直线1在 两条坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程 66探究二两条直线重直 典侧精析] [我例2]答案：(1》A(2)廉直 解析：(1》设两是线的针平分刺为，+ 因为白，k是方柱+2022：-1一0的两根， 所以利用根与意数的美票待×■一1： 所以两直筑的数置关惠是垒直 蓝选入 (2)①当m=1时，直找k过.表A(1,1和以一1,1》， 克线过点C1十w,n十中1)和AD(w十1+n一1D, 此时直线的件奉为，一0，直线4的斜率不存 在，喝光4L4: ②当m“一1时，直线名过.高4（一1,1）和 B(一1，-1》，是找4位点C仪一1十n,w十1)和点.D(a十 1,十1)，龙时直气4的解率不乔在，直线4的斜率： ■0.因此41h @多w士时，直我红的时摩与一当已，走技 4的外单6一 此时与·与■-1,4L 就答案为：金直 [针对别练2]B由理莺知AB⊥C, w·加-1上即昌×等名--1，解得 探究三平行、需直的综合应用 [奥例精析] [典例】餐案：(D》斯形 解折：kw-1与-1m-义-1， RP不在直战MN上，MN/PQ 4-3 走线上，Q/NP,回边形MNPQ为平行四边形， 义w·g-一1.MNLq 二平什国雄形MNPQ为题形 放答蒙为：凭到 (2)解：题，A(1,3),B(5,1D,C3,7), 所以x一2，k=一主一一1， 重D的发标为江y,分以下三种价风： ①当C为对角直时，有=青a,e=是， 解析：向超意可得 所以如号-a子- 拜x=7y-5.期D7,5, 公当AC为对角线时，有n=m如=r 茅AB∥Q,期骨一子：解释m一 以=月-=号 2.2直线的方程 12.1直线的点斜式方程 得x=-1y=9,年D-1,9). 【必备知识·梳球】 ①当AH为对角线时，有o=hxk知一r [情境探究] 提示：橘足 挥x-3y=-3,年D(3.一). 〔知识德理] 群以D的坐特为7,5》成（一1，）减(3，一3)， 一，3-一】 [斩对渊蓝3]解：A,,C,D四成在火标平面内的 二，y=r十b 三，1)1=k,且4≠命2)kA=-1 [料李思维] 一，L.1》×(2)×(30×440/ 2.C由重线的斜裁式y=红+b物y=2x一1 岭醉率为一之戴感 南斜果会或可得 3.A 4.B 5.(-1.20 二提示：1，两个方程不等价，前者是整条直规后 标享- 者表示去掉点（工%）的一条直线. ka-面，南目可如AB与CD不重合， 2,不是一国事，如：直线在y输上的载师并不是起 ,∴，ABCD 离，面是直线与y转交点的织坐标，它是一个数值，可面 南o≠x,AD每BC本平行. 可负，可为零.当距为非鱼时，它等于交点到坠标原 又知·知-号×《-》--山， 点的距离，当蕉密为负数时，它等于交点到坐标氨点图 离的反数 AB LAD. 【关键能力·探究】 技口随形ABCD为直角稀形. 保究一直城的点斜式方国 【随堂演练·达标】 【鼻侧精析] 1.Ax-0是秦币海y轴重会的克线，y0是表 [典例1]解：》由点斜又方程可如，所承克线的方 示与工轴的重金直线，雨条克线复相合 框为y-5=4r-2),利r一y一3=0， (2)?直线岭顿解角为45， 1答案：号 北直我的斜率一un45一1， 解析：e一另-8w一公AB10D, 直线的杰斜或方程为y一3=工一2，群一y十 1=0 (3)?直战与士轴平行，相针角为0°，斜车=0 ,直我方经为y十1一0×(r十1D,即y-一1 4)?直线与工他◆直，斜率不存在，不款%点 种式表示这条直贱的方程，肉于克线所有成的横坐桥 是1，故这桑是找方程为x一L [针对调施1门解：(1)友平行臂边形A仪D中 Af-1,2),B(1,8),C3,-1》,刻AD-C-2,-4), 利AD风1.-动： 支线C④的耕华-二气-支》 1-3 期有y-(-10-红-1 所以直线CD的方数是y+1一号c-3 (2)依随意，克E(2,1),测直线DE的外车 安-3，因先进表AL与直线DE金复竹真我将中 探究二直成的斜酸式方程 [典例精新1 [典例2习解：门》由恩意样k=2.h=一1，南针式 得y-2x-L (2)”y=√3x十1的醉率为v3,∴其细卧角为60， 城所桌直残的顿料角为即， =m30=得 又b=-2. 5两水直我亦程为y一得，一2 (3》直线的桶针角为0， 美斜华k-n0'-5 ”直气号y转的文成到原无的至离为3， 直残在y精上的板矩6-3成6一一3 所求直战方程为y-√士十3汽y一士一3. [针对辑练]答案：(1)A《)y=一2x十6 解析：《1)由直线3一2x十1，令y=0,解得￥- 小直我在：私上的线死为一子 (2)南直线特方程可知它的鲜果为2，它在3 轴上的黄E为6，所远直线I的科单为一2，在y轴上 的或矩为6，由韩我式得直残（的方程为y一 -2xr+6. 探究三两条直线的年行与意直 奥例精析] [典例3】解：者桥-0时，山45-5一0：4：1一4 0,山与备直： 当和0时山的方程可化为y=一品十品 由一智得m一士 由0。产品将号具四得前以 8 一营5山年6个 又-智(》-一1无解 效台w一一号叶，山与4平 当对=0时，有与名量克. 《针对初第3]解：1)专通意可知，一一1， 42-2 2hWh. 2 林年每一一1 驶者星=一1时，直线：3y=一x十如与直找山： ￥a《ad-20+2平行. (2)出题盒可知，-a一1■4： 7hV. ÷402s-1)-1,邮行u一景 就者一著时.直线4y一《2a一Dx十8与是线： y=r一1◆直 【随堂演练·达标】 LA向期意可知，所求直履的方程为J一1一 -(一3，年3y--十4 2.A台约时，直线{不是姓第三象抓，<《0， 0,<0， 当=O,6>0时，直线1也不经过第三象限， 综上，h0,战A 3C①当0时，克线y=取的幅针商为复角： 良线y一士十的餐韩角为昆年，L在3仙上岭规死为 2,0,所以选质A,B都不成主： 行a-0时，真找y=r的第件角为0，所以A, B.C,D都不特合： A120,B(-1.一2的生物代入得发号2=日 心毒a<0装，直线J一g的渐纤角为纯角， 直找y一上十。的领斜角为锐角，且在y陆上岭规 华器出 是为a<0,所风只有C成之 二，提示：1不能表示蚕直于士韩成y箱的直线， 故域 2,不能表常重直于x轴或y轴的直线，也不雀表 表B国为6，所议a°+1-2,2-1，所就a 示经过标原点的直线 1, 【关键能力·探究】 义，两重域，与不能重台。 探贸一直线的两点式方国 期3≠3，年a≠1.城a=一1 【典例精析] 故选玉 [我例门解：由两点人，得边AB所在直线才程为 5答案：一2 解析：由a一1一多，凡42，得g-一2 二-高*+g+1- 1.12·直埃的两点式方程 网型，BC所在直线方程为己一号，中 【必音知识·梳理】 [情境探究】 2x十y-5-0 漫示：1)可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用 迪AC将在直鹰方框为子-白即耻 点斜式求出其方程，具体如下： 2y十3-0 过R,B两点的直线的斜率为女一身二兰，所以出 算上斯运，真线AB的方红为￥十y+1■0，直线 C的有程为2x十y一5=0，直线AC的方程为3r 点鳞式得方程y一为一为由任一3，明二头 到一 为一3n 2y十8=0 [变式]解：由中点业标公天，得AB造中点D的坐 (2》能.观察图象可知直线垃点(a,0),(0,),科用 格为（中，生专）即，-引南子CD两 两点式可求出直线的方程 走情业标刺同，所直线CD竹才程为工=L [知识桃烟] 针对到练1】解：由直线经这成A(1,O),m,1): 一1面≠为≠势 二n一二两点式 国女流重线斜票不可常为幸，根有轮不存在 《1)当直底斜单不存在，中m=1时，直线方程为 1-0-0-y1-0y-3方 x=1 二.酸距+名-1餐师式 (2)当克找解率存在，即精≠1时，利用两点或，可 [科学见维) 修直线寺程为昌号 一，11D×《2)×(3/(4√(5)× 野x一《则一1Dy一1=0棕上可得，备m一1时，重 LD 线方在为x=1: 3仁由点的皇标，知直线在买种、y种上的黄原分 当标≠1时，直线方程考x一(m一1》一1■0 利为，一3所这直规方程为千十马一，即子 探究二直线的鞋题式方程 [典例精析】 -1 [奥例2]解：(1》步直线（在两坐标物上的能厘无 答案：号吕器贵 为反数且不为0时，可提直线1竹者程为+兰 解析：直线的所点成方程为升一员·精流 直线/的考程为马十-，中一y十1=0 (2)售直民在两生林轴上的模亚至为相反数且为 0时，直找过原，时，设直机的方往为y一虹，国 程为3y一含x,即让一3一0.旅上，直线1竹方数为江 y+1=0线4r-3y-0 [变式们解：1)年黄厘不为0时，箕真线（竹方程为 言十1又1球无3，.两以是+片-，解保。7， 阶以重线！的方程为工十y一7=0， (2)售辰垂为0时，设直简I的方程身y=标，又 过成3，机，两这43解民=子 所以连线（的者很为了一言和中标一y一0峰上 直规1的方程为x十y一7一0成z一5y-0. [针对训第2)解：1)依题意，是线山的方煌为y 1-2x-10.42x-3-l, 所红直城（岭藏范式方粗为芹十青一L 由直线与与4争直，得直线4的号华为一 山1)标，直线：在y柏上的黄厘为一1，于是直线4的 为程为一一1，野宁十产一1 所以直线山竹食显式本短为之+占1 探究三直线方程的裤合应用 [典例精析】 [典例]解：南超意设A(a,0):B(0,b):其中w-h 为正能，可设直城的黄颜成为三十号-1，？直战过杰 ①南本不等人可得1一十2√怎解将 6,者显仅事是一方，即a一8显6-2对，上式取 平号 △08面核S-7ab36,期省a-8,b-2时 △油面教量小，光时直战L的为程为后+是一1